基于UbD理论的数学概念教学

顾静凌

［摘  要］ 文章概述UbD逆向设计理论，并以“函数的概念”为例，探究在UbD逆向设计框架下教师如何确定预期目标、理清评价证据、设计教学活动.

［关键词］ UbD逆向设计；概念教学；教学设计

概念是数学的基石，是数学中定理、性质、公式的基础. 当前，数学概念教学“轻概念+重训练”的现象屡见不鲜，其结果是学生只会机械式记忆、模仿，没有真正理解数学概念的本质，这样的概念教学严重挫败了学生学习数学的热情.

对于数学概念课，教师应如何进行教学设计，有效实施教学？UbD逆向设计理论提出了基于理解的课堂教学设计模式，有效指导教师进行数学概念教学设计，帮助众多教师突破教学设计瓶颈.

UbD逆向设计理论概述

20世纪50年代，美国教育评价家拉尔夫·泰勒首先提出了基于教学目标的课堂教学设计模式. 之后，美国课程研究专家格兰特·威金斯和杰伊·麦克泰在此基础上提出了UbD教学设计理论. 它是一种基于理解的逆向设计理论，即先确定学习的预期结果，再明确预期结果达到的证据，最后设计课堂教学框架.

UbD逆向设计，属于建构主义认知理论，它强调学生为主体、评价先行，以促进学生有意义学习为指向，凸显课程评价对教学活动的指导作用. 逆向设计要求教師依据课程标准，从学情出发，明确符合学生一般认知规律的学习目标设计课程. UbD逆向设计框架包括三个阶段，分别为确定预期目标、理清评价证据、设计教学活动.

第一阶段，确定预期目标. 基于学生的认知水平，确定学生学习的重点，预定目标，让学生明确需要了解什么、掌握什么.

第二阶段，理清评价证据. 围绕预期目标设计评价学生学习效果的标准，思考评价方法，收集评价依据.

第三阶段，设计教学活动. 在明确预期目标与评价方式之后，确定组织怎样的教学活动，实现预期目标.

UbD逆向设计理论下的数学概念教学案例

UbD逆向设计理论的核心是理解，旨在促进学生深入理解知识，掌握技能. UbD逆向设计框架一般包含五个教学环节，简称“WHERE”，即制定教学目标（Where），激发学习兴趣（Hook），深入探究主题（Explore），反思学习过程（Rethink），评估学习所得（Evaluate）. 本文结合人教A版必修第一册（2019版）教材中的“函数的概念”，介绍在UbD逆向设计框架下教师如何确定预期目标、理清评价证据、设计教学活动.

1. 第一阶段：确定预期目标

UbD逆向设计的第一阶段是确定预期目标与基本问题. 在学生的知识体系中，函数的概念源于初中的定义，它是从运动变化的观点下把函数看成两个变量之间的依赖关系，但根据此观点，如f（x）=2这样的函数就很难深入研究. 进入高中阶段，引入集合的概念后，函数的概念更具有一般性，其抽象程度高，对学生的理解能力的要求更高.

根据课程标准的要求以及学生的认知规律，笔者确定本节课有两个基本问题需要解决，一是为什么要在初中函数概念的基础上继续学习函数的概念？二是如何用集合和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念？首先，在学生用初中函数概念判断两个变量之间的关系时引起认知冲突，让学生认识到高中研究函数概念的必要性. 其次，利用问题情境，引导学生尝试用准确的语言表述函数关系，为抽象归纳完整的函数概念做准备.最后，引导学生分析归纳问题情境中的共同点，生成完整的函数概念. （概念建构的目标框架如图1所示）

2. 第二阶段：理清评价证据

UbD逆向设计的目的是提高教学活动的有效性. 为评估学生的学习表现，教师需要基于教学目标制定评估标准和方法（具体如表1所示）.

3. 第三阶段：设计教学活动

（1）分析学习任务，制定教学目标（Where）.

①理解函数的定义，能在具体实例中抽象出集合观下的函数概念；

②体会特殊到一般和一般到特殊的思想方法，渗透归纳推理，感悟数学抽象；

③在数学活动中感受数学的抽象性与简洁美.

（2）创设问题情境，激发学习兴趣（Hook）.

生活情境：高铁运行问题，工人工资问题，空气质量问题……

设计意图 从生活实例出发，引导学生通过生活实例直观感知变量间的依赖关系，引入函数的概念，感受“无处没数学，处处有数学”的价值观，激发学生学习数学的兴趣.

（3）深入探究主题，培养思维能力（Explore）.

回眸初中的函数概念：在变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数.其中x是自变量，y是因变量.例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x，对于每一个确定的x，都有唯一确定的l与之对应，所以l是x的函数. 函数l=4x与正比例函数y=4x相同吗？为什么？y=2是函数吗？

要解决上述问题，就需要进一步研究函数的概念. 此前先分析以下问题.

问题1 （高铁运行问题）某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时.

这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为S=350t.

