在问题探究中发展数学运算能力

摘  要：以一道解析几何题的教学为例，通过问题研究促使学生主动思考，探究在问题的求解过程中如何探究运算思路，选择运算方法，以及在实施运算过程中遇到障碍如何适当调整以便突破障碍，提高运算能力. 结合例题教学，思考总结了在教学中提高学生运算能力的几个策略.

关键词：运算方向；运算程序；运算能力

中图分类号：G633.65      文献标识码：A     文章编号：1673-8284（2024）01-0057-04

引用格式：周明芝. 在问题探究中发展数学运算能力：以一道解析几何题的教学为例［J］. 中国数学

教育（高中版），2024（1）：57-60.

基金项目：北京市教育科学“十三五”规划2020年度一般课题——高中数学实验教学资源的开发和应用（CDDB2020263）.

作者简介：周明芝（1973— ），女，高级教师，主要从事高中数学教学和实验研究.

一、问题提出

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，数学运算是解决数学问题的基本手段，是演绎推理和计算机解决问题的基础. 运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形中各几何量的计算求解，等等. 运算求解能力主要包括会根据法则或公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件寻找与设计合理、简洁的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算. 运算求解能力是思维能力和运算技能的结合. 在高中阶段，学生通过数学课程的学习，要进一步发展数学运算能力，通过运算促进思维的灵活性、深刻性和创造性，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.

如何提高学生的运算求解能力是一线教师需要持续探讨的重要问题. 除了要掌握运算法则外，在问题的求解过程中如何探究运算思路、选择运算方法是学生的主要难点所在. 而在实施运算过程中遇到障碍能适当调整以突破障碍，则是运算能力的重要体现.

二、案例探究

例  已知椭圆[C： x2a2+y2b2=1]过点[A-2，-1]，且[a=2b].

（1）求椭圆[C]的方程；

（2）过点[B-4，0]的直线[l]交椭圆[C]于点[M，N]，直线[MA，NA]分别交直线[x=-4]于点[P，Q]，求[PBBQ]的值.

该题第（2）小题考查圆锥曲线中的一类定点定值问题，内涵丰富，解法多样，注重对学生的基础知识、基本技能及综合运用知识解决问题能力的考查，对促进学生分析、解决问题的能力和运算能力有重要的作用. 在教学中，教师要深入挖掘、充分应用试题资源，创设合适的问题情境，从通性通法出发，引导学生进行深入探究，在理解运算对象的基础上，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果. 下面谈谈在解决第（2）小题时，教师如何通过问题设计引导学生进行探究.

1. 通法探究，合理设参，探索运算思路

通性通法指具有普遍性的数学解题方法，是对数学知识最高层次的概括与提炼，因此解决一类问题要注重對通性通法的探究，加强对数学思想方法的训练. 第（1）小题容易求解，得到椭圆的方程为[x28+y22=1.]

画出图1辅助分析第（2）小题. 从要求的比值[PBBQ]出发分析，[PB]与[BQ]的取值分别随点[M，N]位置的变化而变化，而点[M，N]的位置随着直线[l]的变化而变化. 因此，直线[l]是刻画问题的主元. 按照通法，构造过点[B]的直线方程，与椭圆的方程联立，再构造直线[MA，AN，] 分别与直线[x=-4]联立，得到点[P]和点[Q]的坐标，将坐标代入[PBBQ]后化简即可.

问题1：如何设直线[l]的方程？

【设计意图】根据定点的位置不同，可以设方程的不同形式. 每种形式有其特征及运用的情境，选择不同的方程会有不同的解法. 合理选择直线[l]的方程形式是进行后续探究的前提条件.

解法1：设过点B的直线方程为[y=kx+4]，与椭圆交于点[Mx1，y1]，点[Nx2，y2].

由[x28+y22=1，y=kx+4，] 得[4k2+1x2+32k2x+64k2-8=0].

由判别式[Δ=32k22-44k2+164k2-8=321-4k2>0，]

解得[-12

直线MA的方程为[y+1=y1+1x1+2x+2]，

将[x=-4]代入，得[yP=-x1+2y1+4x1+2].

同理，可得[yQ=-x2+2y2+4x2+2].

所以[yPyQ=x1+2y1+4x1+2 · x2+2x2+2y2+4]

[=2k+1x1+42k+1x1+2 · x2+22k+1x2+42k+1]

[=x1+4x1+2 · x2+2x2+4]

[=x1x2+2x1+4x2+8x1x2+4x1+2x2+8].

故[PBBQ=yPyQ=x1x2+2x1+4x2+8x1x2+4x1+2x2+8].

