始于教材 显于本质 彰显素养——一道二次函数综合题的命制与思考

徐国红

(江苏省苏州市吴中区木渎实验中学 215101)

近期,笔者参加了区级中考数学模拟试卷的命题工作,命制了一道二次函数综合题,该题位于全卷第26题,属于二次函数压轴题．试题的命制细目表要求该题以二次函数为背景,依据《义务教育数学课程标准(2022年版)》的要求,所考查的核心知识、数学思想方法、关键能力等方面要与往年同类型题保持基本一致．以下是笔者的命题过程及思考．

1 命题分析

二次函数综合题是初中数学考查的核心题型．分析笔者所处大市近五年考试卷中的二次函数综合题,发现它们具有如下主要特征:(1)都能从教材中寻获其本源或出处,命题者通过对教材中的素材进行适当的拓展及延伸,改变了原有的呈现形式,实现了命制试题的推陈出新;(2)试题的命制主要以二次函数为背景,以基本的几何图形为载体,借助函数、方程及图形性质与运动的基本规律,探索和发现二次函数的本质属性,实现代数与几何知识的融会贯通;(3)都很好地渗透了抽象能力、运算能力、几何直观、推理能力等数学核心素养．

基于以上分析,笔者对命制试题做如下定位:首先,遴选教材中二次函数相关内容为基本命题素材,利用二次函数与坐标轴交点及其本身存在的特殊点构造基本几何图形,探究二次函数与其衍生出来的几何图形中蕴含的相关元素之间的关系;其次,对所选素材进行深入分析和挖掘,获取素材本质特征与几何图形之间的相互联系,并以此设问,力求所设问题之间在外显上相对独立,但在问题核心内涵上又紧密相关、层层递进,着重体现数学学科的本质,揭示数学知识的发展过程,提升学生的数学关键能力;最后,试题的命制须落实核心知识、重要的数学思想和方法,考查关键能力,发展数学核心素养．

2 命题过程

2.1 素材来源与分析

命题素材的选取是试题命制的关键,在熟悉的问题情境下设计试题,能多角度考查学生解决问题的能力,实现命题者的命制意图．笔者翻阅教材注意到:苏科版教材九年级下册第5章“二次函数”第四课时的“思考与探索”[1]中有这样一段素材:

如图1,二次函数y=x2―2x―3的图象与x轴的交点坐标分别是M(3,0),N(―1,0)．由此可知,当x=3时,y=0,即x2―2x―3=0．也就是说,x=3是一元二次方程x2―2x―3=0的一个根．同样,x=―1是x2―2x―3=0的另一个根．

图1

这段素材描述了二次函数与相应的一元二次方程的关系．借助二次函数图象可以揭示相应的一元二次方程解的几何意义．观察图象,我们容易得到该二次函数与y轴的交点G的坐标．如图2,连接MG,NG,可以发现:△OMG是等腰直角三角形,△ONG中两个锐角∠NGO与∠ONG的角度为定值．将上述两个三角形按照命题需要进行平移、翻折或旋转,能与坐标轴形成多种不同位置的组合,并产生相对应的不同的二次函数．若以上述发现的结论作为命制试题的切入口,可抵近学生最近发展区,实现试题设计熟而不俗．初稿酝酿成形．

2.2 挖掘素材内涵,锚定命题方向,形成初稿

如图3,抛物线y=x2+4ax+3a(a是常数且a>0)与x轴交于A,B两点(点A位于点B右侧),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,且点D的纵坐标为-1,连接AC,BC,CD．

图3

(1)求该抛物线的表达式及点D坐标;

(2)若点P为抛物线上的点,连接CP,当∠BCD=∠PCB时,求点P的坐标;

