由“函数奇偶性”的概念教学引发的思考

［摘  要］ 文章从“旧知回顾，知识梳理”“情境创设，激发认知冲突”“深入探究，理解偶函数”“问题启发，辨析偶函数”“类比分析，探寻奇函数”五方面展开“函数奇偶性”的概念教学，并从以下三方面谈一些思考：放低教学起点，创设合理情境，经历探究过程.

［关键词］ 概念教学；偶函数；奇函数

概念是数学学习的基础，是知识建构的基石. 但在实际教学中，容易产生“重结果，轻过程”“重抽象，轻表象”“重应用，轻建构”的现象. 殊不知，概念表达、生成、应用与建构是概念学习的重中之重，是实现有效学习的基本保障. “函数奇偶性”的概念教学，引发了笔者的一些思考与体会.

教学简录

1. 旧知回顾，知识梳理

课堂开始，以旧知回顾的方式梳理知识，可达到承上启下的作用. 为唤醒学生的记忆，笔者要求学生思考如下几个问题：①说说什么是轴对称图形和中心对称图形，它们分别具备怎样的性质？②你所认识的函数图象中，是否存在轴对称图形或中心对称图形？举例并明确说出它们的对称轴或对称中心. ③为什么这些函数图象关于中心对称或轴对称？你这么确定的理由是什么？

设计意图 轴对称与中心对称是学生初中阶段就已经接触过的内容，这里以几个简单问题唤醒学生的记忆，让学生认识到本节课的教学主题与轴对称或中心对称相关.

鉴于已有的知识经验，问题①和问题②学生回答得比较流畅，并且列举出函数y=x2，y=. 但对于问题③，不少学生给出的理由是“从图形观察而来”. 虽然判断是正确的，但提供的依据并不充足.

2. 情境创设，激发认知冲突

问题1 请判断图1中的函数图象是否关于y轴对称.

大部分学生都认为图1所示的函数图象关于y轴对称. 此时笔者借助几何画板进行演示：在图1上作y轴的一条垂线，与抛物线分别交于点A，B，如图2、图3所示，让学生来看点A，B是否关于y轴对称.

显然，几何画板所呈现的结果出乎学生的意料——点A，B竟然不关于y轴对称. 此过程成功地激起了学生的认知冲突，不少学生迫不及待地想要探寻其中的奥秘.

设计意图 笔者所呈现的图1并不是一个对称图形，但两侧的差别比较细微，凭借我们的肉眼根本分辨不出来. 此环节的设计是为了打破学生直观判断的思维定式，激发学生的认知冲突，让学生自主思考“该怎样准确判断函数图象是否关于y轴对称”，这为明确本节课概念学习将解决什么具体问题奠定了基础，同时让学生切实感受到引入数量关系的必要性，弄清奇函数与偶函数概念的形成源头.

3. 深入探究，理解偶函数

问题2 我们可以从什么角度来判断某个函数图象是否关于y轴对称？

生1：可从点的坐标来判断.

师：很好！坐标作为一种可以传递数量关系的工具，能够准确判断图象的对称性. 如图4所示，任取函数y=f（x）图象上的一点P（x，y），如果函数y=f（x）的图象关于y轴对称，那么点P存在什么性质？

此时，笔者将偶函数的定义板书出来，并借助几何画板演示点P在函数图象上运动，学生通过视觉直观获得了两点启示：①偶函数定义中的自变量x是任意的；②函数定义域D关于原点对称，是偶函数的必要非充分条件. 此过程让学生充分意识到：偶函数从数形结合的角度来看，在“数”上f（-x）=f（x）恒成立，在“形”上具有图象关于y轴对称的性质.

接下来，笔者提出兩道简单的证明题，以强化学生对偶函数定义的理解：①求证函数f（x）=x2（x∈R）为偶函数；②求证函数f（x）=2x4-3x2为偶函数.

设计意图 在问题1的引导下，学生不仅主动参与到“利用数量关系刻画函数图象的对称性”的研究中来，还在大脑中自主建构偶函数的定义，从真正意义上实现了由形到数的灵活转化.

4. 问题启发，辨析偶函数

问题3 对于不是偶函数的函数，该怎样用数量关系来描述呢？

为弄清楚这个问题，笔者带领学生从问题1出发，根据图3说一说怎样确定该函数图象并非关于y轴对称. 显然，图3中的点A的对称点不在该函数图象上，说明只要函数图象上有一点不关于y轴对称，那么该函数图象就不是轴对称图形，该函数就一定不是偶函数.

关于如何准确应用数量关系来表示对称关系，学生提出：设A（x，y），若f（-x）≠f（x），则函数f（x）不是偶函数.

笔者肯定了学生的想法，并强调：如果函数f（x）的定义域D不关于原点对称，或函数f（x）的定义域D关于原点对称但f（-x）≠f（x）（x∈D），那么该函数一定不是偶函数.

设计意图 问题3的提出，具有进一步辨析偶函数定义中“x具有任意性”的作用，也为接下来探讨非奇非偶函数奠定了基础. 鉴于学生容易出现类似于“f（-x）≠f（x）”的表达，笔者带领学生回过头来观察图2与图3，让学生从根本上理解“任意”和“存在”之间的区别.

