理想气体与液柱类问题的处理方法探究
2024-05-16刘东新
摘 要：高中物理热学板块中有一类问题，是玻璃管内利用水银柱封闭一部分或几部分气体，改变外部环境，判断气体体积变大还是变小，或者判断水银柱的液面升高还是降低.解决这类问题，如果方法不对，那会相当麻烦.本文将总结归纳解决这类问题的基本方法，并通过变式，寻找解决这类问题的共性.
关键词：液柱；气柱；理想气体；假设归谬法
中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）04-0130-03
高中物理中的热学问题，与力学知识有很大的关联，近几年常常出现在高考计算题第一题的位置.很多学生力学问题解决起来得心应手，但是碰到热学问题由于研究对象选择不明确，或者方法不对，导致做起来比较吃力.下面以玻璃管中的水银柱和理想气体类问题为例，简单归纳一下解决这类题目的基本方法.
1 单液柱、单气柱问题
指玻璃管内有一段水银柱，一段被封闭气体.
例1 如图1所示，玻璃管开口向下竖直放置，管内用水银柱封闭一定质量的理想气体.在玻璃管绕顶端缓慢转到虚线所示位置的过程中，管内封闭气体的体积怎么变？
分析 设大气压强为p0，水银柱长度为h，水银密度为ρ，则管内气体的初始压强p1＝p0-ρgh.当玻璃管绕顶端缓慢转过θ角的过程中，封闭气体的压强p2＝p0-ρghcosθ，易知p2不断增加. 由p1V1=p2V2得：V2=P1V1/P2，因此封闭气体的体积是减小的.
变式1 如果玻璃管逆时针转过90°、150°，气体的体积怎么变？
分析 即使该玻璃管转动角度更大一些，关系式p2＝p0-ρghcosθ依然成立. 转过90°时，cos90°=0，p2＝p0，可求得封闭气体体积减小；转过角度超过90°时，cosθ为负值，则封闭气体压强p2＝p0-ρghcosθ将大于大气压强，气体体积依然减小. 因此解决例1的方法，可以推广到玻璃管在竖直面内转动180°的任何情况.
變式2 如果该玻璃管呈竖直状并向上加速，那么管内封闭气体的体积怎么变？
分析：由于封闭在管内的气体质量一般不计，因此在试管加速、减速中，就要以水银柱为研究对象. 水银柱受到向下的重力、封闭气体对它的压力以及向上的大气压力. 初始状态时系统静止，易知：mg+p1S=p0S. 向上加速时，p0S-（mg+p1S）=ma，由于水银柱的质量不变，大气压不变，故封闭气体的压强肯定要减小，由p1V1=p2V2得：封闭气体体积增大.
变式3 如果该玻璃管及管内水银一起向下做自由落体运动，那么稳定后封闭气体的体积如何变化？
分析 变式2玻璃管向上加速，我们得到的结论是封闭气体体积增大；那么玻璃管做自由落体运动，也就是向下加速，我们可以反推出封闭气体的体积减小.也可以这样分析：当系统做自由落体运动时，无论是玻璃管还是水银柱，向下的加速度都是g，水银柱的重力将产生向下的加速度g，此时如果上、下两部分气体对水银柱的压力不相等，那么水银柱的加速度将不等于g，与事实不符. 因此水银柱上方被封闭气体的压强应该等于大气压p0，由p1V1=p0V2可得：V2减小.
例1及3个变式，让学生体会解决这类问题要怎样选择研究对象.当系统有加速度时，就要先对水银柱运用牛顿定律，得出其受力情况，转换到气体的压强，然后再对封闭气体运用气体实验定律解决问题.
2 单液柱、双气柱问题
指玻璃管内有一段水银柱，两段被封闭气体.
例2 如图2所示，粗细均匀、两端封闭、竖直
放置的内壁光滑的玻璃管内有一段长为 h 的水银柱，将管内气体分为两部分，它们的温度相同.若使两部分气体同时升高相同的温度，试判断图中l1、l2和h分别怎么变化？
分析 尽管绝大多数物体都有热胀冷缩的现象，但是如果有气体存在，固体、液体的胀缩效应一般是忽略不计的，所以水银柱的长度h不变.由分析可知：两部分气体的压强、体积会相互影响，但是l1+l2的总长度不变；且下面空气柱压强大于上面空气柱压强，即p1＞p2. 由于题中只要求定性分析，无需定量计算，我们采用假设归谬法.
以下面长度为l1的空气柱为研究对象：设初始时它的压强为p1，假设升高一定的温度ΔT后它的体积不变，压强增加ΔP1，则：P1/T1=P1+ΔP1/T1+ΔT=ΔP1/ΔT，得ΔP1=ΔT/T1P1；同理可得：ΔP2=ΔT/T2P2.
由于两部分气体的初始温度相同，且升高相同的温度，所以根据p1＞p2得Δp1＞Δp2，故水银柱会向上移动，初始假设被推翻，同时问题也得到解决.
