创设开放情境，体现建模思想

梅滋亚

［摘  要］ 高中数学知识的教学中需要渗透数学建模思想，文章以一节概念课为例进行教学实施，尝试通过创设开放的情境与问题，引导学生通过观察、分析、归纳、概括等思维活动抽象出数学模型，让学生有意识地用数学语言表达现实世界，学会用数学模型解决实际问题，提升数学学科核心素养．

［关键词］ 数学建模；教学实施；开放情境；抽象；核心素养

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》将数学建模作为数学学科核心素养要素提出，对数学建模育人价值深度挖掘与进一步提升，这必然会对数学建模的教学提出新的要求，所以在核心素养的视域下对数学建模进行审视就显得十分必要［1］． 数学建模活动教材的整体设计包含两个方面，一是在函数、几何与代数、概率与统计等内容中体现数学建模的要素，渗透数学建模活动的过程和方法；二是设置专门的数学建模活动专题，让学生完整经历用数学知识建立数学模型解决实际问题的过程［2］． 因此，在高中数学知识的教学中渗透数学建模思想，用数学建模活动过程的要素指导教材与教学设计，既是高中数学内容特点的反映，又是转变学生学习方式、发展学生数学学科核心素养的需要． 本文以人教A版选择性必修第三册（2019版）教材中的“离散型随机变量及其分布列”为例进行设计和分析，尝试通过创设开放的问题情境，引导学生通过观察、分析、归纳，概括等思维活动抽象出数学模型，让学生有意识地用数学语言表达现实世界，学会用数学模型解决实际问题，提升数学学科核心素养．

内容解析

1. 内容的本质

随机变量的引入，是对概率研究對象的进一步抽象，是对随机试验可能结果的量化表示，本质上是样本空间到实数集上的映射． 随机变量概念的引入，实现了借助数学工具和方法系统全面地研究随机现象的目的． 随机变量能够反映随机现象的共性，随机变量的分布描述了随机变量取值的概率规律，这样得出的有关随机变量的一般性结论，可以应用到具有不同背景的实际问题之中．

2. 内容所蕴含的数学思想方法

（1）模型思想是把握现实世界中一类问题的本质与规律，用恰当的数学语言描述问题的本质与规律，用合适的数学符号表达问题的本质与规律，最后得到刻画一类事物的数学模型［3］． 随机变量概念的引入体现了以简洁、统一的数学方式研究问题的思想，这就是模型思想. （２）通过类比的方法学习新的知识是一种重要的认知途径. 在本节课中可以类比函数的概念建立随机变量的概念、类比函数的表示方法来表示分布列、类比研究过的函数的性质来研究分布列的性质. （3）离散型随机变量及其分布列概念的形成，都是从特殊到一般、从具体到抽象，通过归纳得出来的，这些是数学研究中常用的思想方法，也是数学教学应该遵循的原则．

教学目标与重点、难点

1． 教学目标

（1）通过具体实例，抽象出离散型随机变量的概念，重点提升数学抽象、逻辑推理以及数学建模素养；

（2）通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列，重点提升数学抽象、数学运算素养．

2． 教学重点、难点

重点：离散型随机变量及其分布列的概念．

难点：抽象随机变量的概念，用随机变量描述随机现象的规律．

教学过程设计

1． 创设情境，引入课题

导语1 我们知道，求随机事件的概率时，往往需要为随机试验建立样本空间，这就会涉及样本点和随机事件表示的问题，样本空间的确定是研究概率的基础．

问题1 你能给出以下随机试验的样本空间，并尝试建立样本点与实数之间的对应关系吗？

（1）掷一枚骰子，观察出现的点数；

（2）掷两枚骰子，观察两个点数之和；

（3）掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上；

（4）从装有5个红球、3个白球的袋中同时摸出两球，观察两球的颜色．

师生活动 让学生独立完成以上随机试验的样本空间的建立，体现开放． （1）（2）随机试验的样本点与数值有关系，容易直接与实数建立对应关系；（3）（4）随机试验的样本点与数值没有直接关系，需要想办法建立样本点与实数的对应关系．

