聚焦本质试题分析 立足教材变式研究

王雪 余小芬

概率问题作为高中数学统计与概率领域的核心内容，是高考考查的重点.2023年全国新高考Ⅰ卷理科第21题在数学知识交汇处命题，综合考查全概率公式、随机变量及其分布、数列通项、求和等主干知识，展现内容主线、突出学科本质、凸显数学思维，是一道立意新颖、构思巧妙、研究价值强的典型试题.下文对该试题进行立意、背景、解答及变式分析，以期给教师教学一些启发.

试题呈现 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

（Ⅰ）求第2次投篮的人是乙的概率；

（Ⅱ）求第i次投篮的人是甲的概率；

1 试题立意

试题是知识和能力的载体，它体现着考试的目的和内容.［1］从知识考查看，21题以马尔科夫链为背景，以全概率公式为核心，包含互斥事件、概率的加法和乘法公式、离散型随机变量及其分布列、数列递推公式求通项公式、数列求和等高中主干知识，涉及构造法、待定系数法、公式法、类比等重要数学方法，蕴含分类讨论、化归转化、整体等数学思想，体现了数学知识和方法的基础性和综合性.从能力考查看，21题考查数学建模（识别全概率模型、理解两点分布模型）、逻辑推理（理清事件间关系、用构造法及待定系数法求数列通项公式）、数学运算（利用全概率公式、等比数列通项、求和公式、随机变量均值公式计算求解）等数学核心素养.

2 试题背景

试题背景指命题时试题选材的背景.研究试题背景能凸显试题立意、丰富试题研究、导向课堂教学.常见的试题背景有现实背景、教材背景、高考背景、高等数学背景、竞赛背景、数学史背景等.

2.1 高等数学背景

21题蕴含高等数学中马尔科夫链背景.马尔可夫链是概率统计中一个重要模型，其数学定义为：设随机序列{X（n），n=0，1，2，…}具有离散状态空间E.若对于任意m个非负整数n1，n2，…，nm（0≤n1

2.2 教材背景

教材是连接课程方案与教学实践的枢纽，是教师教和学生学的载体.［3］同时，教材也对高考试题的命制具有導向性，是高考试题命题选材的源泉．读完21题，给我们的感觉是似曾相似.确实题目含有教材例习题的影子.

一是源于2019年人教版普通高中数学教科书（下文简称“人教版教材”）选修三第7.1节例4（50页）：

某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.［4］

二是源于人教版教材选修三复习参考题7第10题（91页）：

甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求n次传球后球在甲手中的概率.［4］

以上三题均为全概率公式应用问题.其中例4和21题（1）问考查实质相同，只是将问题背景由“选择用餐餐厅”替换成了“选择投篮对象”，解答思路完全一致.10题同21题都考查利用全概率公式表达数列的递推关系，均涉及构造法、待定系数法求通项公式.

2.3 高考背景

（2020年高考数学江苏卷第25题）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．

（Ⅰ）求p1，q1和p2，q2；

（Ⅱ）求2pn+qn与2pn－1+qn－1的递推关系和Xn的数学期望E（Xn）（用n表示）．

25题同21题设问形式和解答思路高度一致：均是先求特殊情况的概率取值，再利用全概率公式表达n为一般情形的概率，都涉及数列递推公式求通项公式，最后求解随机变量数学期望.当然，两题也有细微区别：21题“第i－1次投篮的人是甲”与“第i－1次投篮的人是乙”两事件互斥且和为必然事件，是全概率公式中n=2的情形.而25题甲口袋中“恰有2个黑球”，“恰有1个黑球”互斥，但和不为必然事件，还需补充“恰有0个黑球”的情形，考查全概率公式n=3的情形.同时，21题（Ⅲ）问是两点分布模型求随机变量数学期望，而25题（Ⅱ）问随机变量Xn可取0，1，2三种情况，不是两点分布.全概率公式是高中新教材新增内容，是近年高考的重点和热点，除25题外，2019年全国Ⅰ卷理科第21题，2022年全国乙卷理科第10题等均涉及全概率公式的应用.

3 试题解答

率.［5］21题“第i次由谁投篮”依赖于第i－1次投篮结果，于是将样本空间表示为“第i次投篮的人是甲”和“第i次投篮的人是乙”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.

解析：（Ⅰ）设Ai=“第i次投篮的人是甲”，Bi=“第i次投篮的人是乙”，则Ω=Ai∪Bi，且Ai，Bi互斥，其中i∈N.由题意，P（A1）=P（B1）=0.5，P（B2A1）=0.4，P（B2B1）=0.8，由全概率公式得，P（B2）=P（A1）P（B2A1）+P（B1）P（B2B1）=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.

