初中数学跨学科项目式学习的教学实践与思考——以“土圭遇数,九畿见学”为例*

周青松

(江苏省苏州工业园区独墅湖学校 215021)

李明树

(江苏省苏州工业园区东沙湖实验中学 215021)

王晓峰

(江苏省苏州工业园区教师发展中心 215021)

1 跨学科项目学习的重要性与必要性

《义务教育数学课程标准(2022)年版》在“课程内容”中提到:以跨学科项目学习开展“综合与实践领域的教学活动,以解决实际问题为重点,以跨学科主题学习为主,以真实问题为载体,适当采取主题活动或项目学习的方式呈现,整合数学与其他学科的知识,完成跨学科实践活动,感悟数学与生活、数学与其他学科的关联,发展学习能力,实践能力和创新意识”[1].跨学科项目学习是指学生对两个或两个以上学科的知识体系和认知方法在理解基础上的整合,从而创造出新的理解的学习过程[2].笔者理解为:数学跨学科项目式学习,是以数学为核心知识载体,融合物理、地理、信息等其他学科知识,解决真实情境或生活中的实际问题的学习活动.土圭是一种古老的测量日影长短的工具,作为跨学科研究项目,以数学核心知识为载体,融合地理、信息学科知识,探寻土圭的数学原理,建立函数模型,动态直观展示影长随太阳高度角正切值的变化规律,创造性地解决问题,建立影长与二十四节气划分的联系,形成公开成果,提升学生跨学科学习能力.

2 项目设计思路

2.1 项目学习背景

通过观察记录土圭正午时影子的长短变化来确定季节的变化,后期根据圭表日影长度确定“二十四节气”,进而思考:土圭的数学原理是什么?影长与二十四节气划分又具有怎样的联系?通过对土圭的探究,进一步感悟时间的意义和度量时间的必要性.

2.2 项目学习目标

(1)通过互联网搜索、文献资料查询、请教老师等,认识土圭,了解土圭的历史文化背景.

(2)融合跨学科知识对土圭的数学原理进行分析,发展直观想象能力,提升从实际情境中抽象成数学问题的能力.

(3)经历土圭数学原理的探究过程,了解影长、物高、太阳高度角的变化关系,建立函数模型、求解模型、应用模型,发展逻辑推理、数学运算能力.

(4)经历制作现代土圭与实践测影的过程,发展实践能力、应用意识和创新能力.

2.3 项目学习结构

本项目以数学作为核心知识载体,以问题作为任务驱动,项目中涉及跨学科知识,数学和地理老师根据任务需要合作完成指导,解决学生在探究过程中遇到的问题与困惑．项目实施分为课内、课外两部分:课内主要是信息收集与整理,融合数学、地理、信息学科知识,探究土圭数学原理,猜想节气划分与影长的关系;课外主要是提出研究问题、设计方案、实践测影、获取数据、验证比对、交流反思等问题,具体过程如图1所示.

图1 项目学习结构图

2.4 项目任务结构

项目式学习坚持以问题为导向,引导学生在真实情境中发现问题、提出问题,在分析和解决问题的过程中,发现并提出新的问题,不断修正完善,以问题来驱动思考.在项目实施中,学生完成原理探究、实践测影、交流反思、设计完善作品、总结提升等学习任务,具体设计如图2所示.

图2 任务结构图

2.5 项目学习过程

本项目学习过程设计如表1所示.

表1 项目式学习过程设计

3 项目的组织实施片段

项目实施的核心任务是任务3“学科融合,探寻土圭之法”,以下是研究过程、课堂展示的实践.

3.1 活动1:平行投影

问题1 什么是平行投影?

问题2 在平行光的照射下,不同物体物高与影长是否成比例?

操作:学生分成不同小组,在不同的时间测量不同学生的身高,利用卷尺测量并记录影长填入表格,如图3所示．

图3 第三组实践测影记录表

总结:实验结果是不同物体物高与影长不成比例．

问题3 影长随时间的变化而变化,在平行光的照射下,同一时间,不同物体的物高与影长是否成比例?

操作:学生分成不同小组,同一时间,测量不同学生的身高,利用卷尺测量并记录影长,填入表格(略)．

总结:实验结果是不同物体物高与影长成比例．

问题4 在平行光的照射下,你能用相似三角形的知识说明不同物体物高与影长成比例吗?

总结:同一时间、同一地点,不同物高与影长成比例．

反思与评价通过实践操作收集实测数据,引发思考,探究影响不同物体物高与影长成比例的因素．经大胆猜测、细心实证得出结论,为学生提供真实思考、质疑、探究、合作、交流的机会．

3.2 活动2:数学建模

将土圭实物抽象成数学模型Rt△ABC,如 图4所示,设AB=h,BC=y,∠ACB=θ,结合所学的知识探究影长的变化情况．

图4

问题5 影长与物高间有何数量关系?

