基于马尔可夫链的高考概率试题研究

关嘉欣

(广东省佛山市顺德区第一中学 528300)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确要求,能结合古典概型,利用全概率公式计算概率[1]．与之相匹配,全概率公式成为了新教材的新增内容,并成为了近几年新高考概率统计考查的香饽饽．利用全概率公式,我们不仅可以构造递推关系求解概率,还可以推导经典的马尔可夫链模型．本文将结合具体试题,分析马尔可夫链模型与全概率公式在高考概率题中的应用．

1 基本原理

马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型,其具有马尔可夫性质:一个随机过程在给定现在状态及所有过去状态情况下,其未来状态仅与当前状态有关．也就是说过去所有的信息都已经保存到了现在的状态,基于现在就可以预测未来[2]．用数学语言来进行描述,即假设序列的状态为…,Xi-2,Xi-1,Xi,Xi+1,…,那么Xi+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一个状态Xi,即P(Xi+1|…,Xi-2,Xi-1,Xi)=P(Xi+1|Xi)．因此,只要我们能求出系统中任意两个状态之间的转换概率(递推公式),我们就可以确定马尔可夫链模型．

具体来看马尔可夫模型,设数轴上一个点,它的位置只能位于整点处,在时刻t=0时,位于点x=i(i=N*),下一个时刻,它将以概率α或者β向左或者向右平移一个单位,那么由全概率公式可得P(Xt+1=i)=P(Xt=i-1)P(Xt+1=i|Xt=i-1)+P(Xt=i+1)P(Xt+1=i|Xt=i+1),即Pi=βPi-1+αPi+1．进一步,我们假设在x=0与x=m处各有一个吸收壁,当点到达吸收壁时被吸收,不再游走．

2 实例分析

例1(2023年新高考Ⅰ卷第21题)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．

(2)求第i次投篮的人是甲的概率;

(1)求甲连胜四场的概率;

(2)求需要进行第五场比赛的概率;

(3)求丙最终获胜的概率．

4.2 协助术者摆好手术体位。患者平卧，头后仰，头下垫头圈，肩下垫肩垫，使头颈部轻度后仰，双侧垫甲状腺球，头部位置一定要放正。健侧上肢向远端牵引并固定，以使健侧锁骨上手术区域充分显露。患者外展于小方桌上。头部安放头架，高度稍高于气管插管并固定，便于术者进行锁骨上手术的操作。

例3(2019年全国Ⅰ卷理科第21题)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验．试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X．

(1)求X的分布列;

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1)．假设α=0.5,β=0.8．

(i)证明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;

(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

解析 本题的题干给出的概率公式pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)是学生理解题意的难点．事实上,该公式体现的就是有三种情况随机游走的马尔可夫模型．甲药要达到“i分”,可以由三种情形转化而来:①在“i-1分”的情形下单次试验得1分的条件概率P(X=1)=a,转移到“i分”;②在“i分”的情形下单次试验得0分的条件概率P(X=0)=b,此时分数不变;③在“i+1分”的情形下单次试验得-1分的条件概率P(X=-1)=c,转移到“i分”.根据全概率公式,可以得到题干的概率公式pi=api-1+bpi+cpi+1．

(2)(i)因为α=0.5,β=0.8,所以由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1．因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1),又因为p1-p0=p1≠0,所以{pi+1-pi}(i=1,2,…,7)为公比为4、首项为p1的等比数列．

3 教学启示

(1)重视教材

很多教师在进行高三复习时习惯性依赖一轮复习材料与习题,而忽略了教材．事实上,教材才是很多命题老师的重要参考材料．以马尔可夫链模型为例,人教A版选择性必修3第91页的习题中就有所体现:

习题设甲、乙、丙三人相互做传球训练,第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,求n次传球后球在甲手中的概率．

此外,很多省市的模拟题其实也是参考教材进行设计的,比如2023年佛山二模第16题和杭州二模第21题．因此,我们在进行高考备考时,应当把教材作为我们的主阵地,全面而深入地挖掘教材中蕴含的知识和能力．重视教材中的例题与课后习题,因为它们是教材内容最直接、最鲜活的呈现形式,可以帮助我们更好地理解教材的精髓．在此基础上,我们还可以结合模拟题进行变式训练,提升在不同情境下应用知识的能力和技巧．

(2)重视数学建模

新课标已将“数学建模活动与数学探究活动”定位为必修课程与选择性必修课程中的主干线索,并在新教材中用较大篇幅刻画数学建模,增加了概率统计相关内容．因此,我们需要重视数学建模这一数学核心素养．为了达成这一目标,可以在课堂内外引导学生强化数学与生活的关联,协助高三学生应对新的高考模式,适应新的试题类型,并在复习过程中从高视角和多角度提升数学建模与解题能力,在复习阶段实现高效的学习效果．

(3)把握数学本质

在高考备考的路上,我们与其带着学生在茫茫题海中盲目航行,不如抓住题目的根源进行针对性训练．这就要求教师拥有更高的洞察力,能从教材的例题或高考模拟题中把握数学的本质,洞察数学的核心,并抓住题根进行合理有效的变式教学,从而提高学生举一反三的解题能力．