高中数学《统计》浅析

程明宝

摘 要：高中数学《统计》是研究如何收集、整理、分析数据的学科，其基础知识已经成为一个未来公民的必备常识，也是高考的常考知识。本文结合自己的教学实践首先浅析了学习本章内容应达到的要求的课程目标与学习目标及相应的课时分配；其次浅析了本章高考考查的知识点要求及考情分析和本章中各单元知识内容的重点及难点；在此基础上又着力浅析了本章中各个单元教学内容；最后结合具体内容对如何引导学生学习本章知识给出一些教学建议。

关键词：课程目标 学习目标 考点考情 重难点 单元知识分析 建议

高中数学《统计》一章，安排在《数学 3必修》第 2章开设，是文、理科必修内容。本章安排三节：第一节随机抽样；第二节用样本估计总体；第三节变量间的相关关性。统计呈现出的统计思想对学生来说是比较难理解的，也是高考（文、理科）的常考知识。下面结合自己的教学实践，从目标与课时分配、高考考点及考情、重难点、单元教学内容等方面对本章浅析并提出些建议，以期达到抛砖引玉之目的。

一、统计课程目标、学习目标与课时分配

（一）统计课程目标、学习目标

1.

统计课程目标：（1）在义务教育阶段的统计与概率知识的基础上，本教科书通过实际问题及情景，进一步介绍随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法。（2）初步培养学生昀基本的获取样本数据的方法，以及掌握几种从样本数据中提取信息的统计方法，其中包括用样本估计总体分布、数字特征和线性回归等内容。（3）认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异。

2.

统计学习目标：（1）随机抽样：①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过实例分析，了解分层抽样和系统抽样方法。④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。（2）用样本估计总体：①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点。②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。

③能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释。

④在解决统计问题的过程中体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题；能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异。形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

（3）变量间的相关性：①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道昀小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。

（二）统计课时分配

全章共安排了 3节，教学约需 16课时，具体内容和课时分配如下：

1.随机抽样（约 5课时）：其中简单随机抽样、系统抽样、分层抽样各需 1课时，三种抽样方法的异同点需 1课时，典型案例需 1课时。

2.

用样本估计总体（约 5课时）：用样本的频率分布估计总体分布、用样本的数字特征估计总体的数字特征各需 2课时，典型案例需 1课时。

3.

变量间的相关关系（约 4课时）：变量之间的相关关系需 1课时，两个变量的线性相关需 2课时，典型案例需 1课时。

4.实习作业（约

1课时）。

5.小结（约

1课时）。

二、统计高考考查的知识点、考纲要求及考情分析

三、统计重点及难点分析

（一）重点分析：1.正确理解简单随机抽样的概念，掌握抽签法及随机数法的步骤，并能灵活应用相关知识从总体中抽取样本。2.正确理解系统抽样的概念，能够灵活应用系统抽样的方法解决统计问题。 3.正确理解分层抽样的定义，灵活应用分层抽样抽取样本，并恰当的选择三种抽样方法解决现实生活中的抽样问题。 4.会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。能通过样本的频率分布估计总体的分布。5.能用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差及用相关知识解决简单的实际问题。 6.会作出散点图和正确理解昀小二乘法。并能根据给出的线性回归方程系

数公式建立线性回归方程。

（二）难点分析： 1.正确理解随机性样本的随机性。 2.正确理解总体分布的意义和作用，能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，初步建立正确的统计思维，认识统计的作用。3.变量之间相关关系、回直线与观测数据的关系的正确理解及回归思想的建立。

四、统计单元教学内容分析

（一）在义务教育的基础上，统计（数学 3必修）的侧重点是如何能够得到高质量的样本，了解方便样本的缺点以及随机样本的简单性质。教科书首先通过大量的日常生活中的统计数据、边框的问题和探究栏目引导学生思考用样本估计总体的必要性及样本的代表性问题。又用了一个著名的预测结果出错的案例，让学生体会样本代表性的重要性关系到昀后的统计分析结果是否可靠及方便样本代表性差的问题。昀后通过对“广告中数据的可靠性”的思考，启发学生从样本代表性的角度思考日常生活中的数字统计结果的科学性问题。

（二）1.在学生体会到样本的重要性之后，教科书先以袋装牛奶的质量问题为情景，探讨获取能够代表总体样本的方法，又用一勺汤来“判断一锅汤的味道”的道理，启发学生认识到把总体“搅拌均匀”是取得有代表性样本的关键所在。“搅拌均匀”的本质是使总体中的每个个体入选到样本的可能性相等，这样自然地得到了随机样本的概念。 2.教科书较详细地介绍了简单随机抽样方法，通过实际问题情景引入系统抽样和分层抽样方法。 3.通过探究的方式，引导学生总结三种随机抽样方法的优、缺点。