设计意图 通过几个典型实例，先让学生自己动手建立样本空间，再通过教师引导，体会在不同问题背景下的随机试验的样本空间中，都可以建立样本点与实数的对应关系，为随机变量概念的生成奠定认知基础．

2． 归纳概括，形成概念

导语2 我们发现，有些随机试验的样本点与数值并没有直接关系，这时我们需要采取适当的方法建立起样本点与实数的对应关系．

问题2 随机抽一件产品，有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能的结果．你能建立起样本点与实数之间的对应关系吗？

师生活动 教师通过问题启发学生思考，借鉴问题1中的（3）（4）的试验经验，建立起样本点与实数之间的对应关系．

教师总结 对于任何一个随机试验，总可以把它的每一个样本点与一个实数对应，即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X，来刻画样本点与实数的对应关系，实现样本点的数量化．因为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性．

设计意图 通过具体实例，让学生了解可以通过引入一个变量来刻画一个随机现象，随机试验的样本点不论是否与数值直接有关，都可以数量化．

问题3 考察下列随机试验及其引入的变量.

（1）从100个电子元件（至少含3个以上次品）中随机抽取3个进行检验，变量X表示3个元件中的次品数；

（2）抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的抛掷次数．

这两个随机试验的样本空间各是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的？

师生活动 先让学生独立思考、作答，再让学生表达交流，在此基础上教师和学生一起总结（过程略）．

追问1：观察上述两个随机试验，请你归纳试验（1）和试验（2）的样本空间中的样本点与对应变量有什么共同点.

师生活动 学生发现，教师补充：两个随机试验中，每一个样本点都有唯一的一个实数与之对应．变量X，Y有如下共同点.

（1）取值依赖于样本点；

（2）所有可能取值是明确的．

追问2：你能类比函数的定义，用集合与对应的语言表示样本空间中的样本点与实数的对应关系吗？

师生活动 先请学生回忆函数的定义，然后类比函数的定义进行表达，接着师生交流、讨论，最后由教师规范地表达随机变量的概念．

追问3：阅读第57页的后半页和第58页的第一段话，并回答下列问题：

（1）什么叫离散型随机变量？

（2）随机变量和随机变量的取值如何表示？

（3）比较随机变量的定义与函数的定义，它们有何异同？

（4）你能举出一些离散型随机变量和非离散型随机变量的例子吗？

师生活动？摇先由学生自由发言，然后教师与学生共同完善解答． 在学生举例、教师点评的基础上理解概念．

设计意图 通过类比函数的定义，归纳形成随机变量和离散型随机变量的概念；通过举例，加深学生对离散型随机变量的概念的理解．

3． 联系拓展，逐步深化

导语3 根据问题引入合适的随机变量，有利于我们简洁地表示所关心的随机事件，并利用数学工具研究随机试验中的概率问题．下面我们先研究如何利用随机变量表达随机事件．

问题4 以“掷一枚质地均匀的骰子”为例，你能用随机变量表示随机事件吗？

师生活动 先让学生自主探究，然后小组合作交流，最后小组派代表进行班级发言，教师对学生的发言进行点评．

设计意图 让学生学会用随机变量表示随机事件，为求随机变量的概率分布列做准备．

导语4 如果我们知道了随机变量X取每一个可能值時的概率，就可以利用其解决一些实际问题．

问题5 掷一枚质地均匀的骰子，X表示掷出的点数，那么X取每一个可能值时的概率是多少？类比函数的表示法，我们可以用哪些方法来表示？

师生活动 师生交流后引出分布列的概念以及表示，根据不同问题的需要可以选择不同的表示方式．

设计意图 有了分布列，相应的随机试验的所有情况都得到了反映．只要对分布列进行了研究，了解了它的性质，那么就把握了相应随机试验的基本特征，从而为进一步研究其他问题奠定了基础．

