开展度量实验?提升技能学习

王思骅

【摘 要】学生的度量意识不是凭空形成的，需要在度量的活动中培养和发展，而度量原理和方法则需要在大量的实验中发现和感悟。度量实验能够帮助学生实现对度量方法的自我建构，培养学生解决问题的能力。文章以“角的度量”为例，阐述如何在度量实验中发展学生思维。

【关键词】技能学习 度量实验 角的度量

量角器作为高度简约化、高度智慧化的度量工具，其建构过程对学生度量意识的培养和数学素养的发展具有非常重要的价值。以往因教学设计的偏差，教师容易将学生角色定位成“量角器的使用者”，让学生进行大量的技能训练，学生没有真正掌握其要领，学习效果不如预期。而度量意识的建立和发展，需要从度量实验入手。通过调动度量经验、提出猜想、控制变量、设计量角器，学生逐步感悟到量角器中蕴含的度量的本质，积累了丰富的数学活动经验，将度量技能的学习上升到度量意识培养。基于以上认识，笔者以数学度量实验为学生主要学习方式，以“角的度量”为例，进行了教学的改进设计。

一、联结旧知，调动度量的经验

师：全铺、半铺、边铺这三种方法，有什么共同点？

生1：都是用边长1厘米的正方形去量的。

生2：从测量结果可以发现，有多少个这样的正方形，长方形的面积就是几平方厘米。

师：回顾一下长度的测量，我们是怎么测量的？

生3：用直尺测量，观察直尺上的刻度。

师：如何根据刻度判断长度？

生4：一般我们以1厘米为单位，线段包含几厘米，长度就是几厘米。

师：角的度量也需要单位吗？

度量是将事物的属性量化，即以一定的标准为单位进行测量。度量角就是以一种统一的度量单位作为标准，对某个角进行测量得出的一种数据，是对角的大小的描述。

角的度量對象是两条边张开的程度，是具有二维特征的特殊对象。因此，学生在理解角的度量时存在障碍，容易误认为“角的大小”等于角的两条边之间的“宽度”，从而得出错误的结论：角的两条边越长，角的度数就越大。学生如果对角的度量本质不明，对量角方法的本质理解就会出现偏差。

“角”作为陌生的度量对象，和长度、面积与质量等有着明显的不同，但其度量原理是相同的，即用具有同一属性的单位去比较、填充、度量。被测的对象角中包含多少个单位角，它的角度就是多少。学生已经具备长度和面积测量的经验，这对角的度量的学习具有正向的迁移价值。

笔者教学“角的度量”这节课时，重在引导学生结合以往的度量经验，明确度量单位往往比度量对象要小，也就是“以小量大”。接着引导学生类比迁移，对比长度和面积度量，思考角的度量是否也需要度量单位和工具。

在导入阶段，笔者让学生对长方形的面积的测量进行回顾和梳理，以调动学生关于面积测量的基本经验。接着，出示一个长6厘米、宽4厘米的长方形，组织学生围绕两个问题进行交流：你准备怎样测量这个长方形的面积？如果只有一个小正方形，怎样确定面积值？通过交流，学生进一步明确测量面积需要用测量单位，其中“边铺”的方法是最佳选择，它基于测量原理又不囿于测量原理。只需要从“边”下手，以边长1厘米的小正方形为单位去度量，有多少个这样的面积单位，长方形的面积就是几平方厘米。这一原理将贯穿学生角的度量学习的始终。

二、提出猜想，迁移度量的本质

师：要测量一个角的大小，怎么办？

生1：可以用三角尺比一比。

生2：如果角的大小是67°呢？

生3：看来角的度量也需要单位。

师：简单地猜想一下，单位角可能是多少度？

生4：我们测量面积用的是1平方厘米，测量长度用的是1厘米，所以单位角应该是1°。

生5：我不同意，1°角太小了，你能找得到吗？

我们常常看见学生拿着量角器茫然无措的样子，他们不知道如何摆放量角器，才能使量角器上的“角”与所测量的角重合。

在复习导入的基础上，学生能够将长度和面积测量的经验迁移到角的度量上，初步明确度量角的本质，即包含多少个单位角，被度量的角的度数就是多少。

教学中，笔者首先让学生思考：要测量一个角的大小，怎么办？学生结合度量经验对如何测量一个角提出猜想。可以借助三角尺比一比，利用已知度数来测量。经过全班交流，学生意识到如果在三角板上找不到与这个角相匹配的角度，也无法拼接测量得到时，那么这个角的度量就需要单位。

