融中华优秀传统文化于项目式学习的问题链设计

唐恒钧 郑蓉蓉 蒋逸卿

【摘 要】项目式学习的成果包括外显成果与内隐成果两个方面，但在设计与实施过程中，教师容易仅关注外显成果的完成情况，而忽视学生内隐成果的塑造。学生沉浸式情感体验是形成内隐成果的必要前提。文章以“三等分角工具的制作”项目为例，呈现明暗双线交融的项目活动流程与设计实例，并提出关注文化体验、创设文化情境、把握文化脉络等设计要点。

【关键词】中华优秀传统文化；项目式学习；项目成果；情感体验；问题链

项目式学习是初中阶段数学跨学科主题学习的主要方式，也是实现“做中学、学中做、做中创”教育理念的重要教学模式。项目式学习的构成要素主要有情境、内容、活动和成果四个方面。而成果主要有两方面含义：一是外显的成果，即制作的产品、方案等；二是内隐的成果，即学生能够在不同情境中迁移的认识思路。［1］但在项目式学习的设计与实施过程中，教师容易仅关注外显成果的完成情况，而忽视学生内隐成果的塑造。可迁移的认识思路具有一般性特征，学生无法仅依靠教师的讲解习得，重在沉浸式情感体验。因此，在项目设计伊始，教师既需要关注活动明线的设计，也需要关注学生情感体验的暗线设计，以明暗双线交融的方式组织教学。数学中的中华优秀传统强调了数学文化中的传统特色，凸显数学的文化价值，对学生的全面发展与民族认同感的培养具有重要意义。教师需要在数学课堂营造数学文化氛围，将数学文化既作为明线（数学史料、数学文化课程或课程模块），也作为暗线（数学文化氛围的营造）融入普通数学课堂。［2］基于此，本文以“三等分角工具的制作”项目为例，呈现明暗双线交融的项目活动流程与设计实例，试图为中华优秀传统文化融入项目式学习，推进内隐成果塑造提供参考。

一、项目流程设计

明暗双线交融的项目设计流程既关注活动明线的设计，也关注学生情感体验的暗线设计。因此，在项目规划阶段，教师需要在设计活动线的基础上增添每个活动对应的情感线，以这两条逻辑线贯穿项目始终。

（一）活动线设计

项目式学习的设计强调“以终为始”，根据最终呈现的项目成果逆向反推项目活动。因此，教师需要把握项目初始态与最终态之间的差异，并通过系列活动消除两种状态之间的差异，从而完成项目成果。以“三等分角工具的制作”为例，项目中各个活动的具体拆解思路如图1所示。

（二）情感线设计

在引入项目主题的过程中，教师应展现中华优秀传统文化，激发学生的民族自豪感与民族认同感。教师可以以规矩镜作图问题说明制作三等分角工具的必要性，增强学生制作三等分角工具的内驱力，鼓励学生积极参与项目活动。

在探究等分角原理的活动中，教师可以引导学生从二等分角入手，渗透由已知到未知、从特殊到一般的数学思想方法。同时，设置自主探究活动，将二等分角视作两个相等角拼凑在一起，为学生提供立足局部分析整体的认识思路。

在设计二等分角工具的活动中，教师应适时引导学生转变思维观点，从静态到动态、从顺向到逆向，增强学生思维与课堂活动的交互性，促进深度学习的发生。

在设计三等分角工具的活动中，学生在二等分角工具的基础上合理想象，得到精妙的想法。与此同时，教师为学生介绍古代工匠制作三等分角的工具和方法，展现古代工匠的智慧与巧思，推动学生的情绪发展，在古今对比中引发学生更深的思考。

在制作三等分角工具的活动中，教师应充分尊重学生的自主性与主动性，使学生深度参与制作和展示活动中，让学生有机会表达自己的观点与想法。在这样开放的学习环境中，学生的创造热情空前高涨，带动了积极的情感交互。

