不要忽略数学教科书中的“一带而过”

刘耀斌 戚洪祥

(盐城师范学院 江苏省盐城市教育科学研究院 224002)

数学教科书是根据数学课程标准编写的、供教学使用的正式课本,是教师教授和学生学习的基本依据.但在教科书编写过程中,或是为了给教师留有教学空间和给学生留有学习空间,或因受学生当前认知水平所限而又不得不提及,或因受篇幅限制而又很容易查阅其他资料等各种原因,会出现对有些知识内容的“一带而过”现象.那么,教师和学生应该如何对待教科书中的“一带而过”呢?笔者以为,教师在钻研教科书时不可忽略教科书中的“一带而过”,同样要读懂它的来龙去脉,根据实际情况,或要求学生查阅资料自己钻研,或有选择地讲给学生听,或向学生说清楚原委,应尽量发挥它的教学价值.本文将从学生对教科书中“一带而过”的接受程度,分为三种类型并阐述其教学处理方法.

1 教师不讲,学生自己能够弄懂的“一带而过”

教科书编写有时受篇幅所限,不能把知识的历史背景等全部编入书中,往往是一笔带过;另一方面,这也是给师生留下思考空间.遇到这样的情况,教师千万不能像教科书一样也是“一带而过”,应该带领学生,把相关的知识背景揭示出来,这样不仅解答了学生的疑问,也拓宽了学生的知识视野.

例1教科书[1]77在将正整数指数幂推广到有理数指数幂以后,没有进一步深入研究有理数指数幂的性质,只是以“有了分数指数幂的意义以后,指数幂的概念就从整数指数推广到有理数指数.对于有理数指数幂,原整数指数幂的运算性质保持不变,即asat=as+t①,(as)t=ast②,(ab)t=atbt③,其中s,t∈Q,a>0,b>0”一带而过．

这里,教科书没有给出为什么性质保持不变的推理过程.这可以留给学生完成,教师可以作业形式布置给学生做,学生如果有困难就给予必要的辅导.以验证性质①为例,学生可以进行以下推理[2].

图1

图3

由于任意角α的终边在第二象限,于是得到

教科书在编写时为了促进学生主动探究,也会为学生留有思考的空间,让学生通过自我猜想、探究、操作、发现等活动感悟获得知识的过程,达到培养学生的思维能力、创造能力等目的.对此,教科书中的有些知识点,常常看似一带而过,实际是给学生留有思考余地.

2 教师讲解,学生能够听懂的“一带而过”

教科书在编写教学内容时,会遇到一些必须要介绍的绕不过去的知识点,但就这一知识点的来龙去脉来说,又不在课程标准规定的范围内,对于这样的知识点往往就“一带而过”.但教师若真的对此“一带而过”,就难免会在学生心里留下遗憾.

例3教科书[1]82在“对数的概念”内容中有这样一段文字:“在科学技术中,常常使用以e为底的对数,这样的对数称为自然对数,e=2.718 28…是一个无理数.正数N的自然对数logeN一般简记为lnN.”

教科书没有介绍e的来历,也没有说明为什么把以e为底的对数称为自然对数,只是一带而过.从编写意图来看,由于e涉及极限问题,这个概念学生只要知道就可以了.所以在实际教学中,不少教师往往一带而过,如果有学生追问,他们则回答“以后学高等数学就知道了,暂时可不必追问”.那么,这个问题究竟可不可以跟学生解释清楚呢?笔者认为,可用如下方式跟学生解释,不给学生留下遗憾.

为什么称以e为底的对数为自然对数呢?下面以一个属于理想状态的本利问题谈起[3]:

设本金为1,而年利率亦为1,那么一年后本利总和为:1+1=2.

从刚刚的计算可以看出,存款的期限愈短,一年后获得的本利总和愈大.那么,如果能够做到将存款期缩短到最短,即存入后马上取出再存,并记为这样的操作可以瞬时实现,一年后所得的本利的总和可以达到什么程度呢?一个人能不能因此而变成富翁呢?

上述假设在现实的金融世界中是不可能实现的,因为绝没有一个银行能采用这样支付利息的方式.但这种现象恰存在于大自然之中,动、植物的生长是一个连续的过程,新生的部分立即和本体一起生长,是不断把“利息”随时加入到“本金”中去“再生息”的过程,大自然的复利正好契合上述要求.所以,e是自然规律的数量刻画,而取以e为底的对数有很多妙用,符合数学思维简洁、方便、实用及美观的要求.这些正是称以e为底的对数为自然对数的缘由.

例4教科书[4]在“复数的几何意义”的内容中这样描述:“我们把建立了直角坐标系来表示的平面叫作复平面.复数的这种几何表示也称为阿甘得图(Argand diagram).”这里,教科书没有介绍复数的这种几何表示为什么称为阿甘得图.笔者以为,教师千万不能忽略这里的“一带而过”,可以引导学生阅读数学史,使他们了解数学家阿甘得在复数发展中的贡献.

上述两则案例在教科书中虽然被一带而过,但思维活跃的学生一定会期待前因后果,教师可以在兴趣课程或拓展课程里以科普方式讲解,学生一定很感兴趣.值得一说的是,高考固然重要,而把本该使学生能够知晓的知识空间让位给题海,本质是数学教育价值的一种丧失.

3 无需讲解,但教师必须要理解的“一带而过”

教科书中的有些知识点,虽然不一定要求学生在当前学段学习,但为了有助于掌握必学内容,常常会以阅读材料的形式向学生介绍操作性的结论,但限于其认知水平,不能介绍操作的原因,这些也是“一带而过”.

例6教科书[1]78在将指数式ax中的指数从分数(有理数)推广到无理数后指出:“一般地,当a>0且x是无理数时,ax也是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用.”这里的运算性质是指:asat=as+t①,(as)t=ast②,(ab)t=atbt③,其中s,t∈Q,a>0,b>0.这里将指数式ax中的指数从分数(有理数)推广到无理数及其运算性质的适用性也是“一带而过”.由于涉及到极限理论和指数函数的连续性,不宜向中学生讲解,只要告知结果就可以了,但教师在备课时必须了解它的缘由,在理解上切不可“一带而过”.

an={1,1.4,1.41,1.414,1.414 2,…}.

4 结语

要想教给学生“一碗水”,教师就应该有“一桶水”,教师只有和学生形成了这种知识量的差别,才能具有传道授业解惑的本领.事实上,教师知道的不一定要全部讲给学生听,但教师只有知识渊博了,才能登高望远,才能从整体上、从高观点视角把握数学教科书的内容,教学中才能深入浅出,才能有效地渗透数学思想方法或历史文化.所以,对于中学教科书中有些中学生学习能力范围之外的“一带而过”,教师研读教科书时切不可一带而过.