数学学科核心素养下的章起始课教学设计

陆燕萍

［摘  要］ 章起始课具有承上启下的衔接功效. 文章以“统计”的章起始课教学设计为例，具体从教学分析、教学过程与教学思考三方面展开阐述. 教学过程包括“情境创设，导入主题”“应用实例，提出问题”“实施探究，建构概念”“练习训练，总结提升”等环节，研究者对每一个环节的设计谈了一些看法.

［关键词］ 章起始课；数学学科核心素养；统计

章起始课一般以介绍本章节的基础概念为主，因为难度系数较小，常被教师忽略. 殊不知，良好的开端是成功的一半. 一方面，上好章起始课不仅能为接下来的教学奠定知识与方法基础，还能让学生从宏观的角度整体把握学习内容，为完善知识体系服务；另一方面，关注章起始课教学，能有效调动学生的探索欲，培养学生的“四基”与“四能”，发展学生的“三会”能力，为核心素养的形成与发展奠定基础［1］.

教学分析

“统计”是人教A版数学必修第二册第九章的内容，其章起始课虽然知识点不多，难度也不大，但蕴含的数学思想方法很丰富，对发展学生的整体观与数学学科核心素养具有重要意义. 纵观整个章节，都是从经典例题出发，引导学生在自主探索与合作交流的基础上对数据进行搜集、整理，并基于数学视角进行专业分析的过程，让学生在此过程中提炼统计思想，感悟学习统计知识的必要性.

本章节共有4个课时，分别是简单随机抽样、用样本平均数估算总体平均数、分层随机抽样、获取数据. 在章起始课之前，教师要站在整体角度来分析整个章节的教学内容，尽可能为学生初步搭建一个知识或研究方法的框架，为后续教学奠定基础.

教学简录

1. 情境创设，导入主题

借助信息技术分别展示我国第七次人口普查情况、学生高考分析情况、2022年国内生产总值、班级近期各科考试得分情况、奶粉抽检情况以及某电视台的收视率等数据. 通过大量数据的展示，引发学生回忆普查和抽样调查等概念.

师：以上所展示的各组数据，在每一个领域中都起着无可替代的作用. 如根据人口普查结论，我国不仅开放了二胎政策，还倡导三胎，这说明大数据及统计对我们的生活、生产以及政府决策都有着重要意义. 本节课我们一起来开启一个新的篇章，之前大家接触过关于统计的部分知识，如图1所示，此为处理数据的一般流程.

学生在教师的引导下，不仅回顾了初中阶段所接触的关于普查与抽样调查等统计学知识，还进一步体悟到数学是分析与解决一些生活实际问题的工具.

设计意图 借助多媒体展示问题情境，意在激发学生对本章节内容的探究兴趣. 旧知是新知的“先行组织者”，通过新旧知识的联系揭露教学主题，深化学生对统计的认识，为进一步提升学生的数据分析能力奠定基础.

2. 应用实例，提出问题

问题1 分别说说你们所认识的普查与抽样调查的优缺点. （如表1所示）

学生一致认为普查所耗费的时间比较长，人力、物力等比较大，有时候还可能损坏样本；抽样调查的操作性强，耗费的时间比较短，人力、物力等比较少，获得数据的效率比较高. 因此，抽样调查的应用更广泛.

问题2 说说抽样调查的目的. （了解整体情况）

师：抽取样本时，需要注意些什么呢？该怎样抽取样本可从真正意义上了解整体情况？现在我们一起来看这个抽样调查案例：为了解某中学高一到高三年级学生每天吃早餐的情况，学校准备做一个调查. 现有如下几种抽样方式，选择哪种样本具有较好的代表性？

A. 择取高二年级某班的学生实施调查分析；

B. 择取高一到高三所有学号中带有6的学生进行调查分析；

C. 将全体男生作为调查对象；

D. 各班用抽签的方式抽取20%的学生进行调查分析.

分析 抽样调查与普查相比，其优点在于节约了时间、人力、物力等. 抽样的关键在于样本应具有代表性，但也不能以偏概全导致结论存在偏差或遗漏. 第一个选项（A选项），高二年级某班的学生无法代表整个年级，缺乏代表性；第二个选项（B选项）的样本覆盖面广且具有随机性和一定的代表性，但样本量偏少；第三个选项（C选项）忽略了女生的情况，缺乏代表性；第四个选项（D选项）的样本覆盖面广，且具有随机性和代表性，样本量也够. 综上所述，D选项更合适.