在激烈的讨论过程中，学生自主合情推理出角的度量单位的可能样态。有的学生选择1°角，有的学生选择10°角。学生在选择时经历了一个纠结的过程，可以看出他们对1°角和10°角的概念并没有直观上的认识，需要从实际生活中进一步建立1°角和10°角的直观表象。

猜想环节的设计，对度量角的学习具有正向的迁移价值，为后续的实验开展奠定了基础，让学生带着问题、带着猜想去实验和去探索，还渗透了对科学研究及其态度的培养。在达成“用单位角比较”共识的基础上，组织学生开展之后的小组实验活动。

三、设计角度量实验，确定单位角

师：如何证明你们的猜想是准确的呢？

生1：选择几个角量一量，通过测量结果来判断。

生2：测量后，如果和猜想有较大差距，可以对照猜想进行调整。

同桌协作完成活动一。

活动一：

要求：选择三角尺或10°角，测量出图1中3个角的大小，并说说你是怎么测量的。

实验材料：一副三角尺、若干个10°角、①号角（75°）、②号角（40°）和③号角（36°）。

全班汇报交流。

生3：三角尺上的45°角和30°角拼接在一起，可以和①号角相匹配。

生4：②号角的度数不是我们熟悉的，但它可以用4个10度角拼起来去量。

生5：测量③号角用不上4个10°角，但是3个又不够，它的度数应该在30°～40°。

师：③号角很特别，怎样才能较为准确地测量出它的度数呢？

小组讨论，其他学生补充：还需要比10°角更小的角，要继续往下分。

学生在测量的过程中会发现：用三角尺上的45°角和30°角拼接后，正好与①号角相匹配，角度就是75°。②号角，4个10°角拼起来可以测量，角度是40°，但实际拼接的过程并不顺利，需要同桌协作。学生感慨：如果有合适的测量工具便能够事半功倍；测量③号角，发现角度在30°～40°，需要把10°角继续细分，比如1°角。三个角的设计是有梯度的，旨在引导学生在实验的过程中不断质疑，在解决困难的过程中，启发学生用作测量单位的角应尽可能小，而1°角能满足测量所有角的大小的需要，比较精确。但是，这个“1°角”实在太小，实际操作会比10°角更加不方便，容易数错。

在这个基础上，笔者提出设问：如何保留“1°角”的优势而弥补它的不足？顺势引导学生把单位小角合并为半圆工具，这样就非常巧妙地揭示了“量角器就是单位小角的集合”。活动一既突出了度量的原理，又建立了“1°角”和“10°角”的直观表象，突出了角的单位的认知，让学生明白用1°角这个单位去量，其结果就是多少度。

这一环节的教学，笔者抓住“学生的认知冲突”这一核心，引导学生在实验过程中不断改变量角方法，并调整单位角的度数，在一次次思维争辩中明确、理解、应用1°角。此外，结合设问促使学生发现和辨别1°角的特征，为学生真正理解量角器的本质打好基础。

四、控制变量，感悟量角的本质

学生独立完成活动三后，小组交流。

师：你是怎么量的？上来演示给大家看。

生1演示测量125°角的过程。

教师相机点拨，强调“点重合，边重合”。

生2演示测量55°角（不同朝向），认为度数也是125°。

生3：我不同意，这个是锐角，应该是55°。我是这么量的。

生3先把角旋转，调整到同一个朝向，测量结果是125°。

生4：我们小组发现可以不用旋转，只要再添一圈刻度。

生4展示两圈刻度量角器。

教师组织学生尝试画第二圈刻度，再次量角，总结量角方法。

教材中的量角器作为一个“成品”被直接呈现，它是怎么出现的？它的构造原理是什么？中心点、零刻度线、内外刻度线等这些晦涩的、抽象的数学概念又该怎么理解？对学生来说这些疑问都给认识角的度量的原理造成障碍，学生不了解量角器的来龙去脉，对量角器的结构特点也不理解。

