重概念教学 促学力发展

严洁

［摘  要］ 概念教学可以把握学生学习的起点，是激发学生探索欲的基础，更是促进学力发展的前提. 文章以“余弦定理”的概念教学为例，具体从“情境创设，实例导入”“深入探究，形成概念”“应用概念，巩固提升”“拓展延伸，发展能力”四方面展开分析，并从以下三方面谈几点思考：立足教材，体现概念形成过程；问题设计，明确概念探究方向；注重思维，促进数学能力发展.

［关键词］ 概念教学；情境；思维；学力

数学概念是逻辑的起点，是促进学生认知发展的基础. 世间万物的形成与发展都遵循一定的程序，具有一定的自然性特征，数学概念亦不例外. 教材中所呈现的概念一般都是用严谨的语言直接呈现，缺乏对概念形成过程的介绍，这无形中会掩盖概念形成过程的自然性特征［1］. 若将抽象的概念直接“灌输”给学生，会让学生感到一知半解，无法理解其本质. 在此笔者以“余弦定理”的概念教学为例，从以下几方面展开分析，并提出几点思考.

教学过程

1. 情境创设，实例导入

高中阶段的数学在内容和形式上都比初中数学要抽象，对教师的专业水平与学生的思维能力的要求越来越高. 课堂导入环节，教师可通过问题情境的创设，激发学生的探索欲，减少数学学习的枯燥性，从更大程度上提高学生的思维能力与解决问题的能力.

课堂导入所创设的问题情境需要遵循以下几个特性：①目的性，目标明确的情境，可让学生进行针对性的思考；②价值性，创设情境的目的在于导入新课，切忌为了情境而创设情境；③符合学生的认知，难易程度适中的问题情境才能起到激趣启思的作用.

本节课，教师直接以问题情境切入课堂教学.

问题1 请大家回顾一下用正弦定理求解常见问题的两类情况.

问题2 （情境创设）如图1所示，已知AC=1338，BC=700，∠ACB=110.8°，请根据这些数据，求AB的长度.

学生讨论并归纳此问题情境的特征：这是一个实际问题，即在△ABC中，已知边AC，BC的长度以及这两边的夹角∠ACB的值，求第三边AB的长度. 从问题本质来看，这是一道解三角形的实际问题.

设计意图 问题1，复习正弦定理的运用类型，为接下来类比余弦定理的应用奠定基础；问题2，情境的提出，顺利完成余弦定理的引入. 这两个问题都建立在“以生为本”的基础上，从实际问题出发，将待解决的问题形象化，以提高学生的抽象與建模能力，为促进学生“四基”与“四能”的发展奠定基础.

2. 深入探究，形成概念

学生通过对上述问题情境的思考与分析，发现利用所熟悉的正弦定理的两种类型并不能快速获得边AB的长度，过程很烦琐，从而引发学生产生去探究新的解题策略的想法.

学生自主探索与交流，认为添加辅助线、化斜三角形成直角三角形的方法可解决问题2. 教师适时进行点拨，提出这种方法的烦琐之处在于需要进行复杂的分类讨论. 当学生的思维出现“愤”“悱”状态时，教师顺势提出以下问题.

问题3 观察图1，可见待求的边AB的长度实则为点A，B之间的距离. 对于求两点之间的距离，我们熟悉的方法有哪些？

问题4 怎样建立平面直角坐标系？

问题5 点A，B的坐标该怎么表示呢？

设计意图 化斜三角形成直角三角形是学生熟悉的“形”，用坐标法探索数学问题属于抽象的“数”，此处通过问题串的方式，引导学生“化形为数”，借助抽象精确的“数”来研究直观的“形”. 意在让学生的思维从感性直观向理性抽象转化，让学生借助两点间的距离公式来解决这个实际问题.

结合两点之间的距离公式，学生写出如下等式：c2=AB2=（acosC－b）2+（asinC－0）2=a2－2abcosC+b2. 观察这个等式，可以发现三角形中存在的四个元素.