（三）当研究的对象为人时，获取样本数据变得更加复杂，涉及到组织、心理学、道德问题等，教科书通过阅读与思考“如何得到敏感性问题的诚实反应”，让学生体会到这一点。

（四）在第 2节中，教科书通过探究居民生活用水定额管理问题，引出总体分布的估计问题，该案例贯穿本节始终。通过问题的探究，学生学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率分布折线图。教科书在这里未涉及频率分布的随机性和规律性方面的知识。

（五）1.因样本频率分布直方图可以估计总体分布，故可用样本频率分布特征来估计相应的总体分布特征。这就提供了在没有原始数据而仅有频率分布的情况下，此方法也可以估计总体的分布特征。 2.教科书结合实例展示了频率分布的众数、中位数和平均数。对于这三数的概念重点放在比较它们的特点及它们的适用场合上，让学生认清楚在日常生活中某些人通过混用这些（描述平均位置的）统计术语进行误导。3.教科书还通过几个现实生活的例子引导学生认识到：只描述平均位置的特征是不够的，还需要描述样本数据离散程度的特征。通过如何描述数据离散程度的探索，初步培养学生用知识解决问题的能力。

（六）1.教科书通过思考栏目“物理成绩与数学成绩之间的关系”，引导学生考察感兴趣的变量之间的关系，认识到在现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系，从而体会研究变量之间的相关关系的重要性。随后，教科书探索用多种方法确定线性回归直线，帮助学生理解昀小二乘法的思想。2.在阅读与思考中，介绍了相关系数的计算公式及统计

含义。还通过分析具有不同相关系数的数据的散点图，进一步加深学生对相关系数的直观理解。

五、对教学的几点建议

（一）注重案例教学：1.统计内容的教学采用案例的教学方式是统计教学的基本教学方式。统计方法咋看不难，但是理解起来还是有困难的，要通过大量的具体案例的教学帮助学生理解。2.统计课程中，要通过对案例的学习体会数据处理过程的方法、回归分析的基本思想。

（二）注重统计过程：1.统计（数学 3必修）课程的定位是对统计有一个初步的认识。通过案例体会统计的全过程：收集数据、利用图表整理和分析数据、求出数据的数字特征、进行统计推断。在这个过程中体会随机思想和统计的重要性。

2.在统计的教学中要注重过程，解决一个统计问题，常常需要我们通过收集数据，整理数据，分析数据，从数据中提取信息，并利用这些信息说明问题、预报问题。 3.中学统计中不苛求概念的严格定义。

（三）注重随机思想：1.在统计的教学中应该注重培养学生的随机思想。收集数据有不同的方法，无论是随机抽、样系统抽样还是分层抽样都渗透着随机的思想。 2.随机思想是理解统计问题的一个基本思想。因样本是总体的一部分，由样本得到的平均数、方差等，都不是总体的平均数、方差等。由样本的随机性，统计的结果可能会犯错误，由此推断出的结论也可能会犯错误。 3.在具体的教学中应通过具体例子，让学生认识到，尽管结果可能犯错误，但统计的推断还是有意义的。4.应明确地是样本随机性产生的误差是可以估计的，也可以估计由此犯错误的概率。这和样本抽取不当以及故意制造误导产生的错误是完全不同的。

（四）关于整理数据和画统计图表：1.不要把统计的教学变成数据计算和图表制作，而忽视了数据的统计意义。统计的核心是从数据中提取信息，对数据进行整理和画统计图表是为了能从数据中得到信息。 2.理解任何模型只能近似描述实际问题，统计关心各种不同方法的适用范围，以寻求昀有效的数据处理方法。

（五）变量间的相关关系：1.重点是让学生理解函数关系和相关关系的区别、线性回归方程的意义。 2.套用昀小二乘法公式计算回归系数并不困难。用昀小二乘法是因为这样得到的估计量在许多标准下是“好”的。 3.可用例子说明方程的意义及合理性。比如在圆上取一组点套用公式得到一个回归直线方程，这样的直线显然是没意义的。 4.人们不可能知道样本数据来自于何模型，即不知道正确的模型是什么，只能根据问题的背景和已经掌握的数学知识建立模型来近似这个正确的模型，统计学的任务就是建立近似效果更好的模型。

参考文献：

[1]普通高中课程标准实验教科书《数学必修3》A版[M].人民教育出版社，2007年 2月第三版 2012年 10月安徽第12次印刷

[2]2016年安徽省普通高中学业水平考试刚要[M].安徽师范大学出版社，2016年3月第1版

[3]中华人民共和国教育部.全日制普通高中数学课程标准（修订版）[M].人民教育出版社