系统化、本质化、多样化：初中数学习题教学的应然追求

【摘 要】习题教学是初中数学课堂教学的重要环节之一，也是评价教学效果的重要抓手。通过优化习题教学设计，引导学生“用数学的思维与数学的语言分析和解决问题”，能够实现“数学知识系统化建构、数学问题本质化探寻、数学问题多样化解决”，进而培养学生核心素养。

【关键词】初中数学；习题教学；系统化；本质化；多样化

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2024）07-0059-05

【作者简介】王瑞华，江苏省泰州市高港实验初级中学（江苏泰州，225300）校长，高级教师。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）指出，要优化习题设计，注重发展素养。如何优化习题教学设计，实现有效习题教学，从而培养学生核心素养？笔者结合学校“名师工程系列”之“尚美讲坛”——党员、骨干教师示范课展示活动中一道习题的教学，尝试说明如何通过习题教学实现数学知识系统化建构、数学问题本质化探寻和数学问题多样化解决。

一、习题呈现

【阅读材料】小明同学阅读课外书籍时，发现这样一道题目：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，求证：[ABAC=BDCD]。

【举一反三】爱动脑筋的小明自己编了一道题目：如图1，在△ABC中，[ABAC=BDCD]，求证：AD平分∠BAC。请判断此题是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由。

【尝试应用】如图2，⊙O是Rt△ABC的外接圆，点E是⊙O上一点（与点B不重合），联结AE，并延长AE，BC交于点D，点H为AE上一点，且满足[AHAB=12]，联结BH交AC于点G，若[HGHB=13]，AB=[32]，求AE的长。

【灵活应用】如图3，用无刻度的直尺与圆规在⊙O上找一点P，使得AP=3BP。

二、教学实施

1.观察与思考

教师首先出示习题，让学生独立思考片刻。

师：由条件“在△ABC中，AD平分∠BAC”中的角平分线，你能联想到什么？

生1：角平分线的性质定理和角平分线的性质定理的逆定理。

生2：可以联想到等腰三角形“三线合一”。

生3：可以联想到“角平分线、等腰三角形、平行”中“由二推一”。

师：很好。那由题目中要求证的“[ABAC=BDCD]”，你们又能联想到什么呢？

生4：相似三角形对应边成比例。要证[ABAC=BDCD]，只要证明△ABD和△ACD相似，但只存在∠BAD=∠CAD，而且直观感觉两个三角形形状不同。

师：既然不能证明△ABD和△ACD相似，那么能否换一个角度思考呢？

生5：由“角平分线上的点到角的两边距离相等”，我们可以过点D分别作DH⊥AB于点H，DQ⊥AC于点Q，这样就得到DH=DQ。（如图4）

师：那由“DH⊥AB于点H，DQ⊥AC于点Q”可以联想到什么呢？

生6：由垂直可以联想到三角形的高，由高可以联想到面积，所以我们可以用不同的方法求同一个三角形的面积来构造比例式。

师：很好。能具体说一说吗？

生6：[S△ABDS△ACD=12AB?DH12AC?DQ=ABAC]，设BC边上的高为h，则[S△ABDS△ACD=12BD?h12CD?h=BDCD]，从而得到[ABAC=BDCD]。

2.联想与归纳

师：刚才那位同学利用面积法构造比例式，使命题得证。根据刚才角平分线的联想，我们还可以怎么分析呢？请同学们先独立思考，再小组交流。

生7：由角平分线我们可以联想到“角平分线、等腰三角形、平行”中的“由二推一”。过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E，可以得到AB=EB；由BE∥AC可以证明△ADC∽△EDB，有[ACEB=DCDB]，所以得到[ABAC=BDCD]。（如图5）

生8：还可以过点D作DF∥AB交边AC于点F，同样得到AF=DF，△CDF∽△CBA，有[CFDF=CABA]，所以[CFAF=CABA]，根据平行线分线段成比例定理，由DF∥AB得到[CFAF=CDBD]，所以得到[ABAC=BDCD]。（如图6）

师：两位同学说得都非常好。大家比较一下这两种做法，你有什么想法？

生9：我认为这两种方法本质是一致的，都是借助于角平分线、等腰三角形、平行以及相似的有关知识解决问题。比较两种做法，我觉得生7做法更简洁。

师：说得非常好！我们解决问题既要注重问题的本质探寻和问题的多样化解决，还要注重优化数学问题的解决方法。刚才由“AD平分∠BAC”，得到了“[ABAC=BDCD]”。反过来，在△ABC中，[ABAC=BDCD]，你能证明AD平分∠BAC吗？请同学们先独立思考，再小组交流。

生10：根据刚才第（1）题的探究过程，联想到角平分线的性质定理的逆定理，要证明“AD平分∠BAC”，只需证明“DH=DQ”。把生6的解题过程加以修改可以得到：[S△ABDS△ACD=12AB?DH12AC?DQ=AB?DHAC?DQ]，设BC边上的高为h，则[S△ABDS△ACD=12BD?h12CD??=BDCD]，从而得到[AB?DHAC?DQ=BDCD]，因为[ABAC=BDDC]，所以DH=DQ，命题得证。

师：非常好！这位同学不仅关注了知识间的联系，联想到角平分线的性质定理的逆定理，同时注重方法之间的关联，用不同的方法求同一个三角形的面积构造比例式，把问题（1）的解决过程巧妙地迁移过来成功解决了问题（2）。

