高中数学教师编题方法与技巧探析

陈鑫城

(广东省普宁市华侨中学 515300)

作为高中数学教师,要想提高教学质量、激发学生的学习兴趣,有很大部分取决于题目是否吸引学生,是否能满足学生当下的学习需求．而编写高质量的数学题目是解决该问题的重要方法．编写题目并不是专家的独有技能,普通教师也能通过不断的学习、思考和实践,找到适用的编题方法．本文将探讨高中数学教师如何利用联想思维、解题与编题的结合、阅读素材的积累与运用等方法,编写出具有挑战性和创新性的数学题目．

1 联想思维的运用

数学题目不仅仅是单纯的数学算式和公式的应用,更重要的是它所蕴含的数学思维方式和对逻辑推理能力的训练．编写数学题目的过程需要教师具备丰富的联想思维能力,通过灵活应用不同的数学知识和技能,对题目进行多层面的改编、重构和完善,以达到创造富有挑战性和启发性的数学题目的目的．教师要时刻保持敏锐的观察能力和辩证思维能力,深入探究题目所蕴含的内在规律和特点,拓展思考的广度和深度,不断挖掘题目的潜在价值和解题思路．同时,在编写数学题目的过程中,教师还需注重拓展题目的解题方法,以便让学生从不同角度去思考,提高应用和分析能力,培养他们的创新思维和解决问题的能力．只有这样,才能让学生在学习和探索过程中形成有效的数学思维方式和解题方法,为他们未来的学习和生活奠定坚实的数学基础．

下面以2022年全国Ⅰ卷圆的公切线问题为例,来讲述联想思维的运用．

例1(2022年全国Ⅰ卷)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程．

图1

点评方法1主要应用方程思想,利用点到直线的距离公式,建立方程组,然后解方程求出与两圆相切的切线方程,思路比较简单,教师在讲授过程中可以在解方程组上下功夫,引导学生有效、准确地求出方程的解．方法2主要通过数形结合的方式明确三条切线的位置,然后利用点到直线的距离公式求出圆与圆的切线方程．

在熟练掌握例题的两种解法的基础上,教师在编题时可运用联想思维进行如下思考:

思考1 例题中直接给出两个圆的标准方程,求圆与圆的公切线,能否将圆的方程一般化,并在圆的方程上设计参数,先进行参数的求解,再依据例题的方法求圆与圆的公切线?依据此联想,设计如下变式题:

变式题1 已知圆C1:x2+y2-6x+2ay+ 10=0关于直线x+y=0对称,圆C2:x2+y2=2,请写出一条与圆C1,C2都相切的直线方程．(写一条即可)

思考2 例题以圆与圆为载体求切线,能否更换载体?依据此联想,设计如下变式题:

变式题2 写出一条与圆x2+y2=1和曲线y=x2+5都相切的直线的方程．

总之,教师在编写题目前,要具备联想思维,要具有敢想、灵活、适度、趣味等元素,这样才能够编出富有启发性和创造力的各类题目．

2 解题与编题的结合

解题与编题的结合是数学教学中非常重要的一环．解题是提高编题能力的基础,因为只有通过大量的解题实践,才能了解题目背后的数学原理、规律和方法,这对于编写出高质量的数学题目非常重要．在解题的过程中,教师应该注重题目的设计意图,理解问题背后的目的和要求,通过灵活的思维和方法解决问题．同时,教师还应该掌握变换题目的方法,并将这些变换灵活运用到自己的编题中,从而设计出更多样化的、富有挑战性的数学题目．除此之外,教师在解题的过程中还需要注意培养自己的解题习惯,通过接触课本例题、习题、教辅题、竞赛题等多种类型的题目积累经验,并不断提高自己的解题水平．这些经验和素材将为教师编写高质量的数学题目提供丰富的资源和创意．因此,教师在日常的教学工作中应该不断注重解题与编题的结合,提高自己的教学质量和水平．

2.1 注意由浅入深

下面以数列求和为例,从解题实践和编题实践两个方面来讲述如何进行解题与编题的结合．

例2已知等差数列{an},其中a1=2,公差d=3,求该数列前10项和S10．

本题主要考查等差数列的前n项和公式,题目相对简单.对于难度,编题时教师可以遵循由浅入深的原则,让基础较差的学生“吃得饱”,在此基础上,教师可设计以下变式题:

变式题1 已知等差数列{an},其中a1=2,公差d=3,求该数列中所有小于40的项的和．

改编方向 将题目由求有限项的和转变为求不等式限定项的和．

改编意图增加题目的挑战性,让学生学会应用等差数列求和公式与不等式相结合的解题方法．

改编方向 通过构造新数列,引入分式内容,通过裂项相消法进行求和．

改编意图拓展学生的解题思路,锻炼数列变换和裂项相消法求和的技巧．

变式题3 已知等差数列{an}和等比数列{bn},其中a1=2,公差d=3,b1=1,公比q=2,设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn．

