双中点、双角平分线模型及其应用

苏国东

[摘 要] 文章阐述双中点模型、双角平分线模型的基本型（和型、差型）和拓展型（有间隙型、有重叠型）的来源、构造、论证、推广及应用，对学生推理能力的提升，数学思想方法的渗透，学生核心素养的发展有重要促进作用.

[关键词]几何图形初步；双中点；双角平分线；模型；应用

人教版数学七年级上册教材中的第四章“几何图形初步”是初中“图形与几何”领域的起始章节，本章中有关线和角的概念、性质、表示、画法、计算等是重要的几何基础知识内容，是后续学习图形与几何以及其他数学知识的必备基础.其中线段的中点、角的平分线是核心内容，双中点模型、双角平分线模型是重难点，对其专题学习，深化理解，能帮助学生提高画图识图、逻辑推理能力，挖掘分类讨论、整体思想等重要方法，发展几何直观、模型观念等核心素养.

双中点模型及其应用

当把两个单中点模型放置在同一直线上，且有公共端点时，可形成两线段和或差的位置关系，得到基本的双中点模型.证明方法一般是设出参数，利用整体思想进行关系转化.

1.双中点和型

所以，基本的双中点模型存在固定结论：两中点之间的距离（新线段）等于原始线段非公共点的两端点之间距离（不动线段）的一半.

对于选择题和填空题，可以套用以下步骤快速解决：（1）识别模型——存在两条有公共端点的原始线段，且各有一个中点；（2）确定要素——不动线段和新线段；（3）应用结论——新线段长等于不动线段长的一半.

题1 已知点A，B，C在同一直线上，AC=6，BC=3，M，N分别是AC，BC的中点，则MN的长为 .

所以，雙中点有间隙型存在固定结论：两中点之间的距离（新线段）等于原始线段非间隙端点的两端点之间距离（不动线段）与间隙距离之和的一半；双中点有重叠型存在固定结论：两中点之间的距离等于原始线段非重叠端点的两端点之间距离与重叠距离之差的一半.

对于拓展型的双中点问题的解决，关键是识别图形属于有间隙型还是有重叠型，找到新线段、不动线段和间隙线段（或重叠线段）.

题2 如图7，E，F分别是AB，CD的中点，BC=a，EF=b，请用含a，b的式子表示AD.

（证明思路可类比双中点模型，此略）

所以，双角平分线有间隙型存在固定结论：两角平分线之间的夹角（新角）等于原始角非间隙边的两边之间夹角（不动角）与间隙角之和的一半；双角平分线有重叠型存在固定结论：两角平分线之间的夹角等于原始角非重叠边的两边之间夹角与重叠角之差的一半.

对于拓展型的双角平分线问题的解决，关键是识别图形属于间隙型还是重叠型，找到新角、不动角和间隙角（或重叠角）.

题4 如图14，已知∠AOD= 150°，∠BOC=20°，射线OB在∠AOC内，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，则∠MON的度数是 .