师：观察图2，对照以上等式中所涉及的四个元素的位置，通过类比分析，尝试写出其他结论.

学生通过自主思考与交流，总结出余弦定理的概念. （过程与内容略）

设计意图 此过程是引导学生经历从特殊到一般的过程，学生通过观察、思考、猜想、分析与归纳，获得应用数学抽象思维解决问题的能力，为形成良好的数学抽象与数据分析能力奠定了基础.

问题6 余弦定理公式体现出了三角形中三条边和一个角的关系，若三角形的三条边为已知条件，该怎样求三个角呢？

设计意图 引导学生亲历从直观到抽象的概念形成过程，深化学生对余弦定理的认识，为培养学生的数学抽象能力、逻辑推理能力以及直观想象能力奠定基础.

3. 应用概念，巩固提升

掌握概念的目的在于能将它灵活地应用在实际解题中，帮助学生形成解题技巧，提高学生的解题能力.

例题1 已知△ABC的三条边的长分别为3，5，7，则△ABC的最大角是多少？

变式题1：已知△ABC的三条边的长之比为3∶5∶7，则△ABC的最大角是多少？

变式题2：已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7，求△ABC的最大角.

例题1及其变式题让学生口述回答，教师采用面对面、点对点的方式进行评价. 例题2则由师生共同探讨、分析，通过教师的板演让学生感知解题的规范要求，学生从中体验到解法的合理性和解题的优化策略. 例题2的变式题要求学生独立思考并完成解答，该变式题具有渗透数学思想方法的作用.

设计意图 此环节意在让学生感知概念是如何形成与发展的，激发学生对余弦定理的应用意识，让学生对概念本质形成科学的认识. 这两个例题的应用，还具有渗透方程思想和化归思想的作用，引发学生学会规范应用数学思维来解决实际问题，促进学生运算素养的发展.

4. 拓展延伸，发展能力

结合正弦、余弦定理解三角形（解三角形的四种常见类型：SSA，AAS，SAS，SSS），把知识拓展延伸，以夯实学生的知识基础，拓宽学生的思维，发展学生的解题能力.

问题7 请大家结合三角形相似和全等的知识，分析三角形的四种常见类型该如何求解.

采取小组合作交流，教师适当点拨的方式進行分析，学生发现，只有SSA这种类型与他们原有认知结构中的信息有所差别，其他都一样；SSA这种类型的三角形不能确定，存在一解、两解或无解的情况. 通过探讨，学生获得了如下结论：若三角形的三边已知，角是唯一且确定的；若三角形三边的比值已知，角也是唯一且确定的……

设计意图 将三角形全等与相似的规律通过问题的探索抽象出来，可以建构高阶层次的单元知识概念，这是数学学习的较高境界. 在此过程中，教师给予学生充足的思考时间与探索空间，学生在问题的导向下，有效增强了思维的深度与广度，为形成良好的逻辑思维能力与数学抽象能力奠定了基础.

几点思考

1. 立足教材，体现概念形成过程

教材是实施教学的依据，是促进学生建构概念的重要外因之一. 然而，教材所呈现的知识是静态的，而师生的思维却是灵活多变的，每个人对教材所呈现的内容会有不一样的理解. 作为教师，应立足教材，想方设法将概念形成的过程展现出来，让学生对概念的形成源头、发展过程有一个确切的认识，从真正意义上了解概念的“前世今生”.

作家巴尔扎克认为：一个能思想的人，才是一个力量无边的人. 教师作为课堂的组织者，务必有自己独特的教学风格与思想，阅读教材时，决不可局限于教材所呈现的文字概念，而应从教材的字里行间探寻概念所蕴含的数学思想方法以及概念的来龙去脉，明确概念源自何处，到哪儿去，具有怎样的作用等［2］.

师生不断地钻研、探索教材所蕴含的深意，才能领悟到概念的内涵与外延，教学活动才能够完整、出彩.