改编方向 引入等比数列,构造混合数列求和问题．

改编意图丰富题目的内涵,提高题目的难度,使学生学会分析和解决综合性问题．

通过多角度、多层次的编题,教师可以有效地培养学生的解题能力,以便应对各种考试和实际问题．

2.2 注意直击重点

圆锥曲线解答题一般分为两问.第一问多是求圆锥曲线的方程,这一问大部分学生能够顺利解决,而第二问能解答的却寥寥无几.教师在进行圆锥曲线第二问重点突破的时候,不妨对圆锥曲线的题目进行如下改编:

(1)求E的方程;

我们的目的主要是对圆锥曲线问题第二问进行讲解,花费时间让学生求圆锥曲线方程显得有点多余,所以教师讲解圆锥曲线的大题时不妨对题目进行改编,直接给出圆锥曲线的方程,一方面让学生可以明确解题的重点,另一方面也可以避免部分学生产生畏难情绪,对于难的大题就只做第一问．

2.3 注意变换结构

同构法是高中数学解题方法中的一个难点,它主要的一个用途在于解决导数的恒成立问题.但是学生由于对这种方法不熟悉,往往会感到惧怕,教师在编题时可以通过变换结构,适当降低难度．下面以一道导数恒成立问题为例:

例4已知函数f(x)=axe-x-x+lnx,若f(x)≤1恒成立,则a的取值范围为．

改编题已知函数f(x)=axe-x-x+lnx,若f(x)≤1恒成立,则a的取值范围为．

通过变换结构,在题目中展示了部分解答,一方面有助于学生了解同构法,另一方面也降低了题目的难度,有利于提高学生的解题兴趣．

3 阅读素材的积累与运用

广泛阅读不仅能够培养教师的学识和素质,还能为教师编写题目提供丰富的素材．首先,教师应该建立一个系统化的阅读素材库．这个库可以包括各种数学教材、期刊、报纸、网络资源等．教师需要对素材进行分类整理,比如按难度、题目类型等进行分类．通过建立阅读素材库,教师可以快速地找到自己需要的素材,提高编题的效率．

其次,教师应注重创新．阅读素材并不意味着直接照搬照抄,教师还需要思考和改编,让题目赋有创意并贴近生活．例如,教师可以将数学和其他学科结合起来,创造出新颖的跨学科题目,或者将历史、文化等元素融入到数学教学中,激发学生的兴趣和想象力．

另外,教师还应该注重实际应用．数学教学并不应该离开现实,教师应注重将数学与实际问题相结合,让学生了解数学在现实生活中的应用和意义．对于教师来说,也应该从实际生活中吸取素材,让学生更好地理解和应用数学知识．教师应主动去思考,发散自己的思维,尝试将我们遇到的社会热点改编成一道道数学题．

例如,“中国互联网络信息中心发布的《第51次中国互联网络发展状况统计报告》显示,截至2022年12月,我国网络视频(含短视频)用户规模达到10.31亿．其中,短视频用户规模为10.12亿,较2021年12月增长7 770万,占网民整体的94.8%．其中,使用过短视频的青少年群体占比65.6%,活跃用户达20%．因此,在移动互联网时代,青少年群体已成为短视频使用的重要用户群体．”

编题流程 首先从新闻中抽取关键词“青少年”“短视频”,其次选择考查内容,这里选择概率,然后发散思维,翻阅素材库,结合素材,编题如下:

原创题在移动互联网时代,青少年群体已成为短视频使用的重要用户群体．某大学进行了一项调查,其中20%的受访青少年表示每日使用短视频超过3 h．若该大学随机抽取3名受访青少年,则至少有1人每日使用短视频超过3 h的概率为．

编题是一件很有趣的事情,可以让教师在教学过程中不断地完善自己的知识体系,改进教学技巧．编题不仅可以培养教师的想象力和创造力,还能够让教师更深入地了解学生的学习情况,帮助他们提高自己的数学能力和思维能力[1]．

4 结论

高中数学教师增强自己的编题能力不仅有利于提高教学质量,而且也是其提升自身教学能力的必要手段．在编题的过程中,教师需要根据学生的实际情况选择适合的题目类型和难度,让学生既能够在题目中巩固知识,又能够感受到数学的乐趣．同时,教师还需要注重题目的设计,让学生在解题过程中体验到挑战和成就感．此外,编题还可以促进教师之间的交流和学习．当教师在编题的过程中遇到问题时,可以和其他教师进行交流和讨论,共同解决问题,进一步提高编题的质量．

总之,教师在编题过程中应该积极投入其中,不要害怕困难．只要教师用心去编写,深入了解学生的学习情况,结合自己的经验和创意,一定能够创造出具有挑战性和创新性的数学题目,彰显教师的专业素养和魅力．