从变式到模式:在结构生成中启迪思维——以“一次函数图象下的三角形面积”教学为例*

张 静

(江苏省苏州高新区实验初级中学 215151)

本节课从一次函数图象与直角坐标系相交而形成的直角三角形(坐标三角形)入手,通过不断变式,归纳出通法,构建模式(模式是对某类事物具有共性表现的描述,是一种特定关系和结构,是指认识、表达、解决一类数学问题的程式化的方法[1]),形成结构,启迪思维．现将教学的基本情况、教材分析、教学过程以及教学反思总结如下．

1 基本情况

1.1 授课对象

学生来自苏州高新区实验初级中学初二年级,基础较好,有一定的自学、概括抽象和推理能力．此课前,学生已经完成《一次函数》整章的学习,能用待定系数法求一次函数的表达式,能在平面直角坐标系中求出简单几何图形的面积．

1.2 教材分析

本节是苏科版教材八年级上册“一次函数”学习后指向问题解决的专题复习课．学习内容是一次函数图象下的三角形面积,是在学习了一次函数概念、图象、性质的基础上,对平面直角坐标系内三角形面积的进一步研究,既是前面所学知识的深化和应用,也为后续研究反比例函数及 二次函数图象下三角形面积奠定基础．通过对基本图形的变式来构建模式,形成问题解决的思维结构．

教学目标 (1)能够利用多种方法求一次函数图象下的三角形面积;(2)通过对一次函数图象下三角形面积的探寻,形成一般方法,积累一般经验;(3)经历从变式到模式的过程,在探寻通法的过程中形成结构,启迪思维,提升数学核心素养．

教学重点 求解一次函数图象下三角形面积的一般方法的探寻．

教学难点 解决问题的模式构建及问题解决的一般方法的归纳．

2 教学过程

2.1 问题导向:基本图形定基调

图1

问题1结合图形,你能得到哪些结论?

生1:可以求出点A坐标为(0,2),点B坐标为(-4,0);由此求得OA=2,OB=4,继而求得△AOB的面积等于4．

师:一次函数图象与两坐标轴相交而形成的三角形,也叫作坐标三角形．在一次函数图象相关的问题中,经常会用到这个基本图形．

设计说明坐标三角形这一基本图形的初现,为后续的学习及后续的变式定下基调．

2.2 初步变式:抽象特征探规律

学习材料2 过点A作直线,与x轴交于点C．

问题2可以形成几个三角形,你会求它们的面积吗?请用具体的点C来说明．

生2:如图2,点C坐标为(2,0),图中共有3个三角形,分别是△AOB,△AOC和△ABC,它们的面积分别是4,2和6．

图2

生3:如图3,点C坐 标为(-1,0),图中共有3个三角形,分别是△AOB,△AOC和△ABC,它们的面积分别是4,1和3．

图3

生4:如图4,点C坐标为(-6,0),图中共有 3个三角形,分别是△AOB,△AOC和△ABC,它们的面积分别是4,6和2．

问题3以上3位同学的解答有什么共同点和不同点?

生5:共同点是图中都有3个三角形,并且字母完全相同;不同点是点C的位置不同,△AOC和△ABC的面积也有变化．

问题4这3个三角形的面积之间有什么样的数量关系?

生6:图2中,点C在原点右侧时,S△ABC=S△AOB+S△AOC;图3中,点C在B点和原点之间时,S△ABC=S△AOB-S△AOC;图4中,点C在B点左侧时,S△ABC=S△AOC-S△AOB．

问题5若点C的坐标是(xC,0),如何用含xC的代数式表示△ABC的面积?

问题6显然,如上是三个不同位置关系下的分类讨论,其结果虽有不同但有关联,能不能找到它们的共同特征,探寻出一般的解法?

问题7对于这个公式,你有什么发现?

生9:这个公式就是解决这个问题的一般方法,并且S△ABC随xC的变化而变化,所以S△ABC是关于xC的函数．

问题8你能针对这个公式提出什么问题?

生10:如果已知xC的值,可以求出唯一的S△ABC的值,就像前面三位同学举的例子(图2～4)那样,将xC的值代入,求代数式的值即可;如果已知S△ABC的值,比如S△ABC的值为1,代入后得到方程|xC+4|=1,解之得xC=-3或-5,故而C有两个位置(-3,0)和(-5,0)．

设计说明在原有坐标的基础上添加了一条线,形成了不同位置关系的分类讨论(由不同位置关系得到不同的数量关系)．再引导学生寻找不同分类的共同特征,进行抽象,归纳出解决此问题的一般方法,探寻出具有普适性的一般规律,为后面的模式构建积累了基本活动经验与思维经验．

2.3 构建模式:问题解决育思维

问题9我们研究问题往往是从简单到复杂,从特殊到一般,从具体到抽象．由此,你想研究什么样的问题?

图5

师追问:你是如何思考的?

生11:PC与y轴平行相当于材料2中的点C在x轴上,可直接用三角形面积公式求解．

师评价:非常好!我们在前面的学习中积累的经验,可以迁移到后续的学习中;后面的问题许多时候可以化归为前面的问题来解决．

问题10根据材料2学习中积累的经验:点C在x轴上不同的位置变化引发△AOB,△AOC和△ABC面积之间不同的数量关系．你觉得点P还有哪些不同的位置,会带来什么不同的结果?