设计意图 贴近学生生活实际的素材有趣又真实，这是启发学生思维的重要方式. 抽样调查的目的是更好地了解总体情况，因此样本的选择需能代表总体［2］. 此过程，意在帮助学生学会正确选择样本，为后续学習奠定基础.

3. 实施探究，建构概念

师：若要进行随机抽样，如何确保每一个样本被抽取到的机会是一样的？你们对“随机”二字有怎样的理解？

这个问题成功打开了学生的话匣子，各种描述层出不穷. 为了统一说法，让学生明晰什么是“随机”，笔者又安排了以下教学探究活动.

探究1 简单随机抽样的概念.

问题3 假设箱子中有白色和红色共1000个小球，小球的大小、质地完全相同，怎样通过抽样调查的方法估计箱子中红球与白球的比例呢？

笔者分以下几步实施这个探究活动：

第一步，先将班级学生分成两大组，各组选任一名大组长，每一个大组再分成五个小组，每一个小组都要做三次实验——不放回随机抽取小球、放回随机抽取小球、不放回一次性随机抽取小球，每一次抽取的样本量一样.

经过多次实验，让学生填写表格，总结实验报告，并在实验中思考以下问题：①不放回随机抽取与放回随机抽取，是不是均可用来估计总体？②无放回随机抽取与放回随机抽取分别具备什么特征？③一次性随机抽取n个个体（小球）作为样本与逐个不放回随机抽取n个个体（小球）作为样本，这两种方法是等价的吗？④简单随机抽样的样本量是越大越好吗？

要求各小组派一名学生说明实验过程，并投影展示本组得到的实验结论，配以相应的讲解.

第二步，提取学生在讲解过程中暴露出来的有效信息，在这些信息的基础上，用问题继续启发学生的思维，如“为什么个体的个数是有限的？”“为什么小球的大小、质地要完全相同？”“为什么每一次抽取小球前要摇晃箱子？”“为什么要逐个随机抽取小球？”等等.

第三步，学生亲历实验过程，切身感知用样本估计总体具有可行性，具体可从以下几方面着手：①在同等条件下放回随机抽取小球，那么同一个小球就有可能被多次抽中，如此抽样得到的结论误差较大；②不放回随机抽取小球，能避免同一个小球被重复抽中，可减少误差；③在重复实验中，实验次数越多，频率越接近概率. 一般而言，样本量大比样本量小好，但是样本量太大，耗费的人力、物力等也太大，因此样本量并非越大越好.

通过实验，学生不仅亲身体验数据收集、整理与分析的过程，还充分体会样本的总体思想，并直观了解简单随机抽样的两种方法，进一步深化对简单随机抽样的理解.

问题4  探索表明简单随机抽样.

此为总结提炼的过程，学生根据自己以及组内成员在实验过程中所获得的结论，基于整理分析的条件下，自主概括简单随机抽样的定义. 教师在必要时给予补充与说明. 探索完毕，用PPT展示完整的简单随机抽样的概念，进一步强化学生对简单随机抽样的理解.

设计意图 在问题的驱使下，学生可以开启一段新的思维旅程，此为抽象简单随机抽样概念的基础. 师生积极互动可以进一步完善学生的认知体系和概念体系.

问题5 请从简单随机抽样的概念中找出关键词，并分析它的特点.

设计意图 让学生从简单随机抽样的概念中找出关键词，意在进一步深化学生对简单随机抽样的理解，为后续综合应用做铺垫. 简单随机抽样的特点的分析，一方面巩固学生的理论基础，另一方面带领学生再一次总结本节课的实践活动，突出教学重点与难点.

探究2 抽签法（简单随机抽样）.

师：知识为解决生活实际问题服务，接下来我们就用抽签法来探索生活实际问题.

