也谈复数的大小问题*

石志群

(江苏省泰州教育局 225300)

俞杏明

(江苏省兴化中学 225700)

搜索各种论文数据库,有关复数大小问题的文章不一而足,但这类文章均立意于宏观论证“复数集内不能建立大小关系”,甚至有些文章逻辑上还存在瑕疵,将“复数集内不能建立大小关系”等同于“复数不能比较大小”[1-2].事实上,“复数集内不能建立大小关系”是指在复数集全域内不能建立大小关系,不代表两个特定的复数不能比较大小,如两复数均为实数时它们能够比较大小.因此,基于“复数集内不能建立大小关系”,难以判定“两复数能否比较大小”.对于令人困惑的逻辑段“因为2+i-(1+i)=1>0,所以2+i>1+i”,难以给出正误的理由.

在多项选择题引入高考数学试卷后,高考指挥棒下模考试卷中经常出现包含如上逻辑段的试题:

例1已知z1,z2均为复数,则下列选项正确的是( ).

C,D略.

将复数的大小问题微观细分,细分为任意两个不同的虚数、任意一虚数与任意一实数等大小的子问题进行研究,复数的大小问题才能得到彻底解决.

1 虚数单位i的运算意义

1.1 等式运算的和谐性

等式中引入虚数单位i,使得一元三次方程的公式解、数学中两个最重要的无理数e和π(eiπ= -1)等实现和谐统一.当然,所有这一切的前提是虚数单位i能够参与等式运算.

1.2 不等关系的动态生成性

虚数单位i倘若能引入到不等式中,则其也必须能够参与不等式运算,否则这样的不等关系(大小关系)没有数学意义.因此,数学中的大小关系不是固化的概念,它内含动态生成的过程,如在实数范围内若有a0)等成立.

因为加法保序性与乘正数保序性是不等式运算的两个基本性质,因此在复数范围内若规定a0)等成立.

2 聚焦细分子问题

先证明,任意两个不同的虚数不具有大小关系.

结论1已知虚数z1=a+bi(a,b∈R,b≠0),虚数z2=c+di(c,d∈R,d≠0),当a=c且b≠d时z1与z2不具有大小关系.

证明(1)若z1>z2,即a+bi>c+di,因为a=c且b≠d,所以bi>di,即(b-d)i>0.

①当b-d>0时,则有i>0,因此有i·i>0·i,即-1>0,与-1<0矛盾.

②当b-d<0时,则d-b>0,因此(d-b)i<0,故i<0,从而-i>0,进而(-i)·(-i)>0·(-i),即-1>0,与-1<0矛盾.

(2)若z1

①当b-d>0时,则i<0,因此-i>0,从而(-i)·(-i)>0·(-i),即-1>0,与-1<0矛盾.

②当b-d<0时,则d-b>0,因此(d-b)i>0,故i>0,从而i·i>0·i,即-1>0,与 -1<0矛盾.

综上,当a=c且b≠d时z1与z2不具有大小关系.

在结论1的证明过程中可以发现一个推论.

推论1 虚数单位i与实数0不具有大小关系.

结论2已知虚数z1=a+bi(a,b∈R,b≠0),虚数z2=c+di(c,d∈R,d≠0),当a≠c且b≠d时z1与z2不具有大小关系.

证明(1)若z1>z2,即a+bi>c+di,则(b-d)i>c-a.

因此,a+bi>c+di不可能成立.

(2)若z1

综上,当a≠c且b≠d时z1与z2不具有大小关系.

在结论2的证明过程中发现了另一个推论.

推论2 虚数单位i与实数m不具有大小关系.

结论3已知虚数z1=a+bi(a,b∈R,b≠0),虚数z2=c+di(c,d∈R,d≠0),当a≠c且b=d时z1与z2不具有大小关系.

证明 (1)若z1>z2,即a+bi>c+di.

若a+bi>0,则有(a+bi)(a+bi)>(c+di)(a+bi),故a2-b2+2abi>ac-bd+(ad+bc)i.因为b=d,所以a2-b2+2abi>ac-b2+(ab+bc)i,从而b(a-c)i>a(c-a).

若a+bi<0,则-a-bi>0,从而(a+bi)(-a-bi)>(c+di)(-a-bi),即-a2+b2-2abi>-ac+bd-(ad+bc)i.因为b=d,所以 -a2+b2-2abi>-ac+b2-(ab+bc)i,从而b(a-c)i

因此a+bi>c+di不可能成立.

(2)若z1

综上,当a≠c且b=d时z1与z2不具有大小关系.

下面再证明,任意一虚数与任意一实数不具有大小关系.

结论4已知虚数z=a+bi(a,b∈R,b≠0),c为实数,虚数z与实数c不具有大小关系.

证明(1)若z>c,即a+bi>c,所以bi>c-a.

所以a+bi>c不可能成立.

(2)若z

综上,虚数z与实数c不具有大小关系.

3 整合形成最终结论

结论在复数集中除了两个数均为实数,其他的任意两个数均不具有大小关系.

因此,对于逻辑段“因为2+i-(1+i)=1>0,所以2+i>1+i”,因为两个虚数无法比较大小,所以不存在2+i>1+i.同样道理,例1中形似实异的A,B两个选项,只有选项B是正确的.