基于任务驱动 培育推理素养——以2023年南京市八年级第二学期期末数学试卷第26题为例*

王华中

(江苏省南京市南京外国语学校仙林分校溧水学校 211200)

焦志敏

(江苏省南京市金陵中学溧水分校 211200)

1 原题呈现

2023年,南京市八年级下册联合体期末调研试卷中有这样一道几何探究题:如图1,将四边形ABCD绕点A旋转,使得点B的对应点B′恰好落在射线BD上,旋转后的四边形为AB′C′D′,连接BC′交AD于点E．

图1

(1)如图1,设四边形ABCD为正方形,则下列关于四边形ABDC′的形状的结论:

①平行四边形;②矩形;③菱形．其中正确结论的序号是．

(2)如图2,设四边形ABCD为矩形．

①求证AE=DE;

②若AB=6,BC=8,B′C′交AD于点F,则EF的长为;

(3)如图3,若BC′与AD互相平分,求证AB∥CD．

2 学情分析

最终统计数据显示,本题得分率不到0.23．满分10分,其中第一问2分是送分题,也就是说后面两问平均得分不到0.3分.之所以后两问得分率低,笔者认为主要有以下几个方面的原因:

一是后面两问综合了旋转、等腰三角形、平行四边形的判定和性质、勾股定理等相关知识,综合性较强,确实有较大难度,学生分析问题和解决问题能力不够;二是在有限的时间内,学生没有把这三个问题贯通,从而不能抓住问题的本质;三是第一问过于特殊化、简单化,未能很好地启迪后两问的解法．在考完后与学生的交流中发现,学生的错误解法主要是受第一问的影响,集中在证明C′,D,C三点共线,从而导致问题不能解决．

在试卷评讲中如何评讲这一题?如果就题论题,仅仅分析这三个问题的答案,而不能从图形本质上将这几个问题融汇贯通,那么这样的讲评课无疑是失败的,学生也仅仅是知其然而不知其所以然．带着这样的想法,笔者设计了本题的解题教学,现将本节课的教学主要环节及相关分析呈现如下．

3 教学目标

(1)知道并会运用旋转、等腰三角形的性质解决问题;

(2)能熟练运用平行四边形的性质、判定方法和勾股定理解决问题;

(3)经历“一般—特殊—一般”的过程,通过“观察、猜想、验证、归纳”掌握图形变化的本质属性,提升分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理素养．

4 教学过程

任务1:一般化——突出旋转

如图4,将四边形ABCD绕点A旋转,使得点B的对应点B′恰好落在射线BD上,旋转后的四边形为AB′C′D′.

图4

问题1 你能从图形中得到哪些正确结论?

预设:根据图形旋转的性质,学生能得到∠BAB′=∠DAD′,AB=AB′及∠ABB′=∠AB′B等相关结论.

教学说明复习旋转、等腰三角形等相关知识,抓住图形旋转的本质属性,为后面的探究奠定基础,积累经验．

任务2:特殊化1——撩开面纱

问题2 如图5,若四边形ABCD为矩形,其余条件不变,连接AC′,DC′.你又能从图形中得到哪些正确结论?

图5

预设:根据问题1的经验,学生能得到AB=AB′,∠ABB′=∠AB′B等相关结论．如果有学生直接提出了四边形ABDC′是平行四边形,则可直接提出追问2．

追问1BD与AC′有何数量关系?

预设:连接AC,由矩形的性质得BD=AC,由旋转的性质得AC=AC′,从而得到BD与AC′相等．本问题的设计主要是基于学生的学情降低探究难度,积累活动经验,为后面证明平行四边形提供思路和方向．

追问2 求证:四边形ABDC′是平行四边形.

预设:经过问题导引,层层深入,学生已经知道BD=AC′,教师引导学生想到只须证明BD与AC′平行即可．根据旋转的性质,得AB=AB′,从而得∠ABB′=∠AB′B．由矩形的性质,可得∠CAB=∠ABB′,再由旋转的性质,可得∠CAB=∠C′AB′．由上述三组等式,可推导出∠AB′B=∠C′AB′,从而得到BD∥AC′．如果有学生提出证明AB与C′D相等,教师不要立即否定其想法,可以让学生说说解决思路,师生共同辨析,从而归纳这种做法的不足之处．

教学说明与原题相比,摒弃了将四边形特殊化为正方形的情况,是因为过度特殊化会将问题过于简单化,方法更加多样化,以致掩盖了问题的本质．将四边形特殊化为矩形,通过问题导引,为平行四边形的证明积累解题经验,同时通过对比前后图形的一般性和特殊性,帮助学生初步感受到四边形ABDC′是平行四边形的关键因素是BD与AC′平行且相等,为后面的探究积累活动经验,指明研究的方向．

任务3:特殊化2——层层深入

问题3 如图6,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,其余条件不变,求证:四边形ABDC′是平行四边形．

图6

预设:学生独立思考,由等腰梯形的性质想到连接AC,可得AC=BD,进而得到BD=AC′,只须证明BD与AC′平行即可．再由旋转和等腰梯形的性质,只需证出∠B′AC′=∠BB′A即可．

