经历概念形成过程 提升数学抽象素养

［摘  要］ 数学概念是构建数学知识体系的核心，其在数学学习中的价值是不言而喻的. 在概念教学中，教师要摒弃“讲授+记忆”的单一教学模式，重视引导学生经历概念形成过程，让学生通过观察、思考、交流等活动逐渐明晰概念的本质，达成知识内化的目的. 同时，引导学生通过经历由具体到抽象、由抽象到概括等过程提升数学抽象素养，发展关键能力.

［关键词］ 数学概念；形成过程；抽象素养

函数是一个重要概念，其具有高度的抽象性和概括性，若教学中仅仅给出函数概念让学生记忆，学生对函数概念的理解只可能是一知半解的，不利于概念本质的掌握，影响学习能力的提升和思维能力的发展. 因此，在函数概念的教学中，教师应重视引导学生经历概念形成的过程，通过亲身经历让学生深刻理解概念，明晰概念的本质，掌握概念的研究方法，提高数学学习能力，落实数学学科核心素养.

教学过程

1. 创设认知冲突，激发学习探究欲

问题1 对于函数大家并不陌生，在初中已经学习过，你们能列举出几个函数吗？

生1：y=x，y=，y=x2.

师：很好，结合以上实例，请叙述一下函数的概念. （教师点名让学生叙述）

生2：有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数.

师：很好，也就是说一个变量随着另一个变量变化而变化，两个变量之间是一种依赖关系.

设计意图 从学生已有的知识和经验出发，引导学生回顾两个变量之间的依赖关系，为接下来新概念的学习做铺垫.

问题2 y=1是函数吗？说说你的理由.

生齐声答：不是，这个式子只有一个变量，不符合函数的定义.

问题3 y=x和y=是函数吗？它们是同一个函数吗？

问题给出后，教师让学生思考、交流. 根据函数的概念，一致认为它们是函数，不过对于是否为同一个函数却产生了分歧：有的学生认为y=化简后就是y=x，所以两个函数为同一个函数；有的学生认为不是同一个函数，但不能给出合适的理由.

师：对于问题2和问题3，其结果到底如何呢？等我们学习了今天的内容再来回答.

设计意图 上述两个问题（问题2和问题3）利用初中的函数定义很难回答，由此引发了学生的认知冲突，激发了学生的探究欲. 在此过程中，教师没有直接对学生给出的结果进行正面的评价，而是制造悬念，从而有效吸引了学生的注意力，把课堂推向了高潮.

2. 从具体到抽象，积累活动经验

情境1 估计人口数量变化趋势是制定人口政策和经济社会发展规划的重要依据. 表1显示的是我国1949年至1989年的人口数变化情况.

问题4 它是函数吗？

生3：不是函数，函数都是有解析式的，根据以上数据应该很难找到具体的解析式.

师：表1中有几个变量？

生齐声答：两个.

师：分别是什么呢？

生4：年份和人口数.

师：对于確定的年份，是否有唯一确定的人口数与之相对应呢？

生齐声答：是.

师：那么根据初中的函数定义，这两个变量的关系是否符合函数关系呢？

生齐声答：符合.

问题5 你能用集合来表示年份和人口数的变化范围吗？

生5：年份的变化范围是数集｛1949， 1954，…，1989｝，人口数的变化范围是数集｛542，602，…，1127｝.

问题6 若将年份的变化范围记作A，人口数的变化范围记作B，能否用集合的观点来描述这两个变量的依赖关系？

生6：集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.

情境2 一个物体从某高处自由下落，下落的距离y（单位：m）与时间x（单位：s）近似地满足关系式y=4.9x2.

问题7 这是函数吗？说说你的理由.

生7：是函数，有两个变量，分别为下落的距离y（单位：m）与时间x（单位：s），当时间x确定后，都有唯一确定的距离y与之对应.

师：仿照情境1，先给出下落的距离y（单位：m）与时间x（单位：s）的变化范围，然后用集合的观点来描述情境2中这两个变量的对应关系.

生8：时间x（单位：s）的变化范围为数集A=［0，+∞），下落的距离y（单位：m）的变化范围为数集B=［0，+∞），则集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.

