HPM视角下构建符合学生认知规律的概念教学

［摘  要］ 在HPM视角下的教学中，教师应基于“大观念、大主题、大单元”的教学理念，准确把握数学史料的“深度”，构建符合学生认知规律、适合学生认知结构的教学活动，让学生体会和感悟数系扩充的原则，实现数集的再一次扩充. 同时，设置合适的问题串，使学生在新概念生成的过程中，提高自己的理性思维能力，实现对概念的自主探究.

［关键词］ HPM；数系扩充；复数概念；概念教学；大观念

HPM是History and Pedagogy of Mathematics的简称，即数学史与数学教育. HPM领域中有一项非常重要的工作，即在数学教学中融入数学史，通过直接展现历史、间接借鉴历史或者深度挖掘历史背景（数学生活、数学文化等），体现数学知识自然产生和发展的过程，强调合理地发现问题、分析问题和解决问题. 在HPM视角下的数学教学可以给学生还原数学知识产生和发展的过程，还原历史“真相”. 但是，有的数学概念产生的历史过程漫长且思维难度很大，对于高中生而言，如果处理不好，会让他们的思维在历史问题中辗转而无法自拔，造成喧宾夺主，达不到预期的教学效果. 这个时候，就需要教师深入了解数学史，挖掘其本质，构建符合学生认知规律、适合学生认知结构的教学情境展开教学活动［1］.

“数系的扩充和复数的概念”是人教A版必修第二册7.1节的内容. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出：“复数是一类重要的运算对象，有广泛的运用. 本单元的学习，可以帮助学生通过方程求解，理解引入复数的必要性，了解数系的扩充，掌握复数的表示、运算及其几何意义.”下面，笔者对本节课教学进行分析，供同行参考指正.

教学现状及分析

1. 问题情境的创设没有体现引入复数的必要性

概念的产生要么是生活、生产的需要，要么是数学内部解决问题的需要. 在引入复数的过程中，部分教师从解方程的角度用如下几个问题去引导学生：①在自然数集内求关于x的方程x+1=0的解；②在整数集内求关于x的方程2x+1=0的解；③在有理数集内求关于x的方程x2=2的解；④在实数集内求关于x的方程x2=-1的解. 这些问题看似十分符合学生的认知规律——让学生一步一步认识到如果在原数集范围内方程无解，那么就需要对数集进行扩充，使方程在新的数集范围内有解——但是根据学生的认知基础，学生为什么会考虑方程如何才能有解，且學生会认为关于x的方程x2=-1在实数集内无解是再正常不过的一件事，为什么还要对它们进行研究. 整个情境不仅不符合复数发生和发展的过程，也没有体现引入复数的必要性，这只是教师为了情境而创设情境.

还有部分教师采用的是意大利数学家卡尔丹提出的一个问题：将10分为两部分，使两部分的乘积等于40，这两部分分别是多少？在实际课堂中，学生是这样解答的：设这两部分分别为x，y，则x+y=10，

xy=40，对其进行化简可得x2-10x+40=0. 因为Δ<0，所以一元二次方程x2-10x+40=0无实数解，也就是不存在实数满足方程x2-10x+40=0. 这个时候，教师话锋一转：为什么这样的方程无实数解呢？更有教师提出：函数y=x2-10x+40的图象表明方程x2-10x+40=0的两根之和为函数图象对称轴上点的横坐标的2倍，两根之积为函数图象与y轴交点的纵坐标，我们可以清楚地看到两根之和与积所在的位置，却找不到这两根……它们都去哪儿了呢？众所周知，在初中，学生学习根与系数的关系时，教师都会强调利用根与系数的关系无法说明根的存在性；同时，像x2-10x+40=0这样的方程没有实数解在学生的心中已是定论，那么还有讨论的必要吗？教师在这个时候提出这样的问题，对学生而言，其实就是多此一举，没有继续研究的必要，也就是说这样的问题情境是不符合学生认知规律的.

2. 数系扩充的学习过程缺少方法论的研究

在实际教学中，部分教师采用一系列解方程的问题情境，因为没有更深入的研究，所以讲授的仅仅是数集的扩充，而不是数系的扩充.即讲解时，只关心有没有扩充到复数集，而不关心为什么要扩充到复数集，扩充的数是哪些数，扩充的原则是什么. 使得整个讲授过程缺少了思想，失去了灵魂，学生学习完本节课内容后，没有获得研究此类问题的经验和方法，以及可持续学习的能力.

