基于“扶放有度”教学模式的数学探究活动设计——以“利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质”为例

王泽学 陈 维

(伊犁师范大学数学与统计学院 835000)

1 引言

教学设计常见两大误区:聚焦灌输的教学和聚焦活动的教学[1]．在课程改革的实践中,越来越多的教师意识到灌输教学的弊病,而项目化学习、STEM教育、合作学习等逐渐盛行．《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《课标》)也将数学建模活动和数学探究活动纳入到必修课程的主题中．但在以活动为导向的设计中,教师与学生之间所扮演的角色非常关键．比如,在活动前学生还未掌握完成任务所需的相关知识和技能,此时教师作为学习的指导者发挥作用,进行讲解和示证,此为“扶”．而在应用知识时,教师不应再主导学生的思维,应让学生独立表现,此为“放”．这种“扶放有度,教学有序”的模式有效地规避了两种极端的教学设计,更能推进学习者主动参与学习,培养学生的自主学习能力,提升学生的学科素养．

2 “扶放有度”教学模式

“扶放有度”教学模式是由美国圣地亚哥州立大学的费希尔(Douglas Fisher)和弗雷(Nancy Frey)共同提出的,包括教师示证、教师辅导、同伴协作和独立表现四个阶段(图1),它有效地实现了从教师主导到学生主导的成功转变[2]．

图1 “扶放有度”教学模式

教师示证是教学设计一个重要部分,包括明确目的、教师示范或演示、出声思考和关注学生表现四个特点[2]．有了教学目标,学生才能知道应该做什么,把握学习的时机,抓住学习的重点,当然所制订的教学目标要让学生能看懂．除了明确目的以外,还要通过教师示范或演示、出声思考来阐述专家思维．教师辅导阶段是认知负荷从教师转移至学生的阶段．在这一阶段,教师通过提问、提示或提供线索来为培养学生的技能和知识学习搭建脚手架．所以教师所提出的问题很重要,可以检测出学生的理解情况,发现学生问题所在或者错误思路,教师能灵活地对学习中内容、过程和结果进行差异化处理,达到精确教学的目的[2]．同伴协作这一阶段经常被教师忽略,若运用正确,是巩固学生思维和认知的极好方式,也是学生参与尽责对话与讨论中的一个极佳机会[2]．与同伴合作交流、共同探究的过程中,还能培养学生沟通交流、合作协调以及批判性思维等．独立表现阶段是学生展现自己表达技巧和思维方式的最佳阶段,目标在于理解自己的思考过程,是对学生元认知发展的一个挑战．在这一阶段中,教师既给予学生练习的时间,也给予他们单独思考的时间[2]．

3 基于“扶放有度”教学模式的数学探究活动设计

3.1 教学内容分析

“利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质”是人教A版《普通高中教科书·数学(必修)》(以下统称“教材”)第一册第五章第四节“三角函数的图象与性质”中“探究与发现”的内容．在此之前,学生已经通过正余弦函数图象的研究得到相关性质,所以从三角函数的定义出发研究其性质属于横向拓展功能,即同一知识的不同视角探究,也为后续研究正切函数、三角恒等变换等内容做好铺垫．

从单元教学整体性来看,三角函数的内容以圆周运动为背景,借助单位圆这个工具建立三角函数的概念,根据定义得出了同角三角函数的基本关系、诱导公式和函数图象,并利用图象研究相应的性质．在后面的小节中,正切函数的图象与性质以及三角恒等变换也借助了单位圆这一强有力的“脚手架”．因此,单位圆贯穿了整个三角函数的研究,利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质也是应有之义和必要之举．

从蕴含的思想与方法来看,本节课是一节自主探究课,以自主探索、动手实践、合作交流的学习方式,提升学生提出问题、发现问题、分析问题和解决问题的能力,让学生深刻领会数形结合这一思想方法,让学生真正成为课堂的主体．借助单位圆的直观性,有利于学生直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养的发展．

3.2 学情分析

从知识储备来看,在平面几何的学习中,学生知道圆的性质、相似性等有关知识,并从中心对称图形、轴对称图形、旋转对称图形等多角度对圆进行过研究;在函数的学习中,学生已经研究过幂函数、指数函数、对数函数以及正弦函数与余弦函数的性质,了解通过图象研究函数性质的一般方法．在三角函数的学习中,学生利用单位圆上点的坐标定义三角函数,根据三角函数的单位圆定义得到同角三角函数的基本关系和诱导公式．

从认知障碍来看,首先,学生从未从定义的角度对函数的性质进行过研究,通过圆的几何性质直接反映正弦函数、余弦函数的基本性质的方法对于学生来说是陌生的;其次,学生已经通过图象获得性质,在心理上会忽视本次的探究;最后,学生对于信息技术的使用熟练程度参差不齐,部分学生会因为不能熟练地操作GeoGebra软件,阻碍性质的发现和研究．

3.3 教学目标及教学重点和难点

教学目标:借助GeoGebra软件,通过小组合作与交流,利用单位圆的几何直观自主探索正弦函数、余弦函数的性质,体会数形结合思想方法,提升分析问题和解决问题的能力,发展直观想象和逻辑推理素养．达成目标的标志是学生能阐述如何利用单位圆的性质研究出正弦函数、余弦函数的性质．本节课的教学重点是利用单位圆的几何直观研究正弦函数与余弦函数的性质．教学难点是引导学生归纳出研究的一般思路．

3.4 教学过程设计

3.4.1 教师示证,明确目的

环节1 复习引入

师:在前面的学习中,我们利用单位圆上点的坐标定义三角函数,又根据三角函数的单位圆定义得到同角三角函数的基本关系、诱导公式、正弦函数与余弦函数图象,利用正、余弦函数的图象研究了相应的函数性质(知识结构如图2)[3]．

图2

问题:根据知识结构图,还可做怎样的探究?

