方法型数学模型教学的实践与思考———以苏科版“二次根式乘除(1)”为例

李 荣

(江苏省苏州市阳山实验初级中学校 215151)

1 引言

模型观念主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识[1].作为数学核心素养的重要表现之一,它要求学生能从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,会用数学符号表示数学问题中的数量关系、变化规律等,会对结果进行讨论和修正.《义务教育数学课程标准(2022年版)》中有76处有关“模型”的字眼及相关解释,可见数学模型的重要性.在部分一线教师的认知中,模型观念的培养基本局限在应用题中,对于法则、公式和方程解法等课型的教授基本以“几个例子+法则归纳+反复练习”的形式为主,学生自主探究的机会很少.本课通过对方法型数学模型的教学实践,使学生对此类课型的自主探究成为可能,有效地发展了初中生的模型观念.

按照数学模型中对象的特点,数学模型可分为概念型数学模型、方法型数学模型和结构型数学模型[2].方法型数学模型是指数学中的各种公式及运算系统、各类方程及其求解方法等,是由实际对象间量的关系抽象出来的.初中阶段多出现在“数与代数”学习领域.方法型数学模型作为数学模型的一种,大致要经历“实际问题或数学问题—数学模型—模型求解—模型检验—模型应用—实际问题或数学问题”等建模过程,形成一个闭环.

学生对方法型数学模型并不陌生,在小学三四年级就已经开始接触到现实问题中的加法模型、乘法模型,以及一些算理和算法.进入初中,引入了有理数之后,学生学习了有理数的加减乘除乘方等运算和一元一次方程、二元一次方程组、三元一次方程组等的解法;引入实数之后,学习了平方根、算术平方根的概念,二次根式的定义,二次根式的乘除加减混合运算,一元二次方程的解法等.这些都可以归为方法型数学模型.如何在方法型数学模型的教学中摆脱“几个例子+法则归纳+反复练习”的老路是每个教师都要认真思考的问题.本节课的学习让学生感受法则课也可以变得充满探索性和挑战性.

2 教学分析

本节课“二次根式的乘除(1)”是江苏凤凰科技版《义务教育教科书·数学(八年级下册)》第12章第2节第一课时的内容,主要介绍二次根式的乘法法则的得出及其应用,属于运算系统中的乘法运算,是典型的方法型数学模型的课型.

二次根式既与代数式、勾股定理和实数等有紧密联系,又为后面学习锐角三角函数、一元二次方程和二次函数等内容做铺垫,其重要性不言而喻.二次根式的运算是本章的重中之重,乘法运算作为二次根式运算之首,为学生学习后面的运算做好准备.本文结合方法型数学模型的建立过程,从数学探究的角度,让学生以问题为载体,亲历二次根式乘法法则的得出过程,从而让学生加深对法则类教学的理解和认识.

3 教学过程

3.1 模型回顾

问题1 我们已经学习了二次根式,你可以用二次根式表示2吗?

效能分析本环节为模型回顾,主要回顾了二次根式的定义和性质,它们也属于方法型数学模型.数学知识重在理解,教学中我们发现,精准地叙述一个数学概念或者法则对学生来说是一件比较困难的事情,所以在平时的教学中,涉及数学概念、定理或公式等知识的复习回顾,可以让学生根据自己的理解举例.本课直接由数学问题引入,这是建立模型的第一步,考查学生对已学知识的迁移能力.

3.2 模型的引入

图1

效能分析在作图的过程中,及时引导学生识别数学模型,强调作图的准确性,让他们体会数学的严谨性.“割补法”求面积是为后面求长方形面积做准备的,“割补法”也是计算图形面积的一种模型.此处考查了学生的知识迁移能力.这是方法型数学模型的第二步,实现数学问题到数学模型的过渡,通过教师引导和学生探究自然地引入二次根式乘法模型,借助“割补法”让学生进一步探究乘法算式的结果,为接下来模型的求解做好准备.

3.3 模型的求解

图2

问题5 你还能举一些类似的例子来探索二次根式乘法法则吗?

图3

效能分析该问题为开放性问题,这也是对数学建模结果开放性的响应.学生还是选择了自己比较熟悉的二次根式模型,部分学生忽略了前面探究中“两个二次根式之积与图形面积相等”的事实,以致出现了失误,接下来必会影响模型的进一步求解,所以在求解模型的过程中也要能发现问题并解决问题,这也是“四能”的要求.

3.4 模型的完善和验证

问题7 思考得出的模型是否正确?有没有需要完善的地方?如何验证?

3.5 模型的推广和应用

效能分析数学建模是数学与现实世界联系的途径,建立起的模型能否进一步推广、有没有实用价值,都是我们需要考虑的问题,所以应用必不可少．对于方法类数学模型,进行适当的练习必不可少．但是要抓典型题目,让学生触类旁通,而不是搞题海战术.

3.6 建模过程的回顾反思

教学说明引导学生从基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验四个方面进行反思,并且给出如图4所示的思维框架,即是数学模型的建立过程.

图4

效能分析让学生再次回顾并分享整节课的思路,自己画出思维框架,体会方法型数学模型的建立过程,进一步发展学生的模型观念.通过画出本节课的思维框架,学生跳出了繁琐的知识细节,从宏观上或者纵向地了解本节课的知识架构,长此以往学生就能更准确地把握整个初中数学的知识结构,对于整体理解数学知识、提升数学素养有很大的促进作用.

4 教学思考

4.1 注重方法型数学模型的探究过程

方法型数学模型基本用于解决运算类问题,考查学生的运算能力,有助于学生形成规范化思考问题的品质,养成一丝不苟、严谨求实的科学态度,其重要性不言而喻.但方法型数学模型教学中普遍存在的问题是“重应用,轻探究”.笔者在近几年的教学中也发现了学生的计算能力堪忧,原因就是方法型数学建模课型的教授出现了问题.教师往往把教学重点放在建模的最后一步,即应用模型解决现实问题或数学问题,而很少对模型的求解过程进行深入探究．这就导致学生形成了“只记结果,不问出处”“会算就行”的惰性心理.教师要通过教学设计,让学生真正了解法则的来龙去脉,让数学探究充满课堂.

4.2 注重转变学生学习方式

数学建模贯穿于整个数学教学.目前学生所理解的数学建模仅停留在解应用题上,对于一些公式类、法则类的课型,他们根本不会探究,也意识不到可以通过数学建模去探究．长期下去,学生的思维就会固化,创新精神也就无从谈起．因此,教师要帮助学生转变方法类数学模型的学习方式,告知他们方法类数学模型建立的基本过程,并且还要通过实例让学生清楚每个环节的具体操作,通过模型思想的渗透,提高学生建立方法型数学模型解决问题的意识,让学生自主探索,敢于尝试,从而提升他们的核心素养．

4.3 注重培养学生的问题意识

问题是数学的心脏．教师在方法型数学模型教学中,应注重培养学生的问题意识.方法型数学模型建立的每个过程都在考查学生发现、提出、分析和解决问题的能力.比如在本课的探究中,如何发现二次根式模型、如何建立二次根式乘法与图形面积之间的联系、如何对已得到的模型进行修正,都要求学生具有问题意识．因此,教师在平时的教学中要多放手,让学生探究,以学生为主体,在学生激烈的思想碰撞中,必能擦出问题的火花．