某家具公司准备为某校高一年级制作一批课桌椅，他们事先想了解全体高一年级学生的平均身高，以便设定可调节课桌椅的标准高度. 你知道该怎样通过简单随机抽样的方法取得高一年级学生的平均身高呢？

在此笔者通过问题串的方式引导学生进行思考：

问题6 到目前为止，你们都接触过哪些抽样方法？（抽签法）

问题7 说说抽签法的步骤.

师生一起总结抽签法的步骤如下：①编号，给所有个体编号；②制签、抽签，先将号码编写在外观、质地等无差别的小纸片或小球上作为号签，然后将号签放在不透明的容器内摇晃均匀，最后从容器内不放回逐个抽取号签（抽n次，共有n个号签）；③抽样，将号签上的编号对应的（n个）个体作为样本.

问题8 为什么有“编号”这个环节？需要编多少号？

问题9 是否可以用其他方法来代替制签环节？能够借助计算机产生随机数吗？

设计意图 通过问题串的应用，让学生了解抽签法的优缺点，为掌握实际问题的解决办法奠定基础，达到优化操作过程、激发学习潜能等目标.

问题10 请大家总结随机数法的步骤.

经过自主思考与合作交流，学生总结出随机数法的步骤为：①把总体中的所有个体按照1～N进行编号；②借助信息技术，从1～N中抽出n个不重复的编号；③将编号对应的n个个体作为样本.

设计意图 随机数法步骤的总结，可进一步深化学生对操作过程的理解，若后续遇到与之类似的实际问题，学生则能信手拈来.

接下来，要求学生到讲台上展示用计算机产生随机数的方法，并分别说一说随机数法与抽签法的优缺点，以及在实例中该如何择取抽样方法. 经探索，学生一致认为：当个体量比较小时，可用抽签法；当个体量比较大时，选择随机数法.

设计意图 借助类比思想，让学生切身体会如何将这两种方法应用在生活实际中.

4. 练习训练，总结提升

（略）

教学思考

1. 掌握章起始课的内容

章起始课从教学时间的安排来看，属于章节的第1课时；结合教材内容分析，章起始课涵盖章引言与第1课时，教学中要将核心知识提炼出来；结合教学过程与成效分析，章起始课要带领学生亲历活动过程，自主建构新知，为完善认知结构奠定基础.

2. 章起始课教学设计的注意点

以情境为教学起点，获得广大教育工作者的认可，且有大量文献可证. 章起始课作为一个章节的第1课时，属于起点中的起点，更有理由借助情境进行教学导入，此为激趣启思的好手段. 因为丰富的情境展示，如图片、游戏、实验、视频等，能让学生切身体会知识与生活的联系，为深入探索做铺垫. 关于章起始课的情境创设或实验设计，均需凸显本章节涉及的数学思想方法，為后续教学奠定基础［3］. 同时，每一个环节的设计都要基于学情，渗透德育思想，达到立德树人的目的.

3. 以发展学生的数学学科核心素养为目标

章起始课要把发展学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理、直观想象、数学运算、数据分析六大数学学科核心素养作为教学目标，这是数学学科育人价值的体现，也是促进学生形成正向数学观的关键. 发展学生的数学学科核心素养的举措有很多，如创设恰当的情境，设计人人皆可参与的活动或实验等，这些举措都可应用于日常教学中.

总之，每一位教育工作者都应重视章起始课教学，因为学生对章节知识的情感，决定后续学习的态度；学生对章节知识框架的理解，决定后续能否构建完整的认知体系. 这一切，是发展“四基”与“四能”的基础，亦是落实核心素养的关键.

参考文献：

［1］ 陈小璐.高中数学章起始课的教学初探——以苏教版《统计》章节为例［J］. 中学数学月刊，2021（12）：9-11.

［2］ 余建国. 让章起始课的教学设计更大气——以“向量的概念及表示”为例［J］. 数学教学研究，2014（09）：19-23+28.

［3］ 汪留屿. 基于数学抽象的高中数学章节起始课教学设计——以“空间向量与立体几何”为例［J］. 中学教研（数学版），2022（06）：30-34.