（三）项目流程图

在“三等分角工具的制作”项目中，活动线和情感线明暗双线贯穿始终，体现项目实施过程中对应的活动安排与学生的情感体验，具体流程如图2所示。

二、项目设计实例

（一）引入项目主题

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在教学建议中指出，要注重创设真实情境，注重情境素材的育人价值。［3］底蕴深厚的中华优秀传统文化为情境创设提供了丰富且有育人价值的数学教育素材。

情境 中华民族自古以来便是富有创造力的民族。《墨子》中记载的“百工为方以矩，为圆以规，直以绳，正以县”（其中“县”同“悬”），便是我国古代工匠最常用也是最基本的工具矩、规、绳、悬（即悬锤）。其中以矩做正方，规做正圆，绳做平面直线，悬做垂直。俗语“无规矩不成方圆”等便由此而来。今天让我们做一回小小发明家，效仿古人，也制作一款实用工具吧。

通过介绍古代工匠常用的工具，展示古代工匠独具匠心的创造力，弘扬了工匠精神与创新精神，激发学生的民族自豪感与民族认同感，同时为引出项目主题做铺垫。

问题1：古代工匠借助这些工具，能够制作出许多精美图案，比如规矩镜（如图3）。大家认为古代工匠是如何确定这些圆形位置的？

问题1-1：如何利用工具作三等分角？

问题1-2：如何利用工具作二等分角？

问题1承接古代工匠的工具的情境，将学生置于真实情境中思考，表现出作三等分角问题在实际生活中的需要，使学生感受数学与生活、数学与美的密切联系。不过学生对三等分角的做法知之甚少，教师可以引导学生从已有认知出发，由已知到未知、从特殊到一般，先作二等分角。根据已学的尺规作图知识，学生能够知道利用“矩”和“规”作二等分角。但在作图过程中，可以发现这种做法的劣势所在——需要同时运用两种工具。由此自然引出请学生自己动手设计能够单独作二等分角的工具的问题。

（二）探究等分角原理

问题2：请大家发挥自己的想象力与创造力，设计一种能够单独作二等分角的工具。

问题2-1：从证明的角度出发，何种情况下能说明两个角相等？

学生的思维可能囿于尺规作图的思路中，对于二等分角工具的设计缺乏头绪，教师需要设置辅助问题，为学生提供合适的学习支架。问题2-1引导学生回顾以往的证明经验，思考能够证明两个角相等的情形，学生容易想到的是借助三角形全等得到对应角相等。如此便可以将三角形相等的对应角当成二等分角，将其拼在一起可得被二等分的角，立足局部元素分析整体。教师需要引导学生经历实验探究的过程，让学生讨论将全等的两个三角形按照对应角拼凑在一起可能出现的情况（如图4），并思考能为设计二等分角工具帶来哪些启示。

（三）设计二等分角工具

问题2-2：如何让角动起来，使之能展现任意角的二等分角？

教师活动 引导学生在拼凑出的原始图形基础上，绘制二等分角工具设计图。

学生在拼凑三角形的过程中，能够得到关于某个特定角的二等分角，但依然是静态思维，而二等分角工具的功能是能够做出任意角的二等分角。问题2-2将学生的思维由静态转变为动态，使学生对即将设计的二等分角工具有更清晰的感知。在动态观点下，学生可以发现由不同类型三角形生发出的二等分角工具竟殊途同归，如图4中②③④能分别设计成如图5所示的工具，其运动变化的原理相同；也可以发现直角三角形在对应角大小变化的过程中可能难以保持直角形态。

问题2-3：如何才能保持直角三角形的直角形态？

教师活动 引导学生进行小组讨论，绘制二等分角工具设计图。

问题2-3是在解决问题2-2的过程中自然生发的问题，体现了问题与问题之间清晰的思维脉络。以拼凑图形为基础设计二等分角工具的过程中，学生习惯使用从“图形—工具”的顺向思维，教师可以引导学生逆向思考：能否利用工具创造出两个全等的直角三角形？学生自然而然会产生出如图6所示工具的想法。