生2:影长y是关于∠ACB正切值的反比例函数．

师:太棒了!

追问:大家说说这里用到了什么知识?

生3:函数知识,锐角三角函数、反比例函数.

问题6 ∠ACB是太阳光线与圭面形成的夹角,如何求解?

生4:会不会是地理学科中的太阳高度角?

师:我们可以求助地理老师．

反思与评价将土圭实物工具抽象成数学模型直角三角形,以数学知识为核心,融合地理学科知识,建立了影长与太阳高度角正切值的函数关系．项目实施过程中,应注重对学生的启发引导,动手操作与动脑思考有机结合,培养学生的数学建模意识和勇于探究的精神．

3.3 活动3:学科融合

项目小组与地理老师交流,得知太阳高度角(地理学术语)是指地球上的某个地点太阳光入射方向和地平面的夹角.从更专业的角度上讲,太阳高度角是指某地太阳光线与通过该地和地心相连的地表切面的夹角,进而∠ACB可以近似看成太阳高度角．

反思与评价融合地理学科知识,解决太阳高度的问题,进一步探究影长与太阳高度角正切值的关系．鼓励学生大胆尝试,勇于创新,提升融合多学科知识解决问题的能力．

3.4 活动4:解决问题

根据上述公式,借助网络画板工具,结合苏州工业园区独墅湖的纬度,便可近似求出在当年正午时刻春分、夏至、秋分、冬至四个特殊节气的近似影长．类比此法也可以近似求出在当年二十四个节气的近似影长,如图5所示.

图5

反思与评价在实践中应用并检验公式,引导学生在真实情境中分析问题、解决问题.借助网络画板工具,动态直观地展示了影长的变化情况,并结合独墅湖的纬度计算出在四个节气的影长,培养学生的逻辑推理能力和运算能力.

3.5 活动5:项目小结

引导学生从知识、方法、工具层面总结项目实施过程中的收获,如图6.

图6

反思与评价学生在项目实施过程中积累了丰富的活动经验,有数学内部的知识基础、数学外部的学科融合,还有实物工具、网络画板工具的辅助,让学生感受到成功的乐趣．教师要引导学生及时总结成功经验,保持一个乐学、愿学、会学的积极状态.

4 项目反思与建议

4.1 基于真实情境,让问题真实存在

跨学科项目主题学习中,基于真实情境提出驱动问题,以问题驱动思考,这是项目式学习的灵魂．土圭实物工具的呈现,引发学生思考:工具如何使用?尤其在了解了土圭历史文化起源后,激起强烈求知欲望.土圭工具包含现实情境、数学情境,很好地激发了学生的好奇心与探究欲望,符合学生的当前认知与心理发展水平,进而引发对数学问题的提出与思考.

4.2 融合跨学科知识,让学习真实体验

数学跨学科项目学习,是以数学为核心知识载体,融合物理、地理、信息等其他学科知识,解决真实情境或生活中的实际问题的学习活动.土圭实物抽象成数学模型直角三角形,用数学的知识和方法建立了锐角三角函数模型、反比例函数模型,在分析求解模型过程中,融入地理学科太阳高度角的知识,发现了影长与太阳高度角正切值之间的反比关系.学生在探究中大胆提出问题,借助网络画板动态直观验证,打破传统数学学习的壁垒,实现了融合地理、信息学科的跨界学习,让学习在合作中真实发生,提升了跨学科学习的素养．

4.3 立足实践设计,让创新真实发生

PBL(项目式学习)是一种为未来而教、系统的教学方法,通过干预和拓展学生探究过程,针对复杂、真实的问题,精心设计产品(作品)和学习任务,让学生从中学习重要的知识和技能,在实践操作中验证学习效果.项目实施中探究了土圭的数学原理,建立了影长与二十四节气之间的联系．结合实践测影长的体验,项目小组对土圭进行改良设计,添加的指南针用于确定方向,电子表用于计时,厘米刻度尺方便直接读取数据．为方便携带和美观,还融入折叠式、黄金分割的理念.重新设计的土圭呈现便捷化、现代化、智能化、艺术化特点,在活动中实现了做中学、用中学、创中学,培养了学生的创新能力和工程思维.

学生经历了选择项目、成立小组、制订计划、研究方案、实施项目、交流总结、评价项目等数学跨学科项目式学习的过程,夯实了“四基”“四能”,提升了学习的主观能动性,打破了学科学习的壁垒,在跨界学科融合中体验学习的乐趣,理解学科知识、融通学科方法、感知学科魅力,有助于获得成就感,爱上数学,爱上学习．