丰盈“植树问题”发展模型意识

查周洁 曹骏

【摘   要】“植树问题”是以模型建构与应用为主线解决问题的典型教学内容。从发展模型意识的角度出发，“植树问题”的教学目标可定位为：体验数学建模的过程，运用模型解决同类问题。教师可通过“解答开放性问题，感知‘植树问题的情境多样性；借助直观图式，初步理解‘植树问题的基本模型；结合图式比较，整体建构‘植树问题的解答模型”三个层次展开教学，并引导学生结合同类问题的解释或解答，丰富对“植树问题”模型的认知。

【关键词】植树问题；模型建构；模型意识；问题解决

“植树问题”是以模型建构与应用为主线解决问题的典型教学内容。教学实践中，教师一般会通过现实生活中常见的“植树问题”，引导学生借助示意图、线段图等图式发现规律，并抽象规律，形成数学模型，再将模型应用于相似、相近的生活问题的解决中。那么，如何帮助学生理解“植树问题”的模型？如何引导学生经历感知、识别、表达、关联、运用等活动过程，建构“植树问题”的模型，发展模型意识呢？

一、基于模型建构的“植树问题”内容解读

作为一个典型的数学模型建构内容，“植树问题”的教学目标可定位为：引导学生体验数学建模的过程，在感受“植树问题”模型的基础上，能够运用模型解决同类问题。不过，这样的目标定位很容易被理解为让学生记忆“两端都种、一端不种、两端都不种”等固定模式，导致学生出现“套用模式，死记公式”的问题。

横向比较不同版本的教材（如表1）发现，在“植树问题”基本内容的编写上，不同版本教材都较为突出“建构点段关系的数学模型”，且都借助直观示意图，引导学习者感知“点数与段数的关系”，理解问题中所蕴含的数量关系，并在梳理关系的基础上建构起基本的数学模型。

从上表中可以看出，人教版教材在研究“植树问题”的三种情况时采用了同一个情境，上海版教材采用了两种不同的情境，苏教版教材则引入了更为丰富的情境。基于上述比较、分析，在教学“植树问题”时，教师应从实际问题入手，引导学生在分析、思考问题的过程中，逐步发现隐含于不同情形中的规律，经历抽取出数学模型的过程（建模），体验数学思想方法在解决简单实际问题中的应用（解模）。在整個“植树问题”的建模过程中，要突出示意图、线段图的教学价值，引导学生用画图的方法解决植树问题，借助示意图或线段图进行分析，从而帮助学生打通“植树问题”模型与“公交车站设置问题”“锯木头问题”“钟声问题”“设置饮水点问题”“爬楼梯问题”等情境之间的联系。由此，确立“植树问题”的基本学习目标是解决问题，关键点是理解“点段关系”模型，并借助多元表征和数形结合，促进学生理解数学模型及其应用过程，形成数学基本活动经验。

二、发展模型意识视角下的“植树问题”活动设计与教学

数学模型对小学生来说较为抽象，其建构过程并不是一蹴而就的。教学中，教师需要遵循学生的认知发展规律，引导学生经历、体验建构模型的全过程，从而发展学生的模型意识。基于此，笔者将“植树问题”教学活动的设计分为以下三个层次。

层次一：解答开放性问题，感知“植树问题”的情境多样性

课始，教师呈现数学问题：在一条20米长的小路的一边种树，每隔5米种1棵，能种几棵？

学生通过自主探究，呈现出三种情况：（1）20÷5=4（棵）；（2）20÷5+1=5（棵）；（3）20÷5-1=3（棵）。

这样的学习材料具有开放性，学生在解决这一问题的过程中，会产生不同的结果。针对这三种情况，教师要引导学生重点思考：“同样一个问题，为什么会出现不同的结果？”并提出进一步的活动要求：请根据相应的算式，借助学具动手摆摆“种法”，并把摆法用示意图或线段图表示出来。因为有了实际的操作活动，且呈现了直观图式，所以学生较易通过示意图理解算式所表示的意思，能够真切体会到：在实际的“植树问题”中，因环境不同，会产生三种不同的结果。而这三种结果，正好对应三种不同的问题解决模型。

层次二：借助直观图式，初步理解“植树问题”的基本模型

在实际课堂上，解决这个问题时，较多学生首先想到的算式是第（1）种与第（2）种。究其原因，列出第（1）种算式的学生，更多是受除法运算的影响，即求总数里面有几个几，可直接用总长度除以单位长度；列出第（2）种算式的学生，则受“路边种树一般从端点处开始，又在端点处结束”的生活经验的影响，于是会在结果4棵的基础上再加上1棵。因此，组织学生借助图式对20÷5=4（棵）与20÷5+1=5（棵）这两种情况进行讨论，并互相交流想法，是必不可少的过程。

在交流过程中，教师首先要引导学生讨论：“将20米长的小路，每隔5米分1段，会出现怎样的情况？”结合图1，学生发现：将20米长的小路每隔5米分1段后，会出现4段长度和5个端点。于是，学生通过示意图，初步建立了“植树问题”的基本模型，即“两端都种”，并将其与算式建立联系，得出20÷5+1=5（棵）的结果。