教学说明进一步将四边形特殊化为等腰梯形,运用前面的经验解决问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.再次对比前后图形的一般性和特殊性,进一步让学生感受到四边形ABDC′是平行四边形的关键因素是BD与AC′平行且相等,为后面探究图形变化的本质属性指明方向．

任务4:反过来——追本溯源

问题4 如图7,若BC′与AD互相平分,交点为E,求证AB∥CD．

图7

预设:连接AC,由BC′与AD互相平分可得四边形ABDC′是平行四边形．通过旋转的性质,可得BD=AC′=AC,AB=AB′及∠CAB=∠C′AB′．由AB=AB′可得∠ABB′=∠AB′B．由四边形ABDC′是平行四边形可得∠C′AB′=∠AB′B,由三组等式,可推导出∠ABB′=∠CAB,从而得到OA=OB．再由BD=AC可得OC=OD,由∠DOC=∠BOA,从而得到∠BAC=∠DCA,进而得到AB∥CD．

教学说明将题目条件反过来进行研究,思维层次明显更进一步．引导学生初步思考:四边形ABCD满足什么条件时,四边形ABDC′是平行四边形?为后面任务五的探究积累经验、指明方向．

任务5:一般化——拨云见日

问题5 关于四边形ABDC′的形状,你能提出什么值得研究的问题?

预设:通过前面几个任务的解决,学生已经明确了本题的研究思路和方向,可提出如下这一问题.

如图8,在上述变化中,当四边形ABCD满足什么条件时,四边形ABDC′一定是平行四边形?

图8

追问:如何解答这个问题?

预设:连接AC,由旋转的性质得AC=AC′,从而若原四边形ABCD满足条件①BD=AC,则目标四边形ABDC′满足BD=AC′．再由旋转的性质得∠CAC′=∠BAB′,则∠BAC=∠B′AC′;由AB=AB′,则∠ABD=∠AB′B．若原四边形ABCD满足条件②∠BAC=∠DBA,则∠B′AC′=∠AB′B,即目标四边形ABDC′满足BD∥AC′．同时满足上述两个条件,则四边形ABDC′是平行四边形．

教学说明设置开放性问题,让学生提出问题比直接解决问题更能锻炼学生的思维．这不仅是知识的获得,更重要的是研究方法的获得,还有数学能力的增强以及学生对数学的积极情感,这也是数学逻辑推理素养培育的途径之一．

5 教学思考

5.1 任务驱动,探寻问题本质,培育逻辑推理素养

《义务教育数学课程标准(2022年版)》提出:“要关注数学的本质,关注通性通法,综合考查‘四基’‘四能’与核心素养．”[1]数学课程标准提出的新要求,使“通性通法”已经成为当下数学教学中的一个热词．本题的解法中“旋转的性质”即为本道题的“通性”;“两条平行线被第三条线所截,内错角相等,两直线平行”基本模型即为本道题的“通法”．

回顾本节课的教学过程,五个教学任务逐一展开,使得问题探究层层深入,呈现低起点、小坡度、高落点的特征．这样的安排能充分调动学生学习的积极性和主动性,使之进行自主探索和自我建构．

在完成任务的同时,通过师生之间互动学习,培养学生的创新意识、创新能力以及自主学习的习惯,在探寻问题本质的同时,使学生学会如何去发现问题、思考问题,找到解决问题的通性通法．这有助于学生逐步养成重论据、合乎逻辑的思维习惯,形成实事求是的科学态度与理性精神,有助于学生逻辑推理素养的培育．

5.2 变式教学,通过问题导引,教会学生解题

变式探究模式是指在解答问题之后,引导学生对问题进行变式得到新问题,再探讨解答新问题的教学方式．这种模式的核心是一题多变,“变”需要对问题进行数学抽象,同时需要对变化的问题作出判断,考察条件变化之后是否能够得到一些新的结论,能否通过特殊结果推断一般结论;进而理解命题的结构与联系,探索并表述论证过程;感悟数学的严谨性,初步形成逻辑表达与交流的习惯．

本道题从“一般四边形”的旋转性质出发,将“一般四边形”特殊化为矩形和等腰梯形后,发现旋转后产生的新四边形ABDC′都是平行四边形,于是联想到原四边形ABCD和新四边形ABDC′有一定联系．通过五个任务层层深入,利用变式教学,实现一题一课,不仅授学生以“鱼”,更授学生以“渔”,以期让学生达到“鱼渔双收”的目标．

数学教学的核心是培养学生的思维,而解题教学对学生思维的形成和优化起着至关重要的作用[2]．在本题的教学中,探索“发现原四边形ABCD满足什么条件时,四边形ABDC′一定是平行四边形”,这是对题目本质的理解,也应该是命题者设计这道题目的真正用意．

因此教学时,教师要立足于整体观,对数学知识、思想和学习方法进行探究,设计出能够体现学习必要性、知识整体性、思维连贯性、思想一致性、方法普适性、逻辑系统性的系列问题探究活动[3]．从最基本的问题开始,让学生经历观察、猜想、推理、归纳的过程．设计问题时,要通过变式教学拾级而上,基于学生的学情,达到“教会学生”的最终目的．