3. 相关数学符号的引入逻辑的表述不准确

有些教师在引入虚数单位“i”之前，在“自然数集→整数集→有理数集→实数集”的扩充过程中，逐步渗透分数线“—”和根号“”的由来，类比引入虚数单位“i”，看起来似乎合情合理，但是仔细思考后就会发现，分数线“—”和根号“”代表的都是一种运算，而虚数单位“i”则不是，它仅仅是一个单位符号.

鉴于上述课堂教学的不足之处，结合学生的认知结构和认知规律，笔者在HPM视角下，基于“大观念、大主题、大单元”的教学理念，提炼数学史中相关内容的思想方法，把不符合学生认知结构和认知规律的内容加工成为能被学生接受且不失发现数学问题本质的教学情境，重新组织本节课教学过程.

我的教学过程

1. 教学目标

（1）了解引入复数的必要性.

（2）了解数系扩充的一般规则，了解从实数系扩充到复数系的过程，感受数系扩充过程中理性思维的作用，提升数学抽象、逻辑推理等素养.

（3）理解复数的代数形式，理解复数的概念，理解复数相等的含义.

2. 教学重点和难点

重点：实数系扩充到复数系的一般规则，理解复数的概念.

难点：对数系扩充的基本原则以及虚数单位i的理解.

关于这节课的几点思考

1. 准确把握数学史料中的“深度”，依据学生认知规律重建适合学生认知结构的问题情境

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确指出：“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质.”创设符合学生认知规律的问题情境，是提高学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力的有效通道.

本节课中，笔者没有从复杂的解三次方程公式的产生过程说起，而是利用学生可接受的对方程x3-15x-4=0的求解，分析学生因式分解的解法和在学生认知能力范围内的数学家的求解过程，发现解是一样，但是求解过程中出现了现有知识结构中无法解释的一个问题，引发学生思考，诱发学生提出问题，让学生体会到了引入复数集的必要性.在数系扩充过程中，笔者沿着数学家们的足迹，引导学生进行“自然数集→整数集→有理数集→实数集”的扩充，在扩充过程中体会数学家们的数学思想，正是这样一个符合学生认知规律、适合学生认知结构的问题情境的创设，让学生感受到了探究的乐趣，也实现了学生主动积极积累从实数集扩充到复数集所需要的基本活动经验.

2. 结合概念的生成过程，培养学生的理性思维能力

理性思维是人类思维的一种高级形式，它是建立在证据和逻辑推理上的一种思维能力. 在培养人的理性思维、科学精神，促进个人智力发展的过程中，数学发挥着不可替代的作用，而这正是学生用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界必须具备的思维品格.

本节课中，笔者通过解三次方程提出疑问，启发学生大胆猜想、理性思考疑问，带领学生进行合作探究，回顾已知的数系发展的基本知识，反思数系发展涉及的基本思想、基本活动经验和基本技能，让学生理性思考必须无中生有一些“新数”以及引入“新数”的原则，体会数学理性思考所带来的魅力. 合理引入虚数单位，整体认识复数的代数形式以及复数的分类标准，这些正是学生对数系扩充进行理性思考的结果. 这样一个认知过程，也是培养学生理性思维能力的一个过程.

3. 设置合适的问题串，实现学生对概念的自主研究

有的教师在概念教学中常常采用“一个定义、三项注意”的形式，课堂结束后，自我感觉概念讲得很清楚，学生听得很明白. 但这样的教学方式没有让学生感受到数学的魅力，更没有给学生带来继续探究下去的动力. 长此以往，学生就会感觉数学学习枯燥且乏味. 因此，教师在概念教学中，要努力探索概念背后的深层次的数学问题，让学生成为问题探究的主体；提出的有价值的问题要符合学生的认知规律，体现层次性，让学生在发现、提出、分析和解决问题的过程中，亲身经历概念生成和生长的过程，实现学生对概念的自主研究.