接着讨论：“一端种，一端不种”的情况（如图2）在生活中有可能出现吗？若出现，会是在什么情况下？学生对“一端种，一端不种”的实际情境有一定的经验。比如，当路的起点有障碍物时，这一端就不能种树，此时，若每隔5米种1棵树的话，就只能种4棵了，由此得出20÷5=4（棵）。结合示意图（点段间的关系）与生活经验，学生能够理解这种情况。在此基础上，教师要引导学生将这种情况与“两端都种”的情况进行比较，通过两者的图式和算式初步感知“植树问题”模型的多样性。这一过程要突出示意图的作用，从而帮助学生直观理解基本模型与变式模型，体悟相互之间的关系。

层次三：结合图式比较，整体建构“植树问题”的解答模型

在这一环节，教师要引导学生结合图式，将“一端种，一端不种”与“两端都不种”这两种变式模型，与“两端都种”的基本模型进行比较，从而建立三者之间的联系。

在“两端都种”情况的图式中，4段长度和5个端点比较直观。此时，由于两端都种了1棵树，便形成了4段对5点的模型，需要用“20÷5+1=5（棵）”来解答，从而将问题情境、示意图和算式建立起清晰的联系。在解释“20÷5=4（棵）”时，学生同样需要将问题情境、示意图与算式建立联系。而当小路的两端都有障碍物时，便会产生“两端都不能种”的情境（如图3）。将其与基本模型进行比较，发现需要在原有棵数基础上“减少2棵”，即所能用的点数比段数要少，于是便得到算式“20÷5+1-2=3（棵）”，其中，加1减2其实就是减1（如图3中的算式）。

总之，教学中，教师要在学生充分理解了基本模型之后，再引导学生研究“一端不种”和“两端都不种”两种变式模型，让学生结合图式，对“点数与段数的关系”进行分析，建立基本模型与变式模型间的关系，从而帮助学生完整认识到“植树问题”模型的多样性。

三、结合分层应用练习，丰富对“植树问题”的模型认知

发展学生模型意识，不仅要让学生认识建构模型的过程，还要引导学生体会“数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径”。因此，在建构“植树问题”的模型后，引导学生在实际问题解决中应用模型，是发展学生模型意识必须经历的过程。为此，笔者设计了三个层次的问题解决练习，在解决“同类问题”的过程中，丰富学生对“植树问题”模型的认知。

（一）“公交车站设置问题”——同层水平的应用

练习1：公交车从嘉兴到王江泾的行驶路线全长12千米，且相邻两站之间的路程都是1千米。一共设有多少个公交站台？（要求：画出示意图，然后解答）

“公交车站设置问题”和“植树问题”是问题情境不同、模型结构相同的同类问题。因此，要解答这一问题，就要先解决“两端都种”的问题，引导学生再次体验基本模型。在解答问题的过程中，多数学生能通过画线段图（如图4），发现这个问题与“植树问题”中“两端都种”的情况相似。因此，较易从图4中清楚地看出12段13个点的结构，用“12÷1+1=13（个）”来解答。

（二）“锯木头问题”——拓展水平的应用

练习2：一根木头长15米，每5米锯1段，需要锯几次？

“锯木头问题”看似简单，其实理解起来并不容易。如果把锯木头的“锯点”当作“植树问题”中的树（即点），那么“锯木头问题”就可以看作“植树问题”中“两端都不种”的情况。从图5中可以看出，15米长的木头，每5米锯1段，分成了3段。3段有4个点，头和尾都不用锯，所以要减去2个点，即15÷5+1-2=2（次），而加1减2其实就是减1（如图5中的算式）。

（三）“钟声问题”——挑战水平的应用

练习3：钟声每响一次延续2秒，停顿3秒后再响第2声，如此反复。那么，当第4声钟声结束时，一共经过了几秒？

“钟声问题”比之前的“公交车站设置问题”和“锯木头问题”更复杂，因为“钟声响”有时间，“停顿间隙”也有时间，在解答时，这两类时间均需计入总时长。但若将问题情境通过示意圖（如图6）表示出来，同样也能与“植树问题”建立联系。

图6为学生作品，从图中能看出“植树问题”的点段关系，只不过钟声每响一次延续2秒，停顿3秒后再响第2声，于是植树问题中对应的“点段组合”就成了钟声问题中对应的“一次钟声时间”与“一次停顿间隙的时间”。学生解答时要这样来思考：钟声每响一次与一个间隔为一个组合，算得需要2+3=5（秒），一共有这样的3个组合，再加上第4声用的时间，共需要（2+3）×3+2=17（秒）。

显然，将“植树问题”模型应用到同结构不同情境的问题解决中，不仅能拓宽学生的思维，还能丰富学生对“植树问题”模型的认知。

总之，发展学生模型意识视角下的“植树问题”教学，突破了“植树问题”的一般教学模式，基于问题解决的主线，借助几何直观，帮助学生认识“植树问题”模型的多样性，完整建构“植树问题”的模型。同时，结合同类问题的解释或解决，丰富了学生对“植树问题”模型的认知，发展了学生的模型意识。

（1.浙江省海宁市许村镇中心小学 2.浙江省嘉兴市实验小学）