基于弗赖登塔尔教育思想的“双曲线定义”教学探究

王中苏

［摘  要］ 数学概念是学生运用数学知识解决问题的基础，提升数学概念教学的有效性，落实核心素养的培养是课堂教学的重要目标. 研究者基于弗赖登塔尔教育思想探讨数学概念课的教学应“立足学生的数学现实，创新课堂导入”“搭建学生再创造的平台，开展课堂探究”“创设数学化的探究条件，提升思维认识”“建构反思性认知结构，进行课堂拓展”，以深化学生对数学知识的理解，提升学生的数学思维能力.

［关键词］ 弗赖登塔尔教育思想；数学化；双曲线

数学概念是用简练的语言对研究对象的本质属性的高度概括，是学生进行数学分析、推理想象、逻辑思考的基础和前提. 因此，教师要加强数学概念的教学，深化学生对数学概念和数学思想的理解，带领学生体验知识产生和发展的过程，使学生真正实现知识结构的内化. 弗赖登塔尔是20世纪最有影响力的数学教育学家之一，他提出的教育思想所蕴含的数学现实、数学化和再创造等思想对数学概念教学具有重要的指导作用. 本文以“双曲线的定义”为例，基于弗赖登塔尔的教育思想探讨数学概念教学，以提高教学的有效性，落实课程教育目标.

阐释弗赖登塔尔教育思想

弗赖登塔尔认为，数学教学的根本目标不是傳授数学知识，而是让学生学会如何运用知识. 课堂教学应该创造机会，让学生在学习活动中增强信心，体验知识发生和发展的过程. 为此，教学应坚持“数学现实”“数学化”以及“再创造”.

“数学现实”是指学生已有的数学知识基础和结构. 新知的学习是以学生原有的学习经验和知识为基本前提的. 基于数学现实展开教学活动，就必然密切联系教学内容与生活实际. 教师连接教学内容逻辑的起点与学生已有经验的起点，从而创新设计情境，找到新知的生长点，在现实情境中开展学习活动，使学生将所学知识应用于生活实际.

“数学化”是指学生能够用数学眼光去观察世界，学会用数学思维去思考现实世界中的各种现象，将数学知识进行内化、组织和思考的过程. 由此教师要引导学生从具象的现实中抽象出数学符号，进入数学世界，形成数学概念或定理，并通过问题设计，引导学生将数学知识应用到实际问题的解决中，落实课程目标. 同时，教师还要引导学生在数学知识内部进行知识的分类与整合、迁移与深化，帮助学生建立数学知识体系，培养学生数学想象、数学分析和数学建模等核心素养.

“再创造”是弗赖登塔尔教育思想的核心. 有效教学的过程就是引导学生再创造的过程，因此教学目标不仅仅是传授知识，还要创设学生进行学习活动的平台，引导学生在数学现实的基础上互动交流与反思，经历分析思考、推理判断和总结归纳，以及知识发生、发展的过程，最终形成新的数学现实.

基于弗赖登塔尔教育思想的教学案例

1. 立足学生的数学现实，创新课堂导入

弗赖登塔尔强调数学教学应遵循数学现实原则，立足学生已有知识基础开展学习活动，提高学习的有效性. 因此，在教学“双曲线的定义”这节课时，笔者结合学生学过的有关椭圆的定义知识导入新课，从新旧知识的衔接点出发，在已有的数学知识结构上探寻思维的生长点，引导学生积极开放地投入新知的学习活动中.

师：很好，根据生1的解析，我们可得动点M的轨迹方程为+=1. 今天我们将要学习一个新的数学概念——双曲线，它具有怎样的特点呢？

设计意图 弗赖登塔尔教育思想认为，数学教学活动离不开学生已有的数学现实，在学生已有的数学知识的基础上，教师采取相应的教学方法丰富和拓展学生的认识，从而提升学生的认知水平，扩大学生的认知范围. 在学生具备椭圆的定义及其标准方程等数学知识的基础上设计问题，既帮助学生复习有关椭圆的知识点，又引导学生拓展和应用数学现实，提高学生的认知水平，为学生学习新课做好铺垫，实现有效的课堂导入.

2. 搭建学生再创造的平台，开展课堂探究

弗赖登塔尔教育思想强调数学再创造原则，认为数学教学不是简单地传授已有知识，而是创造条件引导学生在思维活动中再创造相关的数学知识. 因此，在课堂导入的情境设计中，教师要重视引导学生观察问题、思考问题，通过数学化的思考，探索数学规律，从而归纳数学结论，理解数学本质，体验数学知识形成和发展的过程. 在深度的思维活动中，学生建构知识网络，实现知识结构的完善和思维的再创造，从而发展学生思维的创新性，帮助学生建构新的知识体系.

