探模型 悟本质 提素养——以“SSA”模型的探究与应用为例

程如朋

(浙江省舟山绿城育华学校 316022)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称“《新课标》”)在初中阶段的核心素养表现中提到了模型观念,并要求学生初步感知数学建模的基本过程,在图形与几何的教学提示中建议要借助图形分析问题,形成解决问题的思路,发展模型观念,会用数学的语言表达现实世界[1]．这体现了模型观念的渗透不应当只重视结果,也应当关注过程.然而,现如今教师在教学中更偏重于直接利用模型解题.诚然,数学模型具有简约性与概括性[2],借助模型能提升学生快速解题的能力,但忽视了模型建立的过程,缺乏模型探究的经历,学生的思维将难以发展,素养将难以提升．基于此,笔者认为,模型教学也是数学教学的一个重要组成部分,也应当体现数学思维、数学能力、数学素养的发展与提升．因此,模型教学应当是“探究+应用”的有机融合,唯有亲历模型探究的全过程,学生才能悟出模型本质,提炼模型特征,从而自然生成解法．基于上述观点,笔者在中考二轮复习阶段,设计了一节“SSA”模型探究课．现以此为例谈谈模型探究的路径,并对“SSA”图形的问题解决提供通法指导．

1 模型探究

1.1 几何作图,引出模型

问题1如图1,已知线段a,b,∠α,求作△ABC,使得AB=a,BC=b,∠A=α．

图1

此题通过回顾“SSA”型作图,开门见山,引出探究的核心．如图2所示,学生首先作出∠A与AB,然后以B为圆心、b为半径作圆,发现与AD相交于两点(点C1与C2),因此他们发现这样的三角形能作出2个(△ABC1与△ABC2),从而自然地感悟到“SSA”不能判定三角形全等．

追问既然SSA作出的两个三角形是不全等的,那么这两个三角形有没有其他联系呢?

教学说明突破全等的限制思考关联,使学生在认知冲突中激发探究欲望,促进深度思考,同时引出本课研究的模型,即SSA条件下的两个非全等三角形．在作图探究中让学生主动生成基本模型,解决了模型从哪来的问题,从而让模型的研究、思维的提升不再是无源之水．

1.2 寻找关联,生成模型

问题2如图2所示,若AB=4,∠A=30°,BC1=BC2=3,求AC1和AC2的长．

图3

在问题2的计算中,AC1可以表示成AE-EC1,AC2可以表示成AE+EC2,那么从“形”的角度来看,Rt△AEB剪去或补上一个直角三角形即可产生△AC1B和△AC2B,据此,学生可从“形”的角度感悟“SSA”型图形的关联．基于此,再次深入探究,如果将满足条件的两个三角形分离开来,那么还可以得到哪些结论呢?

问题3如图4,若在两个非全等△ABC与△DEF中,当AB=DE,BC=EF,∠A=∠D时,请用等式表示∠C与∠F之间的数量关系．

基于问题2的探讨,对比图3与图4,学生会迅速发现∠C+∠F=180°．再结合图3辅助线的构造方法,学生能想到过点B作BG⊥AC,过点E作EH⊥DF,因为AB=DE,∠A=∠D,∠G=∠DHE=90°,所以△ABG≌△DEH,故BG=HE,而BC=EF,则Rt△BCG≌Rt△EFH,从而∠F=∠GCB,所以∠F+∠ACB=∠GCB+∠ACB=180°,猜想成立．通过此问题的解决进一步加深了学生从“形”的本质感悟“SSA”型图形的关联．

对命题的充分性与必要性的辩证思考是数学探究的重要组成部分．因此,进一步地,笔者将条件与结论互换,引导学生思考命题是否成立．

问题4如图4,若在两个非全等△ABC与△DEF中存在四个关系,分别是①AB=DE;②BC=EF;③∠A=∠D;④∠ACB+∠F=180°．思考将其中任意三个关系作为条件,剩下一个关系作为结论的命题是否成立,并说明理由．

解分析可得,共有四种情况:①②③→④,①②④→③,①③④→②,②③④→①．显然①②③→④即为问题3,现证明①②④→③．因为∠F+∠ACB=180°,∠GCB+∠ACB=180°,所以∠F=∠GCB,因为∠G=∠FHE=90°,BC=EF,则△BCG≌△EFH,故BG=HE,而AB=DE,则Rt△ABG≌Rt△DEH,所以∠A=∠D,故①②④→③命题成立．同理,在①③④→②与②③④→①两个命题中,均可通过证明△BCG≌△EFH与△ABG≌△DEH说明命题成立．因此上述所有命题均成立．

据此,笔者引导学生关注上述四个条件中边与角的联系,从而归纳产生模型1．

模型1在两个非全等三角形中,存在四个关系(两边对应相等、一边所对的角相等、另一边所对的角互补),若其中有任意三个关系成立,则剩余的一个关系也成立．

教学说明本环节的研究承接问题1,在“计算—抽离—探究—辨析—归纳”的过程中生成了模型,经历了从特殊到一般、从孤立到关联、从直观到抽象、从表象到本质的模型探究过程,实现了“SSA”图形关系的横向延伸．从问题2开始,渗透“SSA”型图形中“形”的本质,自然生长基本辅助线,并在问题3及问题4的解决过程中,贯穿本质与方法,使得模型探究的过程成为了数学本质的挖掘之路,促使学生产生深度思考,发展数学思维．