本节课中，笔者深入探索复数产生的过程，精心设置了11个问题，组成问题串. 通过问题“在实数范围内解关于x的方程x3-15x-4=0”“对于这样的解法你有什么疑惑吗”，引导学生进行理性思辨，自主探索问题产生的原因.当学生发现问题的本质后，笔者又提出问题“那我们如何来研究它呢”，引导学生大胆猜想“我们认知范围内的数不够用了，该怎么办呢”，促使学生积极思考要对数集进行扩充. 问题“在数集的每一次扩充过程中，我们都是在原来数集的基础上添加一些‘新数，这些‘新数需要满足什么样的条件才会被引入”的提出，带领学生理性思考数系扩充的目的和原则. 而问题6、问题7、问题8、问题9、问题10、问题11的提出与解决，正是学生应用已掌握的基本活动经验进行自主探究并完成了实数集到复数集的扩充.这样一个问题串的设置，实现了学生对概念的自主探究.

4. 深度把握“大观念、大主题、大单元”的教学理念，促进数学学科整体性、系统性和联系性的发展

数学是一门逻辑性很强的系统性学科，大家总是想从不断变化的问题中找到不变的、永恒的规律. 这就要求教师站在更高的角度来思考和理解知识，通盘考虑整个学段的知识，突破单元知识的壁垒，认清单元知识的内在联系，重组、整合单元知识，形成完整的知识链，并在平时的教学中主动带领学生构建具有“大观念”的“大主题”和“大单元”的知识体系［3］，让学生在学习过程中，不仅仅能学到知识，还能提炼思想方法，更重要的是促进数学学科整体性、系统性和联系性的发展.

本节课中，学生提出负数无法开平方后，笔者并没有马上给出复数的相关定义，而是提出“之前我们有没有遇到过类似这样的问题”，引导学生回顾以前学习过程中有无相关联的问题，这些问题的研究思路和解决方法是什么.比如学生学习完指数函数后，又会对对数函数、幂函数以及三角函数等基本函数进行研究，教师在引导中要主动提出：我们研究一个新函数时，都会研究函数的哪些内容呢？以此帮助学生建立“大观念、大主题、大单元”下的探索方向. 学生在这样的引导下，能很快回忆到研究函数的“两域四性一图”（即定义域、值域、单调性、对称性、周期性、有界性和图象）. 引导学生从“自然数集→整数集→有理数集→实数集”进行扩充后，学生不会自觉提出“要研究运算律”这样的问题，此时笔者提出“在数集的每一次扩充过程中，我们都是在原来数集的基础上添加一些‘新数，这些‘新数需要满足什么样的条件才会被引入”这个问题，引导学生回顾刚学习的向量的研究过程，即“定义→表示→关注特殊元→两元关系及分类→构造运算（运算律）及性质→应用”——这是我们研究新定义的一个基本研究思路，从而让学生明确本节课的研究对象和内容. 在课堂小结中，笔者带领学生回顾研究思路：“数学家发现问题→探究问题的本质→回顾数学发展史中有没有类似问题的出现，是如何解决的→对研究方法进行类比，得到新的数集，完成数系的再一次扩充.”对研究思路的明确是教师对基于“大观念”的“大主题”和“大单元”的理解，对新旧知识进行合理融合、逐渐渗透，让学生在一次又一次的探究过程中，感受到数学知识的整体性、系统性和联系性的重要.

结束语

HPM视角下问题情境的创设是引导学生经历知识发生和发展的重要途径.在实际教学中，教师要对数学史进行合理的梳理和取舍，使数学史能真正融入课堂. 教师在“大观念、大主题、大单元”的教学理念的指导下，主动引导学生经歷数学概念和数学思想方法发生和发展的过程，促使学生积极主动地进行理性思考，积累基本的数学思维和实践的经验，为学生可持续学习、终身学习打下良好的知识和能力基础.

参考文献：

［1］ 吕天玺，王光明. 基于数学核心素养的“复数”教学设计［J］. 数学通报，2018（06）：39-43.

［2］ 宋金栋. 有价值的问题促成新知的探究与构建——“数系的扩充与复数的概念”教学探索［J］. 中学数学教学参考（上旬），2021（06）：39-41.

［3］ 王佳，蒋晓东. 从“复数”发展史角度探究“数系扩充及复数的概念”一课的教学［J］. 中学数学教学参考（上旬），2022（01）：35-37.

基金项目：江苏省教育科学“十四五”规划2021年度青年教师专项课题“新课程标准下的初高中数学衔接的过渡研究”（C-c/2021/02/91）.

作者简介：吕兆勇（1978—），中小学高级教师，张家港市学科带头人，从事数学教育教学研究工作.