为了有效突破这一难点，教师应为学生认识量角器提供自主探究的空间，引导学生参与对量角器的制作中，把学生的角色从“量角器的使用者”解放出来，在探索和实践中有效转变为“量角器的设计者”。

以往的教学中，教师往往采用讲解、示范操作，按部就班地直接教授度量的基本规则，而后学生模仿并反复操练的教学方式，以此来解答学生的疑问。学生无法真正参与其中，很难在操作和尝试中发现问题，学习效果也不理想。

因此，教师需要对量角器的结构和使用的教学步骤进行合理的设计和分解。于是，笔者对现有教材进行了补充，设计了活动二、活动三的测量实验活动。

活动二：用若干个10°角摆出90°角。

实验材料是若干个10°角。首先，学生展示摆一摆的过程。其次，教师用课件动画演示。在这个基础上，笔者提出设问：如果再加90°，会是怎样的？接着教师用课件动画演示，18个10°也就是180°，形成了一个半圆。教师带领学生10°、10°地数，使学生再次充分感受单位角累加的过程，领悟量角器的本质，为理解量角的原理打下坚实的基础。最后，利用提供的“简易量角器”让学生初步练习量角。

这个实验活动的变量是什么？

从“10°角”推广到“简易量角器”。通过这一变化让学生亲历量角器的动态“渐变”过程，赋予其“现实需要”，促使学生理解量角器的来龙去脉，调动学生的学习积极性。教师可以先展示无刻度的量角器，让学生初步认识量角器的“雏形”。相比于“成品量角器”，简易量角器线条稀疏、无刻度。正因为这个特点，学生掌握量角的方法时减少了很多干扰，对于学习量角方法有较大的优势。

教师按需给予了学生“10°角”这个直观材料，一方面从建立角的大小的量化观念出发，引导学生在观察和操作等过程中聚焦量角器的本质，使学生巩固“量角器的本质是单位小角的集合”的认识；另一方面遵循学生的认知规律，引导学生对单位小角的选择进行优化。摆一摆的操作活动，学生充分参与量角器的制作过程中，同时教师借助课件演示，为学生认识半圆形量角器的形成提供了感性材料。

活动三：安排学生测量两个开口正好相反的角——125°角和55°角。（如图2）

这一活动的变量是从单圈刻度过渡到两圈刻度。观察平时的教学，不难发现学生对量角器上两圈刻度的作用和由来，并不太理解。“尺”作为学生最熟悉的度量工具，只有单向刻度。如果量角器只有单向刻度，那么量不同朝向的角的大小就非常麻烦，因此不得不在内圈也加上刻度。通过这个活动，进一步突显矛盾冲突，产生一种强烈的心理倾向，即量角器要有内外两圈刻度，到此，一个完整的量角器成型了。这样一来量角器成了学生自己的作品，学生自主建构起量角器这一模型。

为了让学生正确地量角，笔者改变了策略。除了安排学生上台展示量角的过程，集体交流，還组织小组互相学习量角方法，给学生充分的时间动手操作，观察别人是怎么量的，引导学生之间互相启发。最后，安排学生开展“读角”游戏，引导学生思考要度量的角与哪条始边重合，重点关注从哪边的0°开始读起，从而帮助学生真正理解角的度量的内在原理。学生在这样真实、自然、动态的游戏过程中不断积累量角的经验，继续加深对内圈和外圈的区分，从而将度量规则自我内化。

度量意识的形成不是凭空出现的，需要在实践中培养。提升技能学习，要以学生的实质发展为目标，以数学实验为依托，创造性地构建技能学习的方式，通过数学实验促进学生思维的纵深发展，才是技能学习的核心和最终归宿。

注：本文系南京市教育科学“十四五”规划课题“指向核心素养提升的‘好玩数学课实践”（课题批准号：L/2021/230）的阶段性成果。