变式1 如图3所示，水平放置的玻璃管内，一段长为 h 的水银柱，将管内气体分为a和b两部分，它们的温度相同.若使两部分气体同时升高相同的温度，试判断图中两部分气柱的长度分别怎么变化？
分析 因为玻璃管水平放置，可知pa=pb.以a部分气体为研究对象，假设升高一定的温度ΔT后它的体积不变，由Pa/Ta=ΔPa/ΔT得：ΔPa=ΔT/TaPa，同理可得ΔPb=ΔT/TbPb，因为a、b两部分气体初始温度相同，且升高相同的温度，故Δpa=Δpb，因此水银柱不移动，la和lb也都不变.
变式2 如果玻璃管水平放置，a端初始温度为300 K，b端初始温度为400 K，若使两部分气体同时升高相同的温度，则图中la和lb分别怎么变化？
分析 因为玻璃管水平放置，则pa=pb. 还是以a部分气体为研究对象，假设升高一定的温度ΔT后它的体积不变，由Pa/Ta=ΔPa/ΔT得：ΔPa=ΔT/TaPa，同理可得ΔPb=ΔT/TbPb，因为Ta＜Tb，所以Δpa＞Δpb，因此la变大，lb变小.
例2及2个变式，让学生归纳出解决这一类题目的基本方法：假设归谬法.
如果将直玻璃管换成U型管，题目看起来好像变了，但解决问题的方法还是差不多.
例3 如图4所示，两端封闭的U形玻璃管中装有水银，并在上端分别封有一定质量理想气体A和B，温度相同，现将管放在冰水混合物中使两段气体同时下降相同温度，则A和B两部分气柱的体积将怎样变化？
分析 题目虽然变了，但是属于换汤不换药，解题方法与例2类似. 因为A侧液面低于B侧液面，故pA＞pB.以A气体为研究对象，假设降低温度ΔT后它的体积不变，压强减小ΔPA，则：：PA/TA = PA-ΔPA/TA-ΔT = ΔPA/ΔT，得ΔPA=ΔT/TAPA；同理可得：ΔPB=ΔT/TBPB，所以ΔpA＞ΔpB，A气柱壓强减小的多，故A液面上升，A气柱体积减小，B气柱体积增加.
可见，单液柱、双气柱问题，我们采用假设法，假设体积不变，由气体实验定律得出两部分气柱压强的变化量的大小关系，便可以进一步判断气柱的体积变化情况.
例2和例3有共同点：两段气柱加水银柱的总长度不变，在此前提下，当温度变化时，求两段气柱的体积变化情况. 采用的方法是假设体积不变，利用气体实验定律得到压强的增加量Δp的表达式，利用两部分气体Δp大小关系去分析气体体积是否变化. 下面这个问题看起来差不多，但分析起来却要复杂得多.
例4 如图5所示，内壁光滑、上端封闭的玻璃管，下端竖直插在水银槽里，管内有长度分别为l1和l2的两段理想气体被一小段水银柱分开，外界温度不变，大气压为p0，将玻璃管慢慢地向上提起一小段距离时，管内气柱l1和l2的长度将怎样变化？
分析 设上端空气柱压强为p1，水银的密度为ρ，水银柱的长度为h，下端空气柱压强为p2，则p1+ρgh=p2，又因为玻璃管内外液面相平，因此p2=p0.当玻璃管向上提起一小段距离Δh时，假设l1和l2都不变，那试管内液面也将随之升高Δh，如图6所示. 这就会得出p1和p2都不变，那么p2+ρgΔh＞p0，试管内升高的液柱是不能平衡的，假设不成立. 那么有没有可能试管内外液面相平，两段气柱的长度都变大一些，就像图7一样？
由于两段气柱的体积都增加了一些，导致它们的压强分别减小为p1′、p2′，p1′+ρgh=p2′的关系可以满足，但是p2′肯定不会和p0相等，那么试管内外液面相平也就不成立了. 综上，我们可以得出结论：试管内的水银液面应该稍稍比水银槽中的液面高出一些，而两段气柱l1和l2都将变大一些［1］.
变式 若管内两段气柱l1=l2，那么在玻璃管稍稍向上提起一小段后，这两段气柱长度的增加量哪个更大一些？
分析 以气柱l1为研究对象，由p1l1S=（p1-Δp）l1′S，则Δl1=l1′-l1=Δp/p1-Δpl1，因为上下两段空气柱的压强差为定值，故它们在体积增大过程中，Δp也为定值，同理可得：Δl2=l2′-l2=Δp/p2-Δpl2，因为p1
3 结束语
热学问题变化很多，在讲解此类问题时，如果就题论题，会让学生觉得无所适从.适当归纳，同类型问题以变式训练呈现，会让学生觉得思路清晰许多.
参考文献：
［1］ 沈克琦.高中物理学②热学[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2015.
［责任编辑：李 璟］
收稿日期：2023-11-05
作者简介：刘东新（1978-），男，江苏省常州人，本科，中学高级教师，从事高中物理教学研究.
