数形结合，助推儿童思维发展

王雪涛

数和形是数学研究的最基本对象，其中“数”指数学中的“数量关系”，一般为抽象的、符号化的数学对象，“形”指数学中的“空间形式”，一般为有形的、可视的数学内容。在数学教学上，数形结合是一种数学思想方法，在一定条件下，数和形可以相互转化。数形结合的应用不外乎两种——第一种是有效利用数的精确性来说明形状的某些属性，第二种是有效利用几何形状的直观性来说明数与数之间的相互关系，也就是数形结合包括两个方面：第一种情况是用数解形，第二种情况是以形助数。数形结合主要是指数量与形状之间的相互对应，是高度抽象的数学数量关系与形象直观的几何图形的结合。

小学生的思维是从以形象具体思维为主向以逻辑抽象思维为主过渡的。通过“以形助数”或“用数解形”，能够引导学生从具体的、可以直接感知的数学学习基础上，区分数学概念的本质和非本质属性，能掌握一些抽象概念，能运用概念、判断、推理进行思考，从而使复杂问题简单化、抽象问题具体化，促进思维能力发展。以下是笔者基于数形结合思想方法在教学实践中的一些应用探索。

利用数形结合，培养初步量感

《义务教育数学课程标准（2022年版）》首次明确提出了“量感”的概念，其主要指对事物的可测量属性及大小关系的直观感知。如史宁中教授所说：“数是对数量的抽象，数量是度量的结果，数学的本质在于度量。”因此，“量感”与“数感”相辅相成、密不可分。以推导出长方形面积公式为例，如何在展开度量的过程中获得度量的结果，并对结果进行抽象化表达？教师可出示一个长6厘米、宽4厘米的长方形，在出示时不标明长与宽的长度，与学生一起探索求解出该长方形的面积。具体步骤如下：教师呈现边长为1厘米的正方形学具，全班以小组形式开展合作学习。合作学习之后，让小组代表交流“这个长方形的面积是多少”并说出理由。学生1：边长6厘米，我们沿着长可以摆放6个边长是1厘米的小正方形，宽4厘米，我们沿着宽可以摆4个边长是1厘米的小正方形，这样我们一共摆了24个这样的小正方形，因而我们得出这个长方形面积是24平方厘米。学生2：边长6厘米，每排摆6个，宽4厘米，共摆放4排，一共可以摆6×4=24个这样的小正方形，24个1平方厘米的小正方形，面积就是24平方厘米。学生通过摆一摆，计算出了长方形的面积。此时，教师可进一步启发学生找出规律。学生发现1：“长×宽”的值正好是小正方形总共个数；学生发现2：有几个1平方厘米，面积就是几平方厘米；学生发现3：“长×宽”的结果就是面积。为了充分证明“长×宽”的结果就是面积，教师可让学生继续探索发现规律的普遍性，最终让学生自己总结出长方形面积的计算方法。

在以形助数的教学过程中，教师可让学生自主探究，深度展开学习，通过实践操作，培养量感，提升归纳总结的能力；同时发展数感，加深对知识的理解。

利用数形结合，厘清概念本质

克劳斯梅尔等人把数学概念学习分为具体期、确认期、分类期、生产期、形式期五個阶段，其中数学概念的确认期是个较长的过程。在新数学概念出现时，学生往往会将之与已知概念混淆，此时可以通过具体、直观、形象的数形结合方法，帮助学生辨别概念本质属性。

例如，平行四边形面积教学需重点把握两大问题：一是探索面积的推导过程，使学生能够直观感知转化过程中各要素之间的对应关系；二是澄清学生常常会出现的平行四边形面积为“邻边相乘”的错误认知，利用图形结合，帮助学生辨析面积概念，提升概念理解水平。具体做法如下——

出示长为6厘米、高为4厘米的平行四边形，这个平行四边形带有格子，教师可引导学生先沿着高剪下来，然后拼到另一边，就变成了一个长方形，学生发现这个长方形的面积“长×宽”是24平方厘米，并且这两个图形移动前与移动后的面积是一样的，因而平行四边形面积是“底×高”。如何验证“邻边相乘”结果是错误的？教师可用长6厘米、高4厘米的平行四边形框架，放在一个11厘米×6厘米的格子里，把它压一下，数一下格子，发现面积变小了，再往下压，面积越来越小。通过直观演示，学生们可以发现平行四边形的边长不变，面积却是变化的。

利用数形结合，明晰数量关系

帮助学生认知数量关系是数学教学的一大基本任务，找准数量关系也是解决数学问题的关键。在较为复杂的问题情境中，由于小学生的抽象思维和逻辑思维能力较为薄弱，无法辨析数量之间的关系，容易在问题解决过程中出现思维障碍。对此，教师可利用数形结合的方法，将较为复杂的数量关系用图像表示出来，并用数学语言进行解释，化难为易，化繁为简，以此帮助学生明晰数量关系，精准找到解决问题的方法，进而发展学生的抽象思维。

例如，在教学“分数乘法”时有这样一道题：“商品原价是α元，先降价1/6，再提价1/6，问现价与原价相比是涨了还是降了？”这道题从字面上理解，许多同学会出现一种错误的直观判断：“现价与原价是一样的”，解决这一问题的关键是单位“1”的量在发生变化，“商品原价是α元，先降价1/6”，这里单位“1”是“商品原价”，“再提价1/6”，单位“1”又发生了变化，变为“降价后的价格”。由于部分学生缺乏抽象逻辑思维能力，数学语言描述无法让学生理解单位“1”的变化。此时，教师可通过画线段图的方式使学生直观看到两个量之间的变化关系。在图示中，学生发现单位“1”发生了两次变化，先降价与再提价的单位“1”是不同的，直观感知到现价比原价降了。而学生只有真正明晰了错误认知的原因，才能更好地提升判断分辨的能力，养成严谨的思维品质。

利用数形结合，优化解题策略

数学计算教学，不但要求学生能够准确计算，而且要求学生能够思考简便运算的算理，在算理的理解基础上合理简算。数形结合思想方法在解决运算问题中也能起到重要的作用，可以帮助学生通过直观的认识和严密的逻辑推导，揭示数与形之间的本质联系，透过表面揭示问题实质。美国数学家斯蒂恩曾经说过：如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么，思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。

例如，在计算时，笔者设计了以下教学活动——

活动一：研究算式，找到特点。学生通过研究发现这道算式是4个分子都是1的四个分数连加，后面一个分数的分母是前面一个分数分母乘2。

活动二：自主思考，常规运算。学生运用原有的运算方法进行计算，主要有两种：一种是先进行通分再进行同分母分数相加，另一种是把分数化为小数再进行相加。

活动三：将数化形，探索方法，引导学生探究更加简便的算法，及时介入图形，如果把正方形看作单位“1”，把算式中的加数填入图中，  学生通过填数，从图形中发现问号部分是大正方形的，四个加数部分是大正方形的，最终想到这四个加数的和是。

活动四：拓展延伸，总结策略。教师进而启发教学：“如果加上，再加上，你还能很快求出得数吗？”学生都很自然得到了答案。

借助数与形的结合，学生变换了思考角度，由顺向求和的常规方法想到了逆向求差的方法，使原本复杂问题的求解简单化。在此过程中，学生学会了在解决问题时寻找多种策略，并从中选出最优策略。

总之，在小学数学教学中，教师应合理充分利用数形结合思想方法，创设问题解决的具体情境，引导学生在体验中感悟，促进学生学习的深入，从而更好地发展学生的空间想象、观察分析、合情推理等数学素养，使学生在对数学知识的深刻理解中提高思维能力。