（四）设计三等分角工具

问题3：二等分角工具已经难不倒大家，能否进一步思考，如何设计一种三等分角工具？

问题3-1：如何在二等分角工具的基础上新增一个与原来半角相等的角？

教师活动 引导学生进行小组讨论，绘制三等分角工具设计图。

从二等分角工具到三等分角工具，学生可能一时没有思路，问题3-1为学生提供思考的方向。借助问题3-1，教师将三等分角问题转化为在原本二等分角的基础上增加一个相等半角的问题。在问题2解决的过程中，学生对作等分角的方法已经有了初步认知——构造两个全等的三角形。因此，新增一个相等半角实际上就是要新增一个全等三角形，如此便会有三个对应角相等，每个对应角都是大角的三等分角，可以制作出如图7所示的三等分角工具。

问题4：古代工匠的想法也十分精妙，他们在矩的基础上进行改造：在矩的窄臂上标记出与宽臂相同长度的线段（PQ=QR）（如图8），得到一个三等分角工具。作[∠ ABC]的三等分角需要进行如下操作：

（1）将矩的宽臂的下沿MN对准角的一边BC，沿着宽臂上沿画出直线DE，则BC//DE，且两平行线距离为宽臂长（如图9）。

（2）将矩移动到合适的位置，使其满足三个条件。一是顶点P落在DE上，二是宽臂的下沿MN经过角的顶点B，三是标记出来的点R落在角的一边AB上（如图10）。

（3）作射线B[Q]与BP，则[∠ ABQ]、[∠ PBQ]、[∠ PBC]即为[∠ ABC]的三等分角（如图11）。

大家能否用数学知识解释这样能够得到三等分角的原理呢？

学生在经历设计三等分角工具的过程后，可能认为如此设计的想法已经十分巧妙了，此时介绍古代工匠设计的更为精简的三等分角工具，进一步将学习情绪推向高潮。学习古人做法的过程也是智慧交流的过程，不难发现图11中三个直角三角形的排列方式与图7的工具一致，这说明古人作三等分角的方式与学生刚刚习得的作三等分角的方式原理是相同的，都是通过构造全等三角形获得。学生能够在感受古人智慧的同时体会到数学方法的时代同一性，展现了数学的学科魅力。

问题5：比较古代工匠设计的工具与同学们自己设计的工具，你认为哪种设计更好？谈谈你的理由。

培养学生批判质疑的能力是发展学生核心素养的要求之一，教学中，教师应从学生看待事物的视角入手，培养学生批判质疑的习惯。［4］在比较当中，学生能够正视古人设计的工具，诚然制作非常简单，有其可取之处，但也存在明显缺陷——操作烦琐。如此，在增强学生自信心的同时也培养了学生辩证思考问题的意识。

（五）制作三等分角工具

师生活动 请学生以小组为单位，用所给材料包制作三等分角工具，并利用制作的工具实际操作画出三等分角，再通过量角器测量来验证工具的有效性。任务完成后请各小组分享设计思路、制作成果与检验效果等。学生展示成果后，教师分发组内评价量表（见表1）与组间评价量表（见表2），从过程和结果两个维度进行评价，组织学生互相交流收获与不足。

成果展示与项目评价环节是项目式学习的特色所在，也是检验学生学习效果的重要方式。但实际教学中，教师为节约课堂教学时间却经常省略这两个环节，失去了项目式学习的真正意义。从成果展示与项目评价中，教师能够对学生的学习情况有进一步的认识，外显的成果表现在学生是否掌握了设计制作要点及学科核心知识。当然从学生的分享与评价中也能挖掘项目式学习的内隐成果——学生是否习得一般性认识思路，且能在不同情境之间进行迁移。对于本项目而言，即是否习得由已知到未知、从特殊到一般、从局部到整体的认识思路。因此，教师需要为学生提供展示成果、自评互评的交流平台。

三、设计要点

文化氛围的营造对学生内隐成果的塑造具有重要意义。设计一节如上所述的浸润在中华优秀传统文化当中的项目式学习课例，应注重把握文化体验、文化情境、文化脉络等方面的设计要点。