问题2：要化简[x1x2+2x1+4x2+8x1x2+4x1+2x2+8]，就是要找到[x1，x2]之间的联系，凑出公因式. 怎样寻找呢？

【设计意图】在这类问题中，大多数情况下学生遇到的是能凑成[x1+x2]和[x1x2]的式子，然后代入求解即可. 但是在此题中出现了与以往经验冲突的情况，此时就需要学生有灵活的转化能力，能够通过调整运算来突破遇到的障碍.

解决路径1：要想求出[PBBQ]的值，就需要式子[x1x2+2x1+4x2+8x1x2+4x1+2x2+8]能约分. 对比分子和分母的差异，发现可以从寻找[x1]与[x2]的关系入手.

由方程[4k2+1x2+32k2x+64k2-8=0]，得

[x1+x2=-32k24k2+1]，[x1x2=64k2-84k2+1=64k24k2+1-84k2+1].

所以[x1x2+8=-2x1+x2-84k2+1+8=-2x1+x2+]

[32k24k2+1=-3x1+x2].

所以[x1x2=-3x1-3x2-8].

代入上式，得[x1x2+2x1+4x2+8x1x2+4x1+2x2+8 =][-x1+x2x1-x2=1].

所以[PBBQ=1].

解决路径2：分式[x1x2+2x1+4x2+8x1x2+4x1+2x2+8]及两根和、积的关系式中有[x1]，[x2]，[k]三个字母，要能达到约分的目的，需要减少未知数的个数，所以可以进行以下代换.

[x1x2+2x1+4x2+8x1x2+4x1+2x2+8=64k2-84k2+1+2x1+4-x1-32k24k2+1+864k2-84k2+1+4x1+2-x1-32k24k2+1+8=][-32k2-8k2x1-2x18k2x1+2x1+32k2=1].

解题感悟：[x1+x2]和[x1x2]的关系式，本质上是[x1]，[x2]，[k]三个量之间的联系，故通过两个关系式总可以把其中的一个量用另外两个量表示出来，进而减少未知数的个数，达到约分的目的.

问题3：考虑到问题的解决主要依据点[P]和点[Q]的纵坐标，且直线[l]过定点[-4，0]，故可以选择另外一种直线方程形式[x=my-4]，这样会给运算带来什么改变呢？

解法2：设过点[B]的直线为[x=my-4]，点[Mx1，y1]，点[Nx2，y2].

由[x28+y22=1，x=my-4，] 得[m2+4y2-8my+8=0].

直线MA的方程为[y+1=y1+1x1+2x+2]，

将[x=-4]代入，得[yP=-x1+2y1+4x1+2].

同理，可得[yQ=-x2+2y2+4x2+2].

所以[PBBQ=yPyQ]

[=x1+2y1+4x1+2 · x2+2x2+2y2+4=my1+2y1my1-2 · my2-2my2+2y2]

[=m+2y1my1-2 · my2-2m+2y2]

[=my1y2-2y1my1y2-2y2].

因为[y1+y2=8mm2+4]，[y1y2=8m2+4]，

所以[y1+y2y1y2=m]，即[y1=my1y2-y2].（也可以由[y1+][y2=8mm2+4=m · 8m2+4=my1y2]直接得出[y1=my1y2-y2].）

所以[PBBQ=][my1y2-2my1y2+2y2my1y2-2y2][=-my1y2+2y2my1y2-2y2=][my1y2-2y2my1y2-2y2][=1].

解题感悟：可以看出，解法2的运算过程比解法1简化了一些. 这是由于从命题的结论来看，需要研究點[P]和点[Q]的纵坐标之间的关系，而且直线[l]经过[x]轴上的定点，所以将过点[B]的直线方程设为[x=my-4]. 因此，在计算路径的选择上，不仅要关注对题目条件的分析，还要注意对题目结论的剖析. 两者联系，才能合理探究运算方向，巧妙设计运算过程，提高运算的合理性和简洁性.

2. 数形结合，拓展思维，优化运算方法

解析几何的本质是用代数的方法研究几何图形的性质. 在分析和求解的过程中，学生要具有“动手尝试、探索实践”的能力并掌握“先猜后证”的基本研究方法.

问题4：对直线[l]的特殊位置进行观察、实验（如[k=0]时），你能有什么发现吗？

问题5：探求出所求比值为1后，原命题可以进行等价转化吗？

追问：可以等价转化为什么样的结论呢？

【设计意图】数形结合，通过特殊值验证，猜想一般结论，再进行推理证明，有助于整体把握问题的本质.

此题中，探求出所求比值为1后，可以证明原命题的等价命题[yP+yQ=0]，利用两根和、积的齐次式，结合根与系数的关系进行求解.