(3)若在x轴上存在一动点Q,且动点Q的横坐标为m,当∠QCB<∠ACO时,直接写出m的取值范围．

图4

初稿突破了所选素材的外在形式,在坚持保留素材数学内核的基础上将原素材中的等腰直角三角形和已知两锐角的直角三角形平移和翻折,创设了新的问题情境,生成新的二次函数y=x2+4x+3,新函数继承了素材中二次函数的基本数学特征,在引入顶点后,顶点与二次函数和坐标轴的交点构成∠BCD,通过计算发现∠BCD为一定角,这就为研究角之间的大小及位置关系提供了思考和探索的空间．试题以简单的求二次函数的解析式及顶点坐标作为思维的发端,逐步引导学生自主构建相关的几何图形,并探究其中相关图形之间或图形与函数之间的关系,重点考查了二次函数的相关性质、结论及基本几何图形的重要性质．初稿的设计从教学实际出发,结合学生的数学学习经验和心理认知特征创设问题情境,设计体现不同思维层次的问题,触发学生的数学思考,立意清晰明确．

本稿试题存在的主要问题:首先,第(1)问在设计时意图通过求二次函数的解析式及点D的坐标,引导学生自主建构问题解决所需的几何图形．但实际解题过程中,利用点D的纵坐标求a的值的计算较复杂,无法保证得分率．其次,第(2)问的解法不唯一,既可以通过翻折△CBD构造等腰三角形解决,也可以通过延长DB并截取DB的等长线段构建线段的垂直平分线,抑或构建“一线三等角”等方法解决,但此设问都是围绕点B,C,D所组成的三角形或其中的角来展开命制思路,没有和二次函数与坐标轴交点所组成的其他几何图形(如△ACO等图形)形成广泛联系,二次函数应有的价值没有充分被挖掘．最后,第(3)问虽然引入了x轴上的动点Q,但学生通过直观想象及简单操作容易得知:动点Q只要在CP与x轴的交点及CD与x轴的交点之间运动即满足题意．该设问在思维能力要求上相较第(2)题没有明显的提升,不能引发学生对试题数学本质的进一步探索和思考,问题的价值大打折扣．

其实,在编制初稿的过程中我们已经发现:∠BCD=∠OCA且tan ∠CAO=3．如果确立以△OCA中的两个锐角为命题主线,从命题的视角及立意方面重新设计,命制的试题在问题情境的创设上和设问之间的内涵联系上将大为改观．至此定稿形成．

2.3 重塑问题情境,明确命题主线,终成定稿

如图3,抛物线y=x2+4ax+3a(其中a是常数)与x轴交于A,B两点(点A位于点B右侧),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,且点A的坐标为(-1,0),连接AC,BC,CD．

(1)求该抛物线的表达式及点D坐标;

(2)若点P为抛物线上的点,连接CP,当∠ACO=∠PCB时,求点P的坐标;

(3)若在x轴上总存在一动点Q,且动点Q的横坐标为m(m>-3),当∠ACO<∠QCB<∠CAO时,请直接写出m的取值范围．

图5

定稿中已知点A的坐标,学生运用待定系数法可直接求出a的值,摆脱了初稿中较为复杂的运算,激发了学生继续探究解决问题的积极性,保证了本题的得分率．与此同时,利用所给条件求点D的坐标,激活学生已有的解题经验,引导学生继续探究二次函数与坐标轴的其他交点坐标,为进一步利用点坐标构造基本几何图形并探索发现其中存在的一般性质和结论做好铺垫．本稿以△AOC中可求锐角∠ACO,∠CAO作为第(2)、(3)问的核心知识点和主线,容易让学生在分析、解决问题时及时联想起课堂教学中对函数背景下已知三个顶点坐标所围成的三角形的一般研究方法和解题策略,在贴近学生的认知水平的同时,发挥试题对于课堂教学的正确导向功能．在发现和转化∠ACO,∠CAO的过程中,激励学生去积极探索、发现整个问题中由已知点和可求点所围成的三角形的内角中是否存在类似的定角,以此打开解题思路．由于学生已在第(2)问中获得转化∠ACO的相关经验,类比转化∠ACO,学生能自然发现可以通过转化已知角或者构造角等于已知角来寻找满足题意的条件,进而发现,若要实现∠ACO<∠QCB<∠CAO,只需转化为∠BCD<∠QCB<∠BCG时动点Q的运动轨迹即可．

