穷根究底，“增解”何来？

赖呈杰 林景芳

在解三角形问题中，根据条件建立方程计算线段长度或角度时经常会产生“增解”问题.本文笔者以2023年全国新高考Ⅰ卷17为例，明晰“增解”来源，理清“舍根”方法，并提出避免產生“增解”的几种策略，希望对读者有所帮助.

1 问题起源

（2023年全国新高考Ⅰ卷17）已知在△ABC中，A+B=3C，2sin（A－C）=sinB．

（1）求sinA；（2）设AB=5，求AB边上的高．

分析：第（1）小题考查三角恒等变换求三角函数值，第（2）小题可通过等面积法求AB边上的高.即将问题转化为“三角形中，已知两个内角与一条边，求其他边长”.即求b.

可以发现，以上三种思路均采用余弦定理，思路2却产生了增解.原因在哪里？如何舍去增解？已知“两边一对角”情形下，选择哪个角使用余弦定理最佳？

2 为何有增解

2.1 “增解”的几何解释

2.2 “增解”的代数说明

已知a，c和角C，对角C使用余弦定理，并将其整理为关于b的一元二次方程b2－2abcosC+a2－c2=0（*）.判别式Δ=（2acosC）2－4（a2－c2），化简得Δ=4（c2－a2sin2C）=4（c+asinC）（c－asinC），则

①若方程（*）有两个不等的正数解，则该三角形有两解；

②若方程（*）有一个正数解，则该三角形有一解；

③若方程（*）无解或只有负数解，则该三角形无解.

限于篇幅，仅证明①.

3 如何舍去增解

4 避免产生增解的策略

策略1 对较大角使用余弦定理

策略2  运用射影定理

策略3 运用正弦定理

sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

解三角问题中，只要甄别好条件，运用余弦定理来辨析三角形解的个数也是可行的.由此，可帮助学生面对此类试题时做好决策，做到胸有成竹，事半功倍！