这里，S是t的函数吗？有人说：“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350 km/h后，运行1 h就前进了350 km.”你认为这个说法正确吗？

问题2 （工人工资问题）某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天. 如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？

设计意图 上述两个问题的共同点在于都含有两个变量，且两个变量之间的关系都可以用解析式来表示，符合学生对初中函数概念的认知.

问题3 （空气质量问题）图2是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图. 如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数（AQI）的值I？你认为这里的I是t的函数吗？

问题4 （恩格尔系数）国际上常用恩格尔系数反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. 表2是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.

你认为按表2给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？

设计意图 通过生活实例，凸显用“解析式”表示函数的局限性，引发认知冲突，为进一步完善函数的概念做铺垫.

根据上述四个问题，思考并回答下列问题.

①问题1至问题4中的函数有哪些共同特征？（学生总结，教师补充，揭示高中的函数概念. ）

②用高中的函数定义重新认识一次函数、二次函数与反比例函数，怎样表述这些函数？（从联系、發展的视角正确看待初中和高中的函数概念）

③运用高中的函数定义解释：正方形的周长l与边长x的对应关系l=4x与正比例函数y=4x是不是同一函数？y=2是函数吗？（辨析、揭示函数的“三要素”）

设计意图 引导学生回眸初中的函数概念，引发学生认知冲突，使学生认识到继续研究函数概念的必要性. 根据学生的认知水平，引导学生刻画生活中的对应关系，并尝试用新语言（集合）来表述函数的对应关系. 通过设置四个问题情境，使学生感悟对应关系的不同表现形式（解析式、图象、表格等），类比归纳提炼一般规律，获得函数的概念. 本环节落实以数学知识自然生长为目标，进行深度思维的教学，实现从关注知识水平到关注思维发展的转变，提高学生解决数学问题的能力，将数学抽象等核心素养落到实处.

（4）反思学习过程，深化认知水平（Rethink）.

通过深入探究主题，学生对函数的概念有了初步认识，教师通过例题引导学生分析、辨析和反思，深化学生对函数概念的认知.

例1 下列对应关系能否构成定义中A到B的函数：

例2 下列图象中不能作为函数y=f（x）的图象的是（  ）

设计意图 通过具体例子引导学生对函数的概念进行辨析，使学生更细致准确地把握函数的内涵.例1倾向于从集合的视角认识函数，例2倾向于从图象的视角理解函数的“三要素”，渗透数形结合思想，为后续研究函数的图象与性质做铺垫.

（5）评估学习所得，聚焦核心素养（Evaluate）.

通过上述环节，学生可以明确函数的内涵和外延，教师根据学生的课堂反馈及时给予评价，从教与学两个层面对照评价指标评估教学效果.

实践反思

1. 注重大概念下的单元教学

“大概念”是学科的核心，是指指向学科核心内容和教学核心任务、反映学科本质、能将学科关键思想和相关内容联系起来的关键的、特殊的概念. 数学大概念是数学学科中具有解释力的概念，包括对数学定理、性质、模型的解读等，对学生学习具有引领作用的基础知识. 教师基于大概念设置单元教学，有助于学生对知识的理解与迁移，引领学生深度理解数学本质，促进数学学科核心素养的落实.例如，函数的概念及思想方法贯穿高中整个数学课程始终，围绕“函数的背景—函数的定义—函数的性质—函数的图象—函数的应用”这条主线组织教学，有利于学生系统地、整体地把握函数学习的一般路径，帮助学生建立完整的函数认知结构，提升学生的思维能力和数学素养.

UbD逆向设计理论也注重“大概念”下的单元教学，并围绕“大概念”设置预期目标、评价依据以及教学活动. 数学学科中的函数、方程、不等式、立体图形等都是单元教学中的“大概念”，围绕基本问题来建构“大概念”，理应成为课堂教学的新常态.

2. 倡导真情境下的数学探究

周文叶教授认为：核心素养不是教师教出来的，而是学生在不确定的情境中借助问题解决的实践培育起来的． 崔允漷教授认为：在真实情境下做事，是指向素养目标的关键所在.真情境，重在“真”，即具有真实性，真实情境源于现实生活和学生的经验，只有让学生置身于真实情境中，才能“撬动”课堂，真学习才能发生. 例如，在函数概念的教学过程中，通过设置与学生生活密切相关的实例，可以让学生直观感知两个变量之间的关系，为进一步数学抽象做铺垫. 引导学生回眸初中的函数概念，让学生发现用初中的函数概念难以解释生活中的一些案例，认识到进一步研究函数概念的必要性. 利用实际情境，引导学生经历完整的函数概念抽象过程，帮助学生建构新的函数概念，发展学生的数学抽象核心素养. 在数学课堂教学中，引用真素材、创设真情境、探究真问题才能激发学生的学习热情和认知欲望，不断发展学生的数学理性思维能力和数学素养，实现思维进阶和素养落地的目标，落实立德树人根本任务.