本题是对教材中相关素材进行综合分析运用后命制的二次函数综合题,是教材中相关素材的变形与延续．试题的设计立意指向明确,主线清晰,为不同层次的学生提供了展示相应能力的平台,体现了命题过程中的人文关怀和温度．命题过程中充分挖掘二次函数中的特殊点和与坐标轴的交点所构成的几何图形中的定角,利用精心编制的具有启发性的设问引导学生逐步自主构建几何图形,并将图形进行翻折等运动,将已知角进行类比、转化,以“数”导“形”,以“形”助“数”,数形结合,内涵丰富．在探索和思考问题的过程中,要求学生具有较强的构造基本几何图形、整合条件、图形分解的能力,而在解题过程中,解法呈现多样性、灵活性及一般性,充分考查学生综合运用数学学科知识并发现问题、分析问题和解决问题的能力,充分发展了学生的抽象能力、几何直观、计算能力、推理能力、应用意识等初中数学核心素养．

3 命题思考

3.1 始于教材,注重挖掘教材潜在功能

数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、知识结构和基本线索,是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源[2]．教材是落实新课标的主要载体,是教师教学和学生学习的重要依据．以本题的命制素材来看,它不但真实来源于教材,且为教材中师生易于忽视的部分．这段素材处于本节课的引问位置,在教学中常常由学生自学或教师简单介绍一带而过,甚少对其进行深层次的剖析,未探明其内含的数学本质,白白错失了让素材内在的数学规律和本质展现在学生面前的契机,浪费了提升学生思维能力的良机．教学实践中,不仅要牢牢把握住教材中的基本知识,更要不断挖掘和利用教材例题、习题及相关素材潜在的功能,重视教材、研究教材,最后回归教材,才能实现“纲举目张”．教材是命题者的“源头活水”,教师只有积极带领学生“追本溯源”,将教材中素材的“源”弄清楚,才能引来学生思维之“流”的滚滚而来．

3.2 显于本质,重视发展思维品质

从试题命制的角度来看,学生需要经历比较完整的思维探索过程,具体表现为“点坐标↔线段长度或线段间关系↔几何图形中相关元素间关系”,这其中除了重点考查“四基”外,还着重考查了其中所蕴含的数学原理,需要学生理解相关的数学本质．从试题解决角度来看,学生对数学思想方法的自觉运用异常重要．数学思想方法是数学知识学习中极为重要的组成部分,史宁中教授曾指出:“数学思想是数学产生与发展所依赖的思想,是学习数学以后具有的思维能力．”因此,在教学过程中,教师既要积极探索、落实课堂中的“双线”教学,即知识线与思想方法线并举,又要积极引导学生体会教材中所呈现出来的数学思想、方法,重视培养学生在数学学习中提炼数学思想的习惯,注重学生运用数学思想方法及“一般观念”解决问题的意识的养成,促进学生在数学活动中积累活动经验,逐步掌握解决问题的基本思路和基本逻辑,让学生通过理解和掌握问题之间的联系及问题背后所考查的数学原理,积极探求数学本质,提升数学学科学习能力,发展思维品质．

3.3 重在能力,发展数学核心素养

本题围绕二次函数及其衍生出来的几何图形这一主干知识,重点对学生的学习过程和学习方法进行考查,突出了素养导向．在试题的解决过程中,由二次函数中已知点和特殊点,自然建构基本几何图形,注重考查了学生的几何直观;利用已经构造好的图形中所蕴含的已知线段,联想到确定图形中的角度,从而获得相等的角,突出考查了学生的逻辑推理能力;通过将图形翻折获得一般情形下的等角,呈现了从特殊到一般的自然过渡,重点考查了学生的计算能力;借助二次函数的图形及几何图形,引导学生从图形运动的角度分析获得动点运动的轨迹,让学生从直观感受迈向理性认识,数形结合,着重考查了学生的抽象能力．教学中,教师不但要引导学生体会试题等素材中所内含的数学理念,关注数学知识间的相互融合、知识结构的梳理,促进其结构化、系统化,条理化,更要重视学生参与数学学习过程的完整性,帮助学生形成理性的数学思维,提升逻辑推理能力、数学阅读能力以及综合运用数学知识分析并解决问题的能力,真正做到学会知识、看透本质、感悟思想方法,进而主动运用数学的思维解决问题,全面发展数学核心素养．