例谈导数与三角函数的“联姻”

摘 要：文章通过实例，分类归纳导数与三角函数交汇的各类题型，以此促进教与学.

关键词：三角函数；导数；单调性；零点

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）04-0046-05

新高考已经不仅仅局限于基本知识和基本技能的考查，更重视对学生综合核心素养和关键能力的考查，题目会更加灵活多变，富有创新性和综合性.在题目中融入数学文化、生活实际、跨学科的知识，将不同的知识融合交汇，那么知识之间的融合必然会更加精彩.

三角函数有其独特的性质，当导数与三角函数“联姻”时，三角函数的周期性、有界性等就被融入进来.对于三角函数的单调性、奇偶性、对称性、最值问题、含参问题或者相关综合性问题，借助导数进行研究能更充分地考查数学思想方法、运算求解能力、综合应变与解题调控能力，也能很好地彰显考生解题方法的灵活性、多样性，从而备受命题者的青睐，不少高考试题和模拟试题均在三角函数和导数交汇处进行命题.下面笔者以近年高考或模考中与三角函数有关的导数题为例，进行分类归纳与解答，供大家参考.

评注 ①对于零点不可求问题，常见的做法是“设而不求”.通过设出未知数作为桥梁进行消元或整体代换，这种数学思想在函数与导数问题中有着广泛应用.②要求证一个函数“有且只有一个”零点，可先用“函数零点的存在性定理”证明函数存在零点，再证明函数为单调函数，即得函数零点的唯一性.其依据为：如果函数f（x）在区间［a，b］上是单调函数，并且f（a）·f（b）<0，则函数f（x）在区间（a，b）上至多有一个零点.如果要证明函数有多个零点，一般要将分区间

讨论解决，由于涉及三角函数，在判断导数的符号时，注意不同区间正弦、余弦函数值的正负［3］.

6 结束语

由上述例子可看出，导数与三角函数交汇的题型众多，融合函数、导数、不等式等重要知识点于一体，函数的表达式多是三角函数与ex，lnx相结合.问题方面主要与函数的单调性、零点、极值与最值、恒成立问题、证明函数不等式等主干内容相关，多个知识点综合在一起.由于三角函数的特殊性，所以不单考查导数公式和导数的运算法则，还可能考查三角函数中的恒等变换、周期性、有界性，常见的三角不等式等.综合度较高，对于考生运用所学知识，寻找合理的解题策略以及推理论证能力有较高的要求.

因此，在复习备考中要注重以下两点：

①突出主干知识.导数试题注重对导数的几何意义、导数的运算法则、导数在研究函数中的应用等重点内容的考查，函数单调性是核心性质，要深化对函数单调性的认识，复习时应注重导数法在函数单调性中的应用.

②注意总结，归纳提炼方法.复习时要善于总結，将涉及三角的函数导数试题分门别类，并归纳出常用的解法与注意事项，并通过题目的训练，举一反三，触类旁通.

参考文献：

［1］ 林国红.函数凹凸性视角下的双变量压轴题的探究[J].中学数学研究（华南师范大学版），2022（05）：17-20.

［2］ 林国红.一题多解有妙法 深入探究促提升：2022年高考全国乙卷第23题的探究［J］.数理化解题研究，2023（25）：69-72.

［3］ 林国红.一道导数模考压轴题的探究［J］.数理化解题研究，2023（22）：85-89.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-11-05

作者简介：林国红（1977-），男，广东省佛山人，中学高级教师，从事中学数学教育研究.