基于任务群的深度学习设计

刘惠梅

高中数学新教材中很多习题有着极强的“代表性”与“穿透性”，教师若能积极开展对教材习题的研究，创设合理的任务群，以“最近发展区”为平台，在课堂中提出高价值的问题，就能引导学生仔细观察、大胆猜想，严谨推理，不断拓展学生的认知，提升四基四能.

本文以2019版人教A版選择性必修第一册的一道习题为例，通过聚焦任务群，让学生经历从特殊到一般、从确定性到完备性、从顺推到逆推的探究过程，体验研究数学问题的普适性方法，落实数学核心素养.

具体研究思路为：

一、问题

题源 （2019版人教A版选择性必修第一册第三章“圆锥曲线的方程”P128习题3.2第11题）M是一个动点，MA与直线y=x垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线y=－x垂直，垂足B位于第四象限. 若四边形OAMB（O为原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程.

设计意图：题源来自于新教材的课后习题，习题通常蕴含了很多一般性规律.老师要善于钻研教材，强化思维迁移，引导思维向广度和深度拓展延伸，引导学生从解题到解决问题的转变.此题结论是否具有一般性？

二、猜想

任务1 题源中直线y=x与y=－x恰好是动点M的轨迹（即双曲线）的两条渐近线，这个结论是否可以推广到以下一般情况？

解析：①当M在y轴右侧时，如图2，设动点M（x0，y0），直线l1的倾斜角为θ，点M到直线y=

设计意图：任务1将题源中的特殊情况通过大胆猜测、严格证明推广到一般的结论，学生经历从特殊到一般的过程，通过发现隐藏在表象中的一般性结论，实现多题归一.

三、完备性探究

任务2 任务1中若删除“B，A分别在第四、一象限或者二、三象限”，动点M的轨迹会发生变化吗？

设计意图：任务2针对命题的完备性设计，尊重知识的发生过程，尊重学生的思维发展规律.聚焦任务群，推动学生探究进程，引导学生经历从确定性到完备性的过程，培养思维的严谨性和完备性，提升逻辑推理的数学核心素养.

四、逆命题

设计意图：深刻理解条件的充分性和必要性是培养学生逻辑推理素养的重点，正难则反，逆推也是提升素养的重要方法.任务3源于教材而高于教材，把基础知识的教学落到实处，学生经历从顺推到逆推的探究过程，培养学生数学运算、逻辑推理等数学核心素养.

五、拓展

部分学生顺着任务群的探究思路，将任务3中的问题稍作改编，得到任务4.

继续深入钻研，以下两个拓展结论的发现自然是水到渠成：

拓展结论1 过双曲线上任一点分别向两条渐近线做垂线，两条垂线段的长度之积为定值.

拓展结论2 已知两条相交的直线，过直线外一点M分别作两直线的垂线，若两条垂线段的长度之积为定值，则动点M的轨迹是以这两条相交的直线为渐近线的双曲线（四支）.

设计意图：学生前面经历从特殊到一般，从确定性到完备性，从顺推到逆推的探究过程，体验研究数学问题的普适性方法，在小组合作交流的探究活动中从另一个切入口发现新的规律，提出新的问题，进入新的探究学习.基于建构主义思想，学生将多个知识点串联起来，由已知向未知逐渐扩充，不断扩大知识网络，完善知识网络体系.

高中数学教学中，培养学生的主体意识，激发他们的探究思维能力，能有效提高教学效果，促进数学素养的提升.教学过程中，要重视研究教材中的经典习题，挖掘习题背后蕴含的深层次思想方法，引导学生从解题到解决问题的转变，从单一的机械刷题到落实核心素养的科学训练的转变，丰富学生的方法体系与认知结构.