例如本节课，若直接从坐标法出发，引入余弦定理的概念，会让学生感到云里雾里，一脸茫然. 而从问题情境的引入，再结合教材中的内容，由实际问题引发数学建模，探寻求解策略，引出坐标法，直至获得余弦定理，学生的思维经历了“直观想象—数学建模—逻辑推理—数学抽象”的过程，有效促进了数学建模能力、数学抽象能力的发展.

2. 问题设计，明确概念探究方向

学贵有疑，问题是数学的心脏，概念教学中的问题设计决定学生思维的方向. 概念教学的关键在于突出概念形成的过程，追求概念的自然生成，让学生能从根本上理解概念.

概念的形成一般源自以下两个方面：①客观世界中数量关系与空间形式的抽象；②原有数学知识结构上的逻辑建构. 在对现实现象抽象或逻辑结构建构的过程中难免会产生一些认知冲突，这些认知冲突属于概念形成过程中学生所遇到的困境，在此处设计合适的问题，是促使学生了解概念本质的关键.

为了解决学生在概念形成过程中所产生的认知冲突，教师在新概念的引入中需要带领学生进行概念的检验与论证，即明确概念的生成是否合理. 对概念进行合理性分析的过程，就是学生用数学思维思考现实世界的过程，如推理表述或举反例等，都是为了让概念的生成更严谨.

恰当的问题有助于促进概念探究框架的建构，同时问题还能有效驱动情境的展开，保证课堂效率. 问题提出需要瞄准时机，掌握火候，如在新旧知识的衔接处提问，在知识的生长点处提问，在学生认知障碍处提问或在学生思维的节点处提问，都能为概念探究与数学表达搭建平台，提高学生的抽象与概括能力，促进学生思维能力的发展.

本节课教学，逐层深入的问题，成功引发学生自主发现、完善、归纳总结概念，让学生获得了良好的学习体验，为学生自主完善知识体系夯实了基础.

3. 注重思维，促进数学能力发展

在概念教学中，仍然有些教师存在“轻概念，重解题”的思想，一味地强调关键词的作用，而忽视了亲历概念生成过程的必要性，至于概念生成过程中学生思维的变化情况如何更毫不在意，这种行为严重阻碍了学生对概念本质的掌握，不利于学生数学学科核心素养的形成与发展.

概念学习是一个由表及里、循序渐进的过程. 对于大多数概念而言，都有一定的形成背景，因此教师可以情境作为概念教学的切入口，激发学生对概念的探究欲. 当学生应用原有的知识和经验无法解决相应的问题时，则可以通过实例的引入来帮助学生建构新的概念，让学生从直观感知中抽象出概念的内涵，促进思维的生长.

事实告诉我们，创设生动、互动、合作、共生的教学活动，不仅能凸显学生在课堂中的主体性地位，还能让学生以问题为核心促进思维的有效发展，彰显“教随学定”的灵动性，“学随思定”的深刻性［3］. 高中数学概念教学，不再是单纯的知识传授，更重要的是促进学生思维的发展，培养学生终身学习的能力.

本节课教学，教师并没有着重强调概念中关键词语的重要性，而是根据概念结构与实际意义展开阐述，引导学生亲历概念生成过程，为学生建构完整的知识结构奠定了基础. 学生结合原有的认知结构，与新知进行比较，发现只有SSA这种类型的三角形与原有认知结构中的信息有所差别，其他类型都是高度一致的. 这个发现成功激发了学生的探究兴趣，为新知的建构夯实了基础.

总之，教师要基于学生原有的认知结构，科学合理地设计问题情境，让学生在问题的驱动下，经历概念形成与发展的过程，获得良好的学习体验，从真正意义上促进学习能力的发展.

参考文献：

［1］ 章建跃. 如何帮助学生建立完整的函数概念［J］. 数学通报，2020，59（09）：1-8.

［2］ 赵天玺. 理解概念本质 发展理性思维 培养科学精神［J］. 中小学数学（高中版），2019（03）：8-10.

［3］ 李善良. 现代认知观下的数学概念学习与教学［M］. 南京：江苏教育出版社，2005.