师:今天我们使用GeoGebra软件,通过小组合作进行探究,最后选出代表阐述如何利用单位圆的性质来研究正弦函数、余弦函数的性质．

设计意图通过回顾已学的知识,立足于单元设计的角度,让学生感受单位圆在三角函数中的重要性,能以三角函数单位圆的定义为中心构建知识体系,再根据知识结构图引出所要探究的问题,明确本节课的教学目标．有了教学目标,教师就能调控课堂活动的走向,确保学生不失去学习的动机．

环节2 教师演示

教师用GeoGebra演示,包括作出单位圆、在单位圆上作出任意角,以及设置参数等,如图3所示．

图3

设计意图GeoGebra软件作为活动探究的有力工具,若使用不好,就会成为学生探究活动的一个阻碍,因此教师需要“扶”一下．

3.4.2 教师辅导,理清思路

环节3 观察发现

师生活动:教师利用GeoGebra让单位圆上的点绕圆心周而复始地转动,学生进行观察思考．

核心问题:利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数性质的思路是什么?

子问题1:当角x的终边按照逆时针方向旋转时,哪些量也在跟着变化?

子问题2:点P坐标代表着什么?

子问题3:在角x和点P坐标的变化中,谁是自变量的变化?

当学生对研究思路摸不着头绪时,三个子问题能向学生发出提示、提供线索,起着支架的作用．其路径为当学生能知道“角的终边的变化→对应角的变化→单位圆上对应点的坐标的变化→对应角的三角函数值的变化”的变化规律时,小组可以沿着思路继续研究．若不能回答,则抛出子 问题1,若学生能回答“角x和点P坐标发生了变化”,则返回到核心问题这一环节,不能回答则继续抛出子问题2,如此往复．如果学生依然不能归纳出一般思路,教师则退回到示证阶段,通过出声思考为学生梳理思路,向他们直接解释．

设计意图在这个阶段,通过一个核心问题和三个相应的子问题为学生搭建“脚手架”,帮助学生平稳过渡,为学生完成下一阶段的任务建立信心．而教师能获得更多与学生交流的机会,监控学生的掌握情况,发现学生的问题所在,针对性地进行指导,进行有效教学．

3.4.3 同伴协作,分析和解决问题

环节4 小组合作

在合作学习中要做到责任到人,即小组中的每位成员都要承担一个角色,比如记录员、观察员、汇报员等,让全体学生都参与到活动中．与此同时,教师巡视各个小组,观察讨论情况,适时适度参与其中．

设计意图采用小组合作交流的方式,能培养学生沟通合作和解决问题等能力,但有时会出现“能者多劳”的现象,而小组内其他成员基本没有参与,因此责任到人非常重要．

为了让学生巩固所得,真正弄懂内容及同学之间通过彼此交流加深理解,教师布置相应的任务是开展协作学习的必要条件．根据美国教育评价专家韦伯提出的DOK(Depth of Knowledge)理论,设计相应的活动和任务[4]．

任务1(DOK1 回忆与再现):写出正弦、余弦函数的相关性质;

任务2(DOK2 技能与概念):阐述如何利用单位圆的性质得到正弦、余弦函数的性质;

任务3(DOK3 策略性思维):利用单位圆,我们还能有其他什么发现?

设计意图要让学生进行深入探究和思考,并不是设计简单的活动让学生动起来,因此根据DOK理论,设置三个不同层级的任务,推动学生深度学习,促进核心素养落实．

环节5 成果展示

(1)正弦、余弦函数的性质:单调性．

表1

其他发现:

(1)正弦、余弦函数的性质:对称轴和对称中心．

(2)得出结论的过程:我们组在单位圆中作角

图4

(3)结论:

3.4.4 独立表现,应用新知

独立表现的任务分为校内和校外两种形式,校外多以家庭作业为主．

图5

独立任务2:每组选出代表上台阐述研究结果、思考过程、所遇到的问题以及是如何解决的．

设计意图根据美国学者戴尔的“学习金字塔”理论,“教授给他人”是能使学习内容留存率最高的方式,因此让学生对研究的结果进行阐述,对阐述者本身有很大帮助．而且在这过程中,对学生数学语言使用的准确性、口头表达的逻辑性也有一定要求．

环节6 反思评价

问题:通过这次探究,谈谈自己有哪些收获和疑惑?

设计意图反思评价能强化学生的元认知,理解自己的思考过程,能让学生领悟两种思维方式:一是从图象入手研究性质,二是从定义出发研究性质;领悟两个视角,即“几何视角”和“代数视角”,让学生对数形结合的思想方法有更加深刻的认识．

环节7 布置作业

4 结语

《课标》指出:数学探究活动具体表现为发现和提出有意义的数学问题,猜测合理的数学结论,提出解决问题的思路和方案,通过自主探索、合作研究论证数学结论”[5]．这与“扶放有度”教学模式四个阶段不谋而合．因此“扶放有度”教学模式为设计有效的数学探究活动勾勒出一条现实途径,使学生不仅有知识的学习和技能的使用,更有问题的解决和思维的迁移,推进学习者主动参与学习,培养学生的自主学习能力．但“扶放有度”教学模式的价值不止于此,它可以是差异化教学法进行因材施教的具体方法,它还与理解为先教学设计(UbD)中的第三步设计相关教学活动相一致,因此先扶后放、扶放有度的有序教学的前景是广阔的．