1.3 弱化条件,延伸模型

全等是相似的特例,而弱化条件能使全等走向相似,使得结论更为一般．因此,笔者引导学生去掉边的关系,仅保留角的条件,探究此时这些角所对边存在的关系．

问题5如图5,若在△ABC与△DEF中,当∠A=∠D,∠ACB+∠F=180°时,请用等式表示线段AB,BC,DE,EF之间的数量关系．

图5

此时,有学生主动提出,若在问题5的三个关系中,满足另外两个关系成立,那么第三个关系也成立吗?显然,这位学生已领悟了模型探究的路径,充满了探究的欲望,因此,笔者保护学生的思考,顺势而为,产生问题6．

据此,类比于模型1,归纳模型2如下:

模型2在两个三角形中,存在三个关系(一角相等、一角互补、两角所对的边对应成比例),若其中有任意两个关系成立,则剩余的一个关系也成立．

教学说明弱化条件,结合类比学习,从全等到相似,保持方法连贯,使模型更为一般化,适用性更广,应用性更强,实现了“SSA”图形关系的纵向拓展．承接模型1的探究思路,自然生成模型2的结构特征,进一步巩固“探究—辨析—归纳”的模型探究思路,拓展学生思维的广度与深度,发展模型观念．

1.4 总结模型,形成通法

问题7你掌握了哪些模型,这些模型有何结构特征呢?

引导学生回顾模型1与模型2,梳理模型结构,生成解题方法,最终形成板书如表1．

表1

问题8回顾模型建构的过程,你知道如何构建模型了吗?

与学生一起回顾模型建构的过程,归纳模型的探究路径,形成各阶段的功能(图6)．

教学说明在总结中帮助学生形成归纳反思的能力,梳理模型的结构特征,领悟模型的本质内涵,为后续应用模型提供通式通法．在思维的发展中进一步聚焦思维,关注模型产生的路径,学会如何建构模型．

建构模型的过程有助于学生明晰模型本质,形成解题思路,生成解题方法．但如何发现模型,应用模型、深化模型仍需在解题中才能实现．

2 教学思考

2.1 强化建模历程,培养探究意识

几何模型能有效地帮助学生在复杂的几何问题中锁定基本图形,应用模型结论,实现快速解题．长久以来,教师一直非常重视几何模型在解题中的应用,却忽视了建模历程中的育人价值．因此笔者有意以“模型背景—挖掘结构—辨析结构—归纳模型—推广模型”为路径设计模型探究历程,帮助学生实现从“学知识”到“会研究”．通过设计问题串,让学生在“作图—计算—研究—辨析—归纳”的建模历程中感受模型的产生与发展,逐渐明晰模型的本质,从而自然生成解法．在整个模型探究中,教师将探究方法可视化,使得学生的探究欲望被激发、探究意识被培养、探究能力被塑造．长此以往,学生将更能感悟到数学之美,激发数学学习的兴趣与求知欲,最终形成勇于探索的理性精神．

2.2 强化反思总结,形成通式通法

《新课标》强调在中考命题中要关注数学的本质,关注通性通法[1]．这就要求教师在平时教学中要注重反思总结,积累通式通法,其中可包含研究路径的一般化与解题思路的步骤化．如本课例在模型探究结束之后,教师引导学生反思如何研究模型,从而总结研究模型的路径,为模型探究提供了通法引领．当学生探究出模型1与模型2后,教师引导学生反思模型结构并整理成表,从而深化了模型特征,为后续解题提供了通法引领．事实上,凝练概括通式通法的过程其实就是揭示数学本质的过程,唯有领悟数学本质,才能真正提升举一反三,拓展迁移的能力．

2.3 强化思维训练,提升核心素养

著名数学教育家斯托利亚尔指出:“数学教学是数学活动思维活动的教学,而不仅是数学活动的结果——数学知识的教学．”[3]可见,任何数学课堂都应当是以知识为载体,渗透数学思想、揭示数学本质、生长数学方法,从而强化思维能力、提升核心素养．本课以“问题引导,思维引领”的方式在探究SSA模型中渗透了转化化归思想、方程思想,强化了数学语言的三种表达(文字语言、符号语言、图形语言),揭示了SSA图形在“形”中的本质结构特征,自然生长SSA图形的思考路径与解题方法．让学生在几何作图引出模型中激活思维,在挖掘结构感悟本质中生长思维,在辨析结构生成模型中灵活思维,在反思总结归纳模型中凝练思维,在类比探究模型延伸中创新思维,进而提升学生的模型观念、几何直观与推理能力,逐步实现“三会”．

总之,数学模型教学更多地应当关注思考问题的方式、问题解决的策略、图形研究的方法、模型本质的挖掘,让模型的探究与建立成为一项提升学生思维能力、发展核心素养的数学活动．