一道函数零点问题求解的探究

杨叶飞

涉及函数零点的综合问题，一直是高考数学试卷中比较常见的一类基本题型．此类综合问题，设问新颖创新，形式变化多端，可以合理融入函数图象与性质、函数与方程思想、函数与导数的应用等内容，交汇于函数模块、导数模块、不等式模块等的基础知识，能全面有效考查学生的“四基”与数学能力，以及相应的数学核心素养等，具有较好的选拔性与区分度，倍受各方关注．

1．问题呈现

本题是一道含参函数的零点综合问题，零点问题可以转化为对应方程的解或者两个函数图象交点的问题，所以我们可以先考虑函数的性质；而本题还和绝对值、根式等知识巧妙联系在一起，分类讨论和平方处理也是比较常用的解决方法．

2．问题破解

解后反思：将函数的零点巧妙转化为相应方程的根问题，进而转化为两个函数图象的交点个数问题，利用函数f（x）在自变量取值范围内的单调性以及取值情况，利用函数的性质加以巧妙的分类讨论是解决问题的关键所在．挖掘问题的本质，结合函数基本性质的内涵，两者巧妙融合与转化才能产生有用的效应．

解后反思：根据函数奇偶性的基本性质，是解决问题的关键所在．这里主要是借助具有奇偶性的函数有奇数个零点，利用函数的对称性可知x=0必为该函数的一个零点．涉及绝对值、根式等相关的方程求解，要注意分类讨论思想的应用．

解法3：（函数图象法）依题函数g（x）=f（x）－b恰有三个不同的零点，则知方程f（x）=b恰有三个不同的解.下面考虑函数y=f（x）的图象：

作出函数y=f（x）的大致图象，如图1所示，由图可知要使得方程f（x）=b恰有三个不同的解，则知曲线y=f（x）

解后反思：涉及函数的零点综合问题经常可以转化为一条曲线与一条直线（或另一条曲线）的交点，由此可以根据函数的基本性质（单调性、奇偶性、对称性等）画出相应函数的图象，然后根据图象直观分析得到有用信息，数形结合，直观处理．数形直观更加方便解题时作出正确的分析与判断．

3．变式拓展

合理巧妙构造函数的解析式，由原來具有奇偶性的函数特征进行平移变换，改变成函数图象关于对应直线对称的问题，得以相应的变式与应用．

联立解得a=128，b=16，所以a+b=144．

4．教学启示

解决涉及函数零点的综合问题时，经常离不开函数的零点、方程的根及函数图象的交点这三者之间的相互等价转化与巧妙灵活应用．其实，这三者之间，经常可以通过合理的巧妙转化形式来达到解题的目的，即：

函数f（x）的零点方程f（x）=0的根方程变形方程 g（x）=h（x）的

当然，其中涉及这三者关系的递推过程有时可以逆向转化，具体根据问题的实际情况，合理加以综合与应用．