设计意图 教学过程是在学生的数学现实的基础上进行的拓展和应用. 通过原有问题的变式练习，在学生原有知识的基础上引发认知冲突，从而激发学生探究的好奇心，为进一步的深入探究做好准备.

3. 创设数学化的探究条件，提升思维认识

师：根据刚才的探求，我们由点M与两个定点C，C的距离之和与距离之差可知点M运动的轨迹不是椭圆，那么它运动的轨迹是什么图形呢？

生3：根据几何画板的演示，我们可以发现点M运动的轨迹靠近点C，并且关于x轴对称，是一条曲线.

问题3 如图3所示，将问题2中的“动圆M与圆C内切，与圆C外切”改为“动圆M与C外切，与C内切”，其余条件不变，则动圆M圆心运动的轨迹方程又是什么？

生4：根据题干条件我们可以求出动圆圆心M与点C，C的距离，通过作差法可知动点M与两个定点C，C的距离之差是一个定值，此时动点M运动的轨迹和问题2中的轨迹是同样一条曲线吗？让我们通过几何画板继续演示一下.

生5：根据几何画板我们看到，问题3中的动点M的轨迹与问题2中的动点M的轨迹不同，这是一条相对靠近点C的关于x轴对称的曲线.

师：同学们观察一下这两条曲线，它们有什么共同特征呢？

生6：动点M的这两条轨迹关于y轴以及原点O对称.

师：观察得非常仔细，我们将这样的曲线称为“双曲线”.

设计意图 弗赖登塔尔教育思想强调“数学化”的原则，即将所学的数学知识进行分类组织，从而建构数学模型，在头脑中形成数学概念的知识结构. 问题2和问题3在问题1的基础上通过改变已知条件进一步引导学生探究动点的运动轨迹. 根据学生已有的关于圆和椭圆的知识进行探究，由动点与定点之间的距离判断动点的运动轨迹，从而不断深化学生的思维，实现深度学习. 在本例的教学中，充分借助几何画板进行动态演示，使得学生不仅从数据和图形分析中了解了双曲线的定义，还从直观上感受到了双曲线的结构，为下一步进行抽象的探究做好了准备.

师：根据问题2和问题3的探究，你能得到什么结论？

生7：若动点M与两个定点C，C的距离之差的绝对值是一个定值，则动点M的轨迹为双曲线.

师：很好，我们能否与椭圆的定义进行类比，尝试将双曲线的定义概括得更一般化呢？

学生通过讨论交流，并在笔者的指导下完善定义.

生8：若平面内的点与两个定点F，F的距离之差的绝对值为一个常数，则这个点的轨迹是双曲线，定点F，F叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做双曲线的焦距.

设计意图 在教学中，教师要为学生的再创造搭建平台，促进学生思维的发展. 笔者通过连续追问，引导学生概括结论，并与椭圆的定义进行类比，将动点M的轨迹引申为一般性的双曲线概念，帮助学生理解数学概念的本质，完善认知结构.

4. 建构反思性认知结构，进行课堂拓展

弗赖登塔尔教育思想认为，数学学习的核心是反思，提升反思能力是发展数学思维的重要环节. 学生进行数学概念的学习是一个由浅入深、逐层递进的过程，教师需要设计环环相扣的问题才能引导学生实现学习能力和反思能力的提升，从而发展学生思维的深刻性、发散性，并引导学生理解数学知识的本质. 因此，在数学概念的教学中，教师要精心设计教学活动，明确教学的重难点，并对学生进行针对性的指导，引导学生理解数学概念的内涵，体会数学概念形成和发展的过程，真正理解数学概念背后的逻辑和规律.

设计意图 当学生掌握了双曲线的本质属性后引导学生反思自己给出的双曲线的定义，最终完善双曲线的定义. 此过程不仅帮助学生形成了反思性认知结构，还引导学生完整和准确地表达了数学概念.

综上所述，在弗赖登塔尔教育思想的指导下开展数学概念教学活动，要依托学生的数学现实设计教学活动，使学生在已有经验的基础上自然地展开新知的学习和探索. 教师要注重搭建知识“再创造”的平台，引导学生理解数学本质，帮助学生建构和完善知识体系，促进学生数学思维能力的提升，真正落实课程目标对培养学生数学学科核心素养的要求.