情境3 图1是某市某天的气温变化图，你能仿照情境1和情境2的研究方法来描述气温随着时间变化而变化的过程吗？

问题给出后，教师预留充足的时间让学生去感受、去表述，然后点名让学生回答.

生9：在这个变化过程中有两个变量，分别是时间和气温，时间的变化范围是数集A=［0，24］，气温的变化范围是数集B=［-2，10］，则集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.

设计意图 结合函数的具体特点引入情境，让学生在具体的情境中思考、感悟、提炼，继而将感性认识上升至理性认识，顺利地由初中的“变量说”过渡到高中的“对应说”，帮助学生积累丰富的活动经验，提升学生自主探究的能力.

3. 从抽象到概括，形成理性认识

问题8 回顾上述三个情境，它们具有怎样的共同本质属性？请用集合的观点进行总结归纳.

教师让学生以小组为单位进行归纳概括：上述三个情境都有两个集合A和B，且集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.

问题9 请分别说一说，各个情境的集合A中的数是按照什么法则与集合B中的数对应的呢？

生10：对于情境1，按照的是表格给出的对应关系.

生11：对于情意2，按照的是y=4.9x2这一解析式给出的对应关系.

生12：情境3按照的是曲线图给出的对应关系.

师：非常好，通常我们将对应关系用字母f表示.

问题10 情境1和情境3是否也可以像情境2那样，利用解析式建立其对应关系呢？（学生纷纷摇头）

生13：这两个情境很难找到具体的解析式.

师：确实如此. 结合以上情境我们可以看见，函数的表示形式有很多，其不局限于解析式，还可以是表格、图象等.

师：结合以上分析，能否用集合与对应的数学语言为函数下定义呢？

教师预留时间让学生讨论交流、归纳总结. 在此基础上，教师让学生思考集合A和集合B具有怎样的特征，它们是否可以为空集，等等. 这样在教师的启发和指导下，学生逐渐掌握了函数的概念.

设计意图 通过对情境的深入探究让学生体会函数表示形式的多样性，跳出仅有具体解析式为对应关系的局限，帮助学生获得全面的、深刻的理解. 在此过程中，教师引导学生将初中的函数概念与高中的函数概念相结合，用“集合观”来理解函数的概念，学会用发展的眼光来看待问题. 另外，教师预留时间让学生观察、交流、归纳，培养学生的数学素养.

师：现在我们根据函数新概念来解决前面提出的两个旧问题：y=1是函数吗？y=x和y=是同一个函数吗？

教师预留时间让学生思考、交流.

师：谁来说一说y=1是否为函数，你的理由是什么？

生14：y=1是函数，集合A是R，集合B是｛1｝，对于集合A中的每一个元素，集合B中都有唯一的元素1与之对应，符合函数新概念，所以它是函数.

师：很好. y=x和y=是同一个函数吗？谁来说一说.

生15：对于y=x，其定义域为R，而对于y=，显然x≠0，它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数.

设计意图 让学生重新思考课初提出的问题，使学生感受函数新概念的一般性和准确性，进而理解探索函数新概念的必要性. 同时，与初中的函数概念相比较，让学生体会函数新旧概念之间的区别与联系，深化学生对函数概念的理解.

4. 从概念到应用，促进概念深化

问题11 判断下列对应关系是否为函数，并给出理由.

问题给出后，教师让学生独立思考，然后分别呈现学生的思考过程.

师：对于问题（1），你是怎么想的呢？

生16：任意非零实数x，被唯一确定，由此判断该对应关系是函数，可以表示为f（x）=（x≠0）.

师：问题（1）中的集合B是什么？

生17：｛f（x）x≠0，x∈R ｝.

师：它可以是R吗？（学生陷入沉思）

生18：可以，当集合B为R时，集合A中每一个元素x，在R中都有唯一确定的元素与之对应，符合函数的定义.

师：集合B还可以是其他集合吗？如果可以，这些集合具有怎样的共同特征呢？

经过深入思考与交流，学生一致认为集合B还可以是其他集合，但这些集合必须包含集合｛f（x）x≠0，x∈R ｝.