5. 类比分析，探寻奇函数

问题4 怎样判断某个函数图象是否关于原点对称呢？

有了前车之鉴，学生面对这个问题时，没有再提出通过观察来获得结论，而是自发进入了小组合作学习状态，并通过交流顺利获得了满足奇函数条件的数量关系. 为了强化学生的直观认识，笔者在此环节中再次借助几何画板演示点P在图象上运动引导学生一起总结奇函数的定义与判断注意事项.

与偶函数类似，判断奇函数存在以下值得注意的地方：①奇函数定义中的自变量x是任意的. ②奇函数的定义域D关于原点对称，是判断奇函数的必要非充分条件. 同时，从“数”的特征来讲，奇函数必须是f（-x）= -f（x）恒成立；在“形”态上，奇函数必须是图象关于原点对称.

基于以上研究，笔者又陆续提出了以下三个问题以拓展学生的思维，完善学生对奇函数定义的认识.

问题5 怎样应用数量关系对“函数不是奇函数”进行描述？

问题6 对于非奇非偶函数，我们该怎样用数量关系来描述它？

问题7 是否有函数既属于奇函数，又属于偶函数？

当学生顺利完成以上三个问题后，笔者再要求学生判断函数f（x）=（x-1）2-1（x∈R）的奇偶性.

设计意图 有了问题3的铺垫，解决问题5就是水到渠成的事情. 如此设计的目的就在于引导学生根据问题3与问题5的探索，自主写出非奇非偶函数的定义. 问题7的提出在于帮助学生进一步完善概念，将既属于奇函数又属于偶函数的定义引入到课堂中，同时引导学生发现“定义域关于原点对称”的前提. 此处对判断函数奇偶性例题的应用，是以学生已有的认知结构——二次函数为起点，低起点的例题训练能够激起学生的参与意识，笔者趁机向学生强化怎样用数量关系来表明非奇非偶函数.

几点思考

1. 放低教学起点

概念教学属于一个章节或一個单元的基础. 既然是基础，那么必然从低起点开始，为学生逐层铺设台阶，让学生的思维随着探索逐渐深入、拾级而上. 函数的奇偶性对于学生而言，不是毫无基础，初中阶段就研究过中心对称图形与轴对称图形，且能够用数量关系来刻画函数图象关于原点或y轴对称的情况. 但是，学生之前所接触的对称以及函数性质等，均是从“形”的角度来体现的，但如今更趋向于“数”的刻画.

由“形”到“数”的转变属于思维发展的重点与难点，因此本节课教学基于学生原有的认知结构与知识储备出发，将学生对“形”的理解作为研究起点，虽说降低了教学进度，但成效卓著.

实践发现，不少初入高中的学生，一般只会通过观察来判断两个数是否相等或互为相反数. 因此，当判断类似于-与-的关系时有点无所适从，故而认为y=-是非奇非偶函数，显然这个结论是错误的.

事实上，出现这种错误的主要原因就在于学生对由数量关系a+b=0判断a，b互为相反数的缺失. 鉴于此，教师应充分了解学生的实际认知水平，尽可能放低教学起点，借助几何画板等先进的软件进行演示，让学生充分体验用数量关系解决实际问题的重要性与必要性.

2. 创设合理情境

降低教学起点后，若直接向学生呈现奇函数、偶函数的定义，显然是不合理的，而应结合学生的认知发展规律与学习需求，创设恰当的问题情境，让学生在问题的驱动下理解“用数量关系刻画函数图象关于原点或y轴对称的具体原因”，同时思考“初中阶段常用的观察法，在此为什么就不适用了呢？”学生一旦明确“这么做的原因是什么”，就能从真正意义上知道“怎么做”.

本节课教学，笔者通过问题1的设置，引发学生产生认知冲突，接下来应用几何画板的演示，让学生自主感知“观察法存在的不足”，为促使学生改进探索思路与研究方法奠定了基础. 后面的问题情境不仅揭露了函数奇偶性概念形成的前因后果，还让学生从内心深处真正接纳了函数奇偶性的定义，为这部分知识的灵活应用夯牢了根基. 因此，合理的教学情境不仅能够启发学生的思维，提高研究效率，还能从很大程度上激发学生对数学学科的研究兴趣，产生较大的学习内驱力.

3. 经历探索过程

实际教学中常存在如下现象：对于一些步骤多、运算量大的问题，不少学生刚开始求解都是比较积极的状态，但求着求着就丧失了信心，甚至出现了厌烦心理，从而抄答案或人云亦云. 出现这种现象，有些教师认为这是学生懒惰导致的，而学生却抱怨问题过于烦琐，解题过程冗长，实在难以提起兴趣. 其实，出现这种现象的主要原因是学生没有经历完整的概念探索过程. 众所周知，每一个概念的发生、发展、成形都离不开不断探索的过程. 若教师为了节约时间而忽略引导学生亲历概念形成与发展的过程，则学生只知其然不知其所以然，在应用时难免出错，久而久之就会出现学生做事虎头蛇尾的现象.

在日常教学中，注重带领学生亲历概念形成与发展的过程，能让学生从根本上认识到任何成功都不是一蹴而就的，只有脚踏实地地努力与奋斗，才能硕果累累.

总之，作为一线的数学教师应深入了解概念教学的重要性，走出概念教学的误区. 放低教学起点，通过合理的问题情境引发学生的概念探究兴趣，让学生亲历概念形成与发展的过程，为后续灵活应用概念奠定基础.

作者简介：于伟（1980—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.