生11：生7的方法也可以借鉴。过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E。要证明“AD平分∠BAC”，只需证明“AB=EB”。由BE∥AC可以证明△ADC∽△EDB，有[ACEB=DCDB]，因为[ABAC=BDDC]，所以[ABAC=EBAC]，即AB = EB，命题得证。

师：不错。这位同学很巧妙地借助相似证明线段相等，再“由二推一”得到“AD平分∠BAC”。要证明两个角相等，还可以联想到什么呢？

生12：证明两个角所在的三角形全等；两直线平行，同位角相等，内错角相等；同角或等角的余角或补角相等；相等角的锐角三角函数值相等。

师：很好。根据上面的联想，能否利用三角函数的知识证明“AD平分∠BAC”呢？

生13：如图7，过点B作BH⊥AD于点H，过点C作CG⊥AD于点G，可以证明△BDH∽△CDG，[BDCD=BHCG]，因为[ABAC=BDCD]，所以[ABAC=BHCG]，即[BHAB=CGAC]，在Rt△ABH和Rt△ACG中，sin∠BAH = sin∠CAG，从而AD平分∠BAC。

师：很好！同学们平时解决问题时要善于联想，通过解决问题将碎片化的知识点加以梳理和整合；要善于思考，注重对数学知识的本质进行探究。

3.拓展与应用

师：利用上面探究的经验，如何求【尝试应用】中AE的长呢？请同学们先独立思考，再小组交流。

生14：因为[AHAB] = [12]，条件“[HGHB] = [13]”可以转化为“[HGBG]=[12]”，可得[AHAB]=[HGBG]，根據【举一反三】得到的结论可得AC平分∠BAD。连接CE，如图8，可以证明△ABC ≌△AEC，从而AE=AB = [32]。

师：真是举一反三，活学活用呀！这里面有两点值得大家学习，第一，将条件中的“[13]”结合图形转化为“[12]”，大家要学会深度剖析习题的数字特征；第二，学会将复杂图形分解为基本图形，逐步攻克。

师：现在来看【灵活应用】用无刻度的直尺与圆规在⊙O上找一点P，使得AP=3BP。回顾本题条件和结论，同学们有何联想？

生15：要AP = 3BP相当于证明[APBP] = 3，联想到前面的探究，假设点P已作，只需有∠APM=∠BPM，同时点N为线段AB的四等分点，只要作线段AB，BQ的线段垂直平分线得到点M，N，联结MN并延长交⊙O于点P即为所求，如图9。根据对称性，在劣弧AB上也存在满足要求的点P，如图10。

师：这位同学利用前面探究得到的结论，将问题转化后迎刃而解。我们在解决问题时，既要注重知识、方法的联想关联，也要关注对数学问题本质的探寻。课后请大家把今天讲的内容整理到课堂笔记上。

三、教学反思

1.习题教学要有利于系统化建构数学知识

习题教学的目的是让学生通过关联、联想将所学的知识、方法及思想进行有效的建构，使之更加系统化，为今后解决问题奠定基础。因此，在几何习题的教学过程中，教师既要重视问题的开放性、层次性，也要关注学生思维与素养的进阶性。教师要引导学生不断关联与联想，从原有认知入手，让所学内容结构化、思维可视化，逐层渗透以实现知识的系统化建构，从而形成完整的知识体系。本节课笔者展示习题后，引导学生由条件中的角平分线展开联想，在习题教学中引发高阶思维活动，增强学生的迁移应用能力，实现其对知识的深度理解。［1］在学生回答问题的过程中，教师进行有针对性的点评，既是鼓励也是归纳升华，促使其思考和建构知识，体现了“有效的教学活动是学生学和教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者”［2］。

2.习题教学要有利于本质化探寻数学问题

新课标指出，要强化对数学本质的理解，关注数学概念的现实背景，引导学生从数学概念、原理及法则之间的联系出发，建立起有意义的知识结构。因此，习题教学要借助典型题目，通过一题多解、多题归一，引导学生有目标、凭依据、讲条理、能系统地探究与思考，从而加深对数学本质的理解。上述教学中，教师从“AD平分∠BAC”出发，让学生关联联想得出角平分线的性质定理及逆定理、相似三角形、锐角三角函数证明等多种不同的思路与方法，但问题的本质只有一个——证明两个角相等。在分析问题的过程中，教师从问题本身出发，培养学生的动态思维，搭建问题解决的脚手架，并促使问题步步深入。［3］教师引导学生通过独立思考、自主探究、合作交流等不同的学习方式，经历对问题本质的探寻过程，使习题教学走上有效之路。

3.习题教学要有利于多样化解决数学问题

习题教学要引导学生从不同角度思考问题，运用多样化的方法解决问题，加深其对概念、定理的理解，感受不同解决方法的差异性，理解运用不同方法的原因、过程和结果，并对解决问题的方法进行评价反思，从而培养学生思维的深刻性、发散性，提升其解决数学问题的综合素养。上述教学无论是从“AD平分∠BAC”出发得出“[ABAC=BDCD]”，还是由“[ABAC=BDCD]”推出“AD平分∠BAC”，教师都积极引导学生运用多种解决方法进行尝试和探索，促进学生深刻认识数学知识方法和数学要素关系，培养学生的自主性思考能力，全面构建数学问题多样化解决的认知结构，优化学生思维品质。

【参考文献】

［1］莫焕群，毋晓迪.优化习题教学 提升解题素养［J］.中学数学研究，2022（7）：12?15.

［2］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：3.

［3］沈英.解题教学要体现“学生为主体”——从两则教学片段说起［J］.中学数学，2020（6）：25?26.