师：该函数的值域是什么呢？

生齐声答：｛f（x）x≠0，x∈R ｝.

师：如果将｛f（x）x≠0，x∈R ｝看成集合C，那么其与集合B是什么关系呢？

生19：集合C是集合B的子集.

师：非常好！问题（2）中的对应关系是函数吗？

生20：它不是函数，因为当x唯一确定时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义.

师：下一个.

生21：问题（3）中的对应关系是函数，可以表示为f（1）=2，f（2）=4，f（3）=9. 它们雖然没有具体的函数关系式，但是符合函数的定义.

生22：问题（4）中的对应关系是函数，可以将集合A和集合B都看成R，根据曲线图可知，对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，符合函数的定义.

设计意图 函数的概念是抽象的，学生虽然亲身经历了函数概念形成的过程，但是学生对函数概念的理解还是比较浅显的，因此教学中有必要给出一些具体练习让学生进行思考辨析，以此促进对函数概念的深化. 在该环节的练习设计中，教师没有一味地强调函数概念满足的条件和一些注意事项，而是通过一些正反实例让学生进行思考辨析，以此通过多角度思考和交流达成知识的内化，提高概念教学的有效性.

教学思考

培养学生的数学学科核心素养是高中数学教学的重要目标之一，但这很难依赖讲授来完成，需要将其融入数学教学活动中. 以学生数学抽象素养的培养为例，只有让学生经历数学抽象的过程，学生的数学抽象素养才能潜移默化地得到提升. 数学概念具有高度的抽象性，其是培养学生数学抽象素养的重要素材. 在概念教学中，教师不要急于将抽象的概念讲授给学生，应重视引导学生经历数学概念的抽象过程，以此落实学生的数学抽象素养. 数学抽象过程一般需要经历三个阶段，分别是简约阶段、符号阶段和普适阶段，从这三个阶段落实学生的数学抽象素养是很有必要的.

1. 简约阶段

该阶段的主要任务是将事物的本质属性逐渐提炼出来，并用数学语言清晰地、有条理地进行表述. 在函数概念教学中，教师先让学生列举一些初中所学的函数实例，然后提出“y=1是函数吗”“y=x和y=是同一个函数吗”等问题引发学生认知冲突，让学生体会研究函数新概念的必要性. 为了深入探究函数概念的本质属性，教师又给出了丰富的情境和典型的案例，引导学生通过观察、比较、分析等过程逐渐体会函数的本质其实就是一种确定的对应关系. 在以上过程中，学生从具体情境中抽象一般规律，提炼函数概念的本质属性，提升了数学抽象能力.

2. 符号阶段

该阶段旨在运用数学语言来表达简约化的关系，从而使抽象出来的结果更加清晰明了. 例如，把函数记作y=f（x）（x∈A），其中x表示集合A中的元素，y表示集合B中的元素，f为对应关系. 在本课教学中，教师没有直接给出函数的定义，而是提出精心设计的问题串，让学生在问题的引领下用数学语言进行归纳概括，然后是教师的修正. 在教师的启发和指导下，学生用精准的符号语言表达出简约阶段得到的对应关系，提升了数学表达能力.

3. 普适阶段

该阶段旨在通过假设和推理等过程建立数学法则、数学模型等，并利用它们解释具体的事物. 在引入阶段，教师让学生辨析“y=1是否为函数”和“y=x和y=是否为同一个函数”. 对于这两个问题，学生很难用初中的函数概念加以解释，但是得到函数新概念后，问题便迎刃而解. 在应用阶段，教师又给出不同的正反实例让学生思考辨析. 这样通过以上问题的解决，让学生充分体验到函数新概念的一般性、准确性和简约性，体会到研究函数新概念的重要性和必要性.

总之，数学教学的意义不仅是让学生掌握知识，更重要的是通过经历知识形成、发展、应用等过程让学生掌握数学核心思想，提升关键能力，养成思考一般性问题的习惯.

作者简介：刘勃（1982—），本科学历，中学高级教师，从事高中数学教学工作.