第一，关注文化体验，以明暗双线结构组织教学。浸润于中华优秀传统文化之中的课堂能够有效促进学生的数学学习与情感体验有机融合，使学生的内隐成果得到塑造。学生在文化体验中产生的情感是内隐的，相比项目中外显的活动设计更难把控。明暗双线交融的教学组织方式通过活动线与情感线的设计，明晰活动过程中学生产生的情感，使学生把握项目的情感脉络，真正凸显文化育人的重要作用。本课例通过对项目的拆解得到活动线，在活动线的基础上设想在此活动中学生对应产生何种情感，在课前对学生可能的情感体验做初步预设，弱化情感的不可控性，增強操作性与导向性。

第二，创设文化情境，营造浸润式文化氛围。文化情境奠定文化氛围的基调，与教学过程中学生受文化感染，形成文化共鸣的状态息息相关。优质的文化情境首先需要与项目主题匹配，体现项目主旋律；其次要与项目活动紧密关联，为引入任务活动做铺垫；最后，要为师生提供深度交互的条件，促进深度情感交互的发生。本课例创设古代工匠设计及使用工具的文化情境，聚焦古代富有创造力与智慧的工具，项目主题也凸显工具属性，二者紧密关联。在情境的铺垫下，以古代工匠制作规矩镜的场景引入，自然生成古代工匠如何作三等分角的疑问。同时，以开放、创造、有趣的话题，激发学生兴趣，提高学生的参与欲望，为师生深度情感交互提供可能。

第三，把握文化脉络，以问题链构建任务群。中华优秀传统文化融入数学课堂需要深刻挖掘其中蕴含的数学知识与数学思想，形成数学文化脉络，避免内容的碎片化呈现，包括基于知识发展的文化脉络与基于学生理解的文化脉络等。数学问题链是有序的主干问题序列，以其关联性、整体性为学生提供数学思考的基本脉络。［5］项目式学习是落实数学文化的一种重要教学形式，问题链则为数学文化项目式学习的设计与实施提供了載体。［6］本课例将三角形全等、等分角的知识以及由已知到未知、从特殊到一般、从局部到整体的认识思路与各个问题相融，展现了制作三等分角工具的思考脉络，一步步推动新任务生成，最终完成项目成果。

综上所述，项目式学习中学生内隐成果的塑造值得广大教师关注，中华优秀传统文化以其独特的文化价值成为推进学生内隐成果塑造的重要载体。融中华优秀传统文化于项目式学习的设计需要关注文化体验，以明暗双线结构组织教学；创设文化情境，营造浸润式文化氛围；把握文化脉络，以问题链构建任务群，带领学生在生动的文化体验中感悟思想、深化理解。

参考文献：

［1］叶依丛，顾建辛，马婉琴. 基于项目学习的高中化学教学设计与实践：佩挂式除菌卡有效性研究［J］. 化学教学，2022（9）：51-56.

［2］杨豫晖，吴姣，宋乃庆. 中国数学文化研究述评［J］. 数学教育学报，2015（1）：87-90.

［3］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［4］郑蓉蓉，蒋逸卿，唐恒钧.基于数学史的科学精神培养：以二项式定理为例［J］. 中学教研（数学版），2023（9）：28-32.

［5］唐恒钧，张维忠. 数学问题链教学的内涵与特征［J］. 教育研究与评论（中学教育教学），2021（1）：8-12.

［6］唐恒钧，陶慧婵. 基于问题链的数学文化项目式学习活动设计：以“杆秤中的数学”为例［J］. 中小学课堂教学研究，2022（9）：7-10.

（责任编辑：罗小荧）

【作者简介】唐恒钧，教授，博士生导师，主要研究方向为数学课程与教学研究；郑蓉蓉，在读硕士研究生，主要研究方向为数学课程与教学研究；蒋逸卿，在读硕士研究生，主要研究方向为数学课程与教学研究。

【基金项目】全国教育科学“十三五”规划2020年度教育部重点课题“指向深度理解的‘问题链教学研究”（DHA200318）