探究高中数学导数的解题方法
2024-05-16林超良
摘 要：导数是高中数学学习的一大难点，总结出导数压轴题型并提出解题策略，可以提升学生运用导数解题的效率.文章中从六个典型的导数例题入手，对题目的特点进行分析，提炼出常用的思想方法，对教师的教和学生的学提供一定的帮助.
关键词：高中数学；导数；解题方法
中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）04-0013-03
导数是高中数学的重要组成部分，也是高考数学的命题重点，对学生的综合运用能力要求比较高［1］.熟练掌握导数解题方法，可以完善学生的知识框架、提高应用能力、培养自主探究习惯［2］.本文以不同类型的数学导数题为例，探究、分析导数的解题方法，更好地发挥导数在高中数学解题中的作用.
1 求切线方程
导数的几何意义是“切点处导数等于切线斜率”.这一特征是求解函数切线方程的基础.求切线，需要两个要素.其一，切点坐标；其二，切线斜率.
例1 已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f ′（x）为f（x）的导数.求曲线y=f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程.
分析 这道题的知识点是求在曲线上一点处的切线方程（斜率）.
先求出导函数，由k=f ′（0）得到切线斜率，再根据点A坐标即可得到切线方程.
由题意f ′（x）=cosx+xsinx-1，所以f ′（0）=0，即切线的斜率k=0，且f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程为y=0.
在解决切线方程的过程中，要注意以下几点：
（1）已知切点，求曲线的切线方程：
已知切点（x0，y0），求出切点处的切线斜率f ′（x0）；
（2）过曲线上一点，求切线方程：
过已知曲线上一点求切线方程，应注意到曲线上这一点，分为是切点和不是切点两种情况.
（3）过曲线外一点，求切线方程：
这种情况和“过曲线上一点求切线方程”相似，都是先设出切點坐标，再进行切线方程的求解.
2 研究函数的单调性
在利用导数法判断函数单调性时，一般流程如下：首先求出函数的定义域，之后对函数求导，接着判断导函数的正负，最后通过导函数的正负，得出单调区间.
例2 已知函数f（x）=xlnx-ax2，f ′（x）为f（x）的导数，讨论f ′（x）的单调性.
分析 利用导数讨论函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题.含参一元二次不等式问题着重考查分类讨论思想，是高考命题中的重点和热点问题，而对含有参数的不等式问题，需要注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论［3］，解题时需要关注定义域及分类讨论的标准.
4 研究函数的图象
一般而言，作函数图象有以下流程：先求出函数的定义域，接着判断函数的周期性和奇偶性，求出函数的零点、函数与y轴的交点等特殊点，之后确定函数的单调区间和极值点，最后根据上述结论精细绘制函数的大致图象.
例4 函数f（x）=xsinx+cosx的导数f ′（x）的部分图象大致为（）.
导数作为解决函数的一个重要工具，其主要目的就是判断并确定函数的单调区间，进而得出函数增减的大致情况，再依据函数的性质解决实践问题，才能更好地理解以后的放缩问题.
5 求参数取值范围
解决参数取值范围问题可以根据导函数确定函数的单调性和极（最）值，大致绘制函数图象的趋势，再运用数形结合分析问题（或结合图象特征分析零点的位置）转化为关于参数的不等式组，通过解不等式组求出参数的取值范围.
例5 已知函数f（x）的导数f ′（x）=a（x+1）·（x-a），若f（x）在x=-1处取到极大值，则a的取值范围是多少？
分析 这道题分a=0，a>0和a<0三种情况，结合二次函数的图象性质与极值的定义即可判断.由题意当a=0时不成立，当a≠0时f ′（x）有两个零点x=-1与x=a.
①当a>0时，f ′（x）开口向上，且-1 ②当a<0时，f ′（x）开口向下.当a=-1时，f ′（x）≤0，f（x）单调递减，f（x）无极大值；当a<-1时，在区间x∈（a，-1）上f ′（x）>0，x∈（-1，+∞）上f ′（x）<0，故f（x）在x=-1处取到极大值； 当-1 综上有a>0或a<-1. 6 解不等式 利用导数证明不等式通常有如下流程：首先，构造新函数F（x），接着通过导数解析函数F（x）的单调区间，最后通过判断定义域内F（x）与0的大小关系来证明不等式.这类题目重点在于灵活准确地构造函数，再利用函数解不等式. 例6 已知函数f（x）的导数为f ′（x），且（x+1）f（x）+xf ′（x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立，则下列不等式一定成立的是（）. A.f（1）>2ef（2） B.3f（2）>2ef（3） C.2f（1） 分析 这道题的考点为用导数判断或证明已知函数的单调性. 设g（x）=xexf（x），则g′（x）=ex[（x+1）f（x）+xf ′（x）]≥0，所以函数g（x）单调递增.g（2）=2e2f（2）>g（1）=ef（1），即f（1）<2ef（2），故A，C错误； g（2）=2e2f（2） 故选D. 从上述解题步骤可看出，构造新函数是利用导数证明不等式最重要的环节，之后在相应区间上判断单调性，最后形成结论.事实上，解题过程中常会综合用到多种方法，教师应指导学生灵活应用所学知识，树立运用多种方法解决问题的意识，能够把复杂问题简单化. 7 结束语 综上可知，导数涵盖了多元化的逻辑思维，可以丰富学生的解题思路，解答题目更便捷，促进学习效率提升.若要使导数的价值和作用发挥至最大，学生必须深入理解导数知识点，熟练掌握导数基础知识和变换形式，在不断练习中巩固技能，切实做到活学活用，提升解题效率. 参考文献： ［1］ 纪定春，周思波，蒋红珠.对2017年文科卷Ⅱ导数压轴题的思路探析[J].数理化学习，2021（06）：14-17. ［2］ 教育部考试中心.2019年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（理科）[M].北京：高等教育出版社，2018. ［3］ 叶土生，吴小五.利用导数研究参数取值范围方法赏析[J].中学数学研究（华南师范大学版），2021（11）：27-29. ［责任编辑：李 璟］ 收稿日期：2023-11-05 作者简介：林超良（1984.4-），男，福建省泉州人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.