图6

图7

问题11观察上面三个变式中三种不同位置关系的分类讨论的计算结果,你有什么发现?

生17:根据上面的分类讨论与整合后的结论,结合图形,我发现这类一次函数图象下的三角形面积,就是过动点作y轴的平行线,被两条已知直线截得的线段长度(就是线段PQ)与两定点(点A和点C)横坐标之差的绝对值乘积的一半．

师点拨:这里的|xA-xC|叫作水平宽,PQ的长度叫作铅直高.你还能做出什么归纳?

设计说明在继续变式中,对过程与结论进行自反抽象,逐渐探寻出一般规律:一次函数图象下的三角形面积等于水平宽与铅直高乘积的一半．在逐渐一般化的过程中,引导学生有层次地思考问题,适时地进行数学抽象,最终归纳出一般结论,构建有助于问题解决的模式．

2.4 课堂小结:回顾展望蕴智能

问题12本节课我们学习了什么内容,如何学习的?

问题13在学习的过程中,你感悟到哪些数学思想方法?

生20:如上的探究是从特殊到一般的过程,后续对公式的应用则是从一般到特殊的过程．

生21:在公式形成的过程中,我们不断地发现不同变式之间的共同特征,这个是数学抽象,也是分类与整合．

生22:解决这类问题的关键所在,就是运用好坐标轴或者与坐标轴平行的直线,是一个“化斜为直”的过程,本质上是转化与化归．

设计说明对学习过程的回顾,对学习路径的明晰,对个人经验的反思,是一种实践智慧．对数学思想方法的归纳与总结则是一种理性思维．

3 教学反思

3.1 从变式到模式,在数学抽象中启迪思维

《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出:数学是研究数量关系和空间形式的科学．数学源于对现实世界的抽象,通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象,得到数学的研究对象及其关系[2]．思维是借助语言、表象或动作实现的对客观事物概括的和间接的认识,是认识的高级形式．它能揭示事物的本质特征和内部联系[3]．数学的对象都是抽象思维的产物．所谓抽象思维,一般是指抽取出同类事物的共同的、本质的属性或特征,舍弃其他非本质的属性或特征的思维过程[4]．学习材料2中,依据点C的不同位置关系进行分类讨论,就是基本图形的变式．根据结论中不同的数量关系的共同特征得到一般的结论S△ABC=|xC+4|,就是一种抽象思维．学习材料3则是基本图形更加一般化的变式,对三角形面积的求解过程与结论的抽象,得到符号化的、具有普适性的模式．学生在不断自反抽象中逐渐形成思维的意识与习惯,形成思维模式,提升思维能力．

3.2 从变式到模式,在逻辑推理中启迪思维

如上教学过程中所形成的模式,本质上是一个数学命题．构建数学命题依赖的是归纳推理,这是一个从特殊到一般的思维过程[5]．材料3的学习过程显然是对材料2的类比.类比是在两种不同的事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测其他方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方式[6]．这样的类比,很大程度上也是一种迁移——问题的迁移、知识的迁移、方法的迁移、经验的迁移、思维的迁移等．另外,还有利于感悟知识之间内在的关联,完善知识体系,形成好的思维结构．材料3中,三角形面积的求解过程则是演绎推理的表现．从一般情形演绎出一些特殊情况,可以把原本不太明晰的关系显现出来,使我们的认识具体化和丰富化;通过演绎推理还可以将一般性前提中所蕴含的性质揭露出来;演绎推理将一些原始概念作为推理的出发点,推演出其他的事实,有利于揭示数学概念、命题、法则等之间的内在关联,最终形成结构．

3.3 从变式到模式,在结构形成中启迪思维

思维结构是思维活动特征的总和或整体[7]．无论是从数学的角度把握事物的本质与规律,还是用数学的语言描述事物的本质与规律,思维基础都是抽象和推理[8]．本课例设计中,从基本图形的初现,到点C在x轴上的变式,再到点P在一次函数图象上的变式,通过抽象与推理逐步生成此类问题解决的模式．认知心理学认为,所谓模式是指由若干元素或成分按照一定关系形成的某种刺激结构[9]．所以从变式到模式是一个集知识结构、认知结构与思维结构于一体的特殊结构．

4 结束语

基于问题解决的微专题复习课,通过对基本问题的诸多变式,将数学知识进行统整,发现其中的联系,通过不断的抽象与推理,发现其中的关联与规律,最终生成模式．

我们应当通过具体数学知识和技能的教学努力促进学生的思维发展[10]．教学中,我们应引导学生按照逻辑的顺序(由简单到复杂、由低维到高维)去把握各个相关内容,从而更清楚地认识它们之间的内在联系．用联系的观点进行分析、思考,我们才能达到更大的认识深度;也只有达到了更大的深度认识,我们才能更好地发现不同对象之间的联系[11]．由此生成好的模式,启迪思维,发展学生的数学核心素养．