4 试题变式

试题变式，既是研究高考试题的重要视角，也是开展试题教学的重要方式.张奠宙先生指出，依靠变式提升演练水准是数学教学的四个特征之一.通过研究试题变式，能深刻揭示试题背后的知识实质，帮助学生形成良好的认知结构，引导学生掌握数学学习研究的方法手段.

变式1 （改编自人教版教材选修三第7.1节例5）甲、乙、丙三人参加趣味投篮活动，甲每次投篮的命中率为0.6，乙和丙每次投篮的命中率均为0.8，已知甲、乙、丙投篮次数分别占总数的25%、30%、45%.投篮开始时，将每人每次的投篮结果分别记录在一张单独的纸条上（所有纸条相同），如“未投中”，“投中”.投篮结束后，再将所有记录纸条放在不透明纸箱中混合均匀.

（Ⅰ）任取一张投篮记录纸条，计算“未投中”的概率；

（Ⅱ）如果取到的投篮记录纸条是“未投中”，计算它是乙投篮结果的概率.

解析：设B=“任取一张纸条为‘未投中”，A1=“抽取纸条为甲投篮结果”，A2=“抽取纸条为乙投篮结果”，A3=“抽取纸条为丙投篮结果”，则Ω=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3互斥.由题意，P（A1）=0.25，P（A2）=0.3，P（A3）=0.45，P（BA1）=0.4，P（BA2）=P（BA3）=0.2.

（Ⅰ）由全概率公式得，P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）=0.25×0.4+0.3×0.2+0.45×0.2=0.25.

點评：21题考查全概率公式n=2的情形，变式1将互斥事件拓展为三个，适度提升了解答难度.变式1（Ⅱ）问为可靠性问题，考查贝叶斯公式的应用，在21题的基础上丰富了知识考查.贝叶斯公式同全概率公式均是概率论中应用广泛的重要公式.全概率公式表明综合引起结果的各种原因，导致结果出现的可能性的大小.而贝叶斯公式则反映了当结果出现时，它是由某个原因（比如（Ⅱ）问中A2）引起的可能性的大小，常用于可靠性寿命检验、可靠性维护、可靠性设计等.［6］

变式2 （改编自人教版教材选修三复习参考题7第10题）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人.

（Ⅰ）求2次传球后，球经过乙的次数为X，求X的数学期望；

解析：（Ⅰ）由题意，2次传球后，球经过乙的次数可能为1或0.设A1=“1次传球后球在乙手中”，

变式3 （改编自中科大少创班初试题）甲、乙两人各有两球，一红一蓝.甲、乙两人做换球训练，一次操作是甲、乙各随机抽一球与对方交换.

（Ⅰ）求2次操作后，甲、乙手中均是同色球的概率；

（Ⅱ）求n次操作后，甲、乙手中仍各有一红一蓝球的概率pn，n∈N.

点评：同21题，变式2、3均为全概率公式n=2的情形，即均可利用两个互斥事件（和为必然事件）分割待求事件，但在具体条件概率的求解上，变式3较21题、变式2提升了难度.解答变式3的关键是理解：甲、乙两人各有一红一蓝两球，进行一次换球操作共有4种情况.其中2种情况为红球换红球（或蓝球换蓝球），换球后两人仍各有一红一蓝两球；另2种情况为红球换蓝球（或蓝球换红球），换球后两人手中均是同色球.若甲、乙两人手中均是同色球，则无论如何操作，换球后均是甲、乙两人各有一红一蓝两球.

变式4 （改编自人教版教材选修三第7.1节习题4）有甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有6个红球、4个白球.抛一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱中随机摸出2个球.（注：摸出的球要放回）

（Ⅰ）求摸到白球的概率；

参考文献

［1］刘成龙，余小芬.研究高考试题的几点方法［J］.中学数学研究（江西师大），2008（9）：4-10.

［2］苏玉泽，孟相如，康巧燕等.基于半马尔可夫过程的虚拟网络生存性模型［J］.科学技术与工程，2019，19（24）：260-267.

［3］吴立宝，曹一鸣，秦华．钻研教材的几个视角［J］．中学数学教学参考（上旬），2013（4）：2-4，8．

［4］中学数学课程教材研究开发中心.普通高中数学教科书数学选择性必修第三册［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［5］中学数学课程教材研究开发中心.普通高中数学教科书教师教学用书（选择性必修第三册）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［6］张天德，叶宏.概率论与数理统计［M］.北京：人民邮电出版社，2022.