例谈转化思想在高考圆锥曲线问题中的应用

艾 焰

(江苏省南京市第一中学 210000)

1 引言

高中数学圆锥曲线模块对于不少学生来说从新授课到复习课一直都是难点,究其原因是圆锥曲线问题中涉及的未知量较多、计算相对复杂,再加上有些学生思路不清晰,导致圆锥曲线题的得分率较低.但是,如果学生能学会准确地转化,转化为其学过的其他问题,相信他们解决圆锥曲线问题的能力会得到较大的提升.

在对题目进行转化前,学生需要清楚问题中已知什么、所求的是什么,然后在自己的知识体系中找出相关联的知识点与方法,与要解决的问题搭建起有效的桥梁.这要求学生具有较强的分析问题的能力、相对完整的高中数学知识体系.同时,教师要清楚学生当前的学习能力、知识与方法的储备,在教学过程中进行巧妙的引导和适当的铺垫,启发学生的思维,培养学生准确有效转化问题的能力,从而提升学生的思维水平.这种数学抽象素养的培养需要深入到具体的学习活动中去,教师对教学方法的选择要立足于对学生数学学习的心理认知特点和规律的把握[1].

2 转化思想在圆锥曲线问题中的具体应用

2.1 转化为平面图形问题

我们都知道,用代数的方法研究几何问题是解析几何最基本的思想,但既然是解决几何问题,不排除可以将有些问题直接转化为平面几何问题,借助图形中的边角关系,利用平面几何知识或解三角形的方法加以解决.

点评 本题利用椭圆的定义将问题转化为平面三角形问题,利用余弦定理和平面向量解决.在圆锥曲线问题中,转化为平面图形问题可以提高解题效率,使解题过程更加简洁.一般涉及到圆锥曲线中焦半径的问题很多都可以考虑转化,在转化过程中也经常需要添加一些辅助线来构造三角形、平行四边形等特殊图形.这种转化为平面图形的解题方法在选择题、填空题中显得更加简洁高效.

2.2 转化为不等式问题

在圆锥曲线解答题中,经常会遇到求解某个量的最值或者取值范围这类问题,这时我们经常会用到不等式这一工具,有时通过基本不等式求最值,有时也通过解不等式求得取值范围.

例2(2021年全国乙卷文科第20题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2．

(1)求C的方程;

点评 本题在求解时转化为了一元分式函数问题,通过使用基本不等式得出斜率的最大值.在使用基本不等式这一工具时要注意的是,先求出参数的取值范围,后面需要验证等号成立时该参数是否在所求出的范围之内.有时求解圆锥曲线问题时需要构造不等式来解决,比如求离心率的取值范围等问题,这种类型的问题往往比较灵活,如何寻找题目中隐含的不等关系是关键,教学中教师要善于引导,让学生积极主动地思考、归纳与总结.

2.3 转化为函数问题

高中数学中的很多问题最终都可以转化为各种类型的函数问题,这种转化本身对于学生来说并不陌生.圆锥曲线的很多问题中的难点是在转化成了多元函数问题,或者是带有参数的函数问题后,学生要解决如何转化、转化后如何消元、如何对参数进行分类讨论等一系列问题.

点评 本题的条件中出现了一个不等式PB≤2b恒成立问题,将PB表示为关于纵坐标的一个二次函数,函数中带有参数a,b,c,函数的定义域也是带有参数b的,所以要结合对称轴与区间的相对位置关系进行分类讨论,这对于学生来说有一定的难度.教师在教学时不妨先从2021年全国乙卷文科第11题入手,此题也是转化为一元二次函数的最值问题,不过该函数中没有参数,不需要分类讨论.让学生先掌握这一思想方法,从简单题入手,然后再尝试解决稍有难度的例3.这样逐步深入的解题过程既让学生容易找到问题的突破口,同时也让他们感受到一定的挑战性,能够激发其进行思考、探索和钻研,在这一过程中不但增强了解决问题的信心,也在不知不觉中强化了转化思想.

2.4 转化为方程问题

圆锥曲线的问题中经常会涉及到直线或曲线过定点、证明直线与直线或直线与曲线的位置关系等问题,这其中的大部分都可转化为方程问题.

例4(2021年全国甲卷文Ⅱ理科第20题)已知抛物线C的方程为y2=x,⊙M的方程为(x-2)2+y2=1,设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系,并说明理由．

解(特殊情况的讨论略)

同理,直线A1A3的方程为x-(y1+y3)y+y1y3=0,直线A2A3的方程为x-(y2+y3)y+y2y3=0.

综上,若直线A1A2,A1A3与圆M相切,则直线A2A3与圆M相切.

点评 本题对部分学生来说难度较大,关键在于解题过程中出现的字母多,数学表达式也比较抽象,学生找不到突破口.如果学生能利用方程思想,不难得到关于y2的方程和关于y3的方程是同一方程,找到这一突破口就能得到y2,y3与y1的关系,从而利用韦达定理消元得出结论.转化为方程这类问题,通常题目中没有明确的指向,需要学生认真分析问题,理清思路,搭好解题框架.这对于许多学生来说需要有较强的计算能力、明确的解题思路、较强的数学抽象能力,这些都需要长期的积累和总结.因此,教师在教学中要培养学生在面对复杂运算时厘清算理算法,而非盲目运算;仔细分析构造方程的过程,让学生通过建立方程的过程体会方程的思想;另外,解决完问题后还要反思归纳.

3 结束语

解决圆锥曲线问题的思想方法、计算技巧、细节处理都十分值得研究.本文对解决圆锥曲线问题常用的转化思想进行了初步的探析,教师要帮助学生树立转化的意识,并学会常用的转化方法,以利于提升其处理圆锥曲线问题的能力,也利于增强其解决其他数学问题的能力,从而提升数学抽象思维与核心素养.