解法1：设过点[B]的直线方程为[y=kx+4]，

则[yP+yQ=-x1+2y1+4x1+2-x2+2y2+4x2+2]

[=-2k+1x1+2x2+22x1x2+6x1+x2+16]

[=][-2k+1x1+2x2+22×64k2-84k2+1+6×-32k24k2+1+16]

[=][-2k+1x1+2x2+24k2+1128k2-16-192k2+164k2+1]

[=0].

解法2：设过点[B]的直线方程为[x=my-4]，

则[yP+yQ=-x1+2y1+4x1+2-x2+2y2+4x2+2]

[=-m+2y1x1+2+m+2y2x2+2]

[=-m+2x1+2x2+2y1my2-2+y2my1-2]

[=-m+2x1+2x2+22my1y2-2y1+y2]

[=-m+2x1+2x2+22m×8m2+4-2×8mm2+4=0.]

解题感悟：分析几何特征有利于简化抽象的代数运算，是解析几何中突破思维难点的重要途径. 构造齐次式“设而不求”是解析几何运算的一种基本方法，该方法可以化繁为简. 齐次化体现了数学中的对称美和和谐美. 探究和选择运算思路是数学运算的关键. 上述问题分析的过程，基于确定直线基本量的条件，通过把握问题的本质，等价转化，明确算理，合理选择运算路径，最终达到优化运算的目的.

优化运算的重点和难点是合理选择运算路径，在探究过程中通过层层深入的问题设计让学生充分体会合理选择直线方程的形式，以及设直线后能否整体代换，达到运算优化的效果.

3. 变式探究，深度理解，培养运算能力

例题的价值不只停留在知识的巩固、解法的探究上，还可以围绕关键条件或结论进行一题多变及拓展推广，有利于培养学生思维的灵活性，提升学生的运算能力.

问题6：基于对以上问题的探究，你能根据题目的条件或结论提出新的问题并求解吗？提问的出发点是什么？

变式1：已知椭圆[C： x2a2+y2b2=1]过点[A-2，-1]，且[a=2b].

（1）求椭圆[C]的方程；

（2）若直线[l]交椭圆[C]于点[M，N，] 直线[MA，NA]分别交直线[x=-4]于点[P，Q]，[PB=BQ]. 直线[l]是否经过[x]轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由．

变式2：已知椭圆[E： x2a2+y2b2=1 a>b>0]的一个顶点为[A0，1]，离心率[e=63]．

（1）求椭圆[E]的方程；

（2）过点[P-3，1]作斜率为[k]的直线与椭圆[E]交于不同的两点[B，C]，直线[AB，AC]分别与[x]轴交于点[M，N]. 设椭圆的左顶点为[D]，求[MDMN]的值.

【设计意图】在例题中，由于直线[x=-4]的特殊性，点[B，M，N]三点共线，故可以探究其逆命题，求直线过定点. 也可以将[y]轴上的点改为[x]轴上的点进行变式探究，还可以研究题目中四条直线斜率之间的关系，进行进一步的变式探究.

三、对数学运算能力培养的思考

数学运算指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养. 在教学中要注意以下几个方面.

1. 精心探索运算思路，设计运算过程，提高运算的合理性和简洁性

对于数字的计算、估值和近似计算，式子的组合变形与分解变形，几何图形中几何量的计算求解，无论哪种运算，都要先理解运算、掌握运算律. 在运算时，还要探索运算的不同思路，进行分析、比较，选择运算步骤少、变形简单、运算量小的解题方案. 另外，还要注意抓住问题的本质进行等价转化，提高运算的合理性和简洁性.

2. 灵活运用数学思想方法，化繁为简，优化运算方法和运算过程

解析几何的基本思想是用代数的眼光看待几何问题，在解析几何中培养学生的数学运算素养需要培养学生“以形助算”的意识和“以算知形”的眼光．借助图形的几何特征分析图形间的关系，通过图形中蕴含的背景帮助学生从“形”的角度突破思维难点，使运算方法和运算过程得到优化．

3. 重视运算思维过程，通过体验和反思，获得运算经验

提高运算能力的关键是思考算理，判断运算的方向，掌握一些运算的方法. 在教学中，教师需要让学生亲身体验、思考，进行经验总结. 因此，在解题教学中要让学生积极参与整个数学运算思路的探索过程，使学生有体会、有感悟、有收获、有创新，最终优化运算思维，提升运算素养.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］朱潇，李鸿昌. 从数学运算素养的内涵，谈运算能力的培养［J］. 中学数学，2018（1）：57-59.

［3］辛民. 高三学生数学运算能力的现状调查、分析、思考与建议［J］. 中学数学，2017（21）：29-32.