问题6 类比函数的研究过程（定义—表示—性质—应用），在引入随机变量的概念，定义离散型随机变量的概率分布列并对分布列做出表示之后，你认为接下来应研究什么？

师生活动 类比函数的研究过程，学生想到应研究离散型随机变量分布列的性质，但对研究内容还不太清楚． 教师引导学生回忆概率的性质，帮助学生总结分布列的性质．

设计意图 创设开放的问题情境启发学生思考，而不是直接告知学生性质． 类比函数进行自主探究，有利于培养学生的理性思维，提高学生发现和提出问题的能力．

追问：利用分布列的性质，你能求出“掷出的点数不大于2”“掷出偶数点”的概率吗？

设计意图 让学生体会利用分布列的性质可以计算由离散型随机变量表示的事件的概率．

4． 概念运用，巩固提高

例1 一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义X=1，抽到次品，0，抽到正品，求X的分布列．

师生活动 学生独立完成，教师补充完善，然后引出两点分布．

追问：生活中哪些随机现象也可以用两点分布来描述？

设计意图 通过开放的问题，让学生感受到生活中同类型的随机事件都可以用两点分布来描述，进一步理解随机变量的引入可以更好地描述随机现象．

例2 某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表1所示．

从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及P（X≥4）．

师生活动 教师先组织学生讨论事件｛Ｘ＝ｉ｝表示的意义，引导学生分析随机事件符合古典概型的条件，然后请学生独立解决，展示学生解题结果． 在学生解题的过程中，引导学生总结解题的一般步骤．

追问：将等级成绩进行量化这种思想在很多领域都有重要的应用，大家能否再举出一些例子？

设计意图 通过开放的问题，让学生进一步理解随机变量的引入体现了数学的简洁性和统一性．

5． 课堂小结，总结提升

问题7 回顾本节课的学习过程，回答以下几个问题.

（1）随机变量的引入有何意义？通过类比函数定义引入随机变量的概念，对你有什么启示？

（2）离散型随机变量的分布列有什么作用？

设计意图 通过提问的形式，帮助学生梳理本节课学习的主要内容和主要思想方法，引发学生深度思考，对随机变量、随机变量分布列的含义和作用作反思．

6． 目标检测，检验效果

一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台，从中随机挑选2台．

（1）求这2台电脑中A品牌台数的分布列；

（2）求这2台电脑中至少有一台A品牌的概率．

设计意图 本题主要检测随机变量分布列的基本概念，求随机变量分布列的基本步骤，以及利用分布列求随机事件概念的基本方法．

教学设计说明

1． 关注本源，注重让学生体会引入随机变量的必要性

概率论中研究随机现象的方法是：建立随机试验的样本空间，构建概率模型，计算或估计随机事件的概率，利用事件的关系和概率的性质，解决更复杂的概率计算问题． 然而，与具体背景紧密关联的样本点和样本空间仍然使概率的研究处于抽象化的“初级阶段”，其内容、方法、结论表达的一般性不够，需要进一步进行数学抽象． 引入随机变量刻画随机现象，使概率的研究跃上了一个新的抽象层次，也使我们能更好地利用数学工具，以一种更本质、更系统，同时也更简洁的方式去研究概率，更深刻地认识随机现象，得出更具一般性的结论. 这是本节课要让学生认识到的首要问题，需要渗透在本节课以及整个章节教学的始终．

2． 适度开放，注重让学生在现实问题中体会建模思想

在数学知识讲解过程中加强将现实问题转化为数学问题，注重引导学生经历从现实背景的分析中归纳、提炼数量关系、空间形式的数学表达并得出模型的过程，这样的过程中就包含了与数学建模有直接关联的内容与环节［2］． 在本节课中，通过丰富的、有关联性的情境，引导学生用映射（函数）的观点观察、分析具体实例，从现实情境中发现数学问题，经历概念的形成（模型的建立）过程． 在这个过程中不是直接告知学生知识，而是设置开放的问题启发学生思考，提升学生的抽象概括能力． 有了本节课的启蒙，学生在后续学习中也会逐步体会本节课所蕴含的思想，逐步提升数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模等素养．

参考文献：

［1］ 史宁中，王尚志． 普通高中数学课程标准（2017年版）解读［M］． 北京：高等教育出版社，2018．

［2］ 章建跃，张艳娇，金克勤． 数学建模活动的课程理解、教材设计与教学实施［J］． 中学数学教学参考，2020（13）：13-19．

［3］ 史宁中． 数学基本思想18讲［M］． 北京：北京师范大学出版社，2017．