小学数学模型教学的理念与实践——以“阶梯计费问题”的教学为例

江苏省常熟市世茂实验小学 陈雪娟

新课标明确指出，模型意识，主要是指对数学模型普适性的初步感悟。知道数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径；能够认识到现实生活中大量的问题与数学有关，有意识地用数学的概念与方法予以解释。数学模型是以现实生活为原型抽象出的数学概念，是现实、数学与应用之间的桥梁和纽带，是实现数学问题解决的重要手段和主要载体。生活中处处蕴含着数学模型，数学模型教学是以数学活动为载体，使学生经历“提炼问题—探究原理—建构模型—应用模型”的过程，经历知识形成的过程，理解知识之间的联系，促进知识建构、能力形成及情感培养，引导学生利用模型解决问题，培养学生的数学化眼光、抽象化能力、结构化思维和应用化素养。下面，笔者结合自己教学的课例，浅谈一些想法。

一、课前调查做准备

新课标明确指出，学科应当有育人功能，要实现数学学科的育人价值，要培养学生用数学的眼光去认识自己所生活的环境与社会，学会数学地思考。数学教学不仅要强调向学生提供系统的数学知识，而且要关注向学生提供具有现实背景的数学，包括现实生活中的数学。苏教版数学五年级上册“小数乘法和除法”单元“探索与实践”中有这样一道题（如图1）：

图1

自全国范围实施“阶梯电价”的收费标准后，居民阶梯电价得到改革，在保障居民生活基本用电的同时，国家着力引导居民养成节约用电的习惯。水、电、天然气与百姓生活息息相关，为了让学生领悟到数学知识源于生活又服务于生活，引导他们用数学的眼光观察生活，使学生感受到生活中处处有数学，数学就在我们身边，课前，笔者围绕“水、电、天然气”，先请学生完成一份课前调查问卷。

学生利用双休时间，通过查阅资料或走访相关部门等方式展开调查，了解缴费途径，收集并初步解读水、电、天然气最新的收费政策，还掌握了自己家2023年1 月到目前为止的用电、用水、使用天然气的数量。

教学的顶层设计，应当站在数学学科育人的角度。课前调查，是学生对接教材与社会的桥梁，是学生联系生活、储备学科知识的载体，更是和课堂深度对话的基础，对后续的课堂教学有着重要的影响。学生通过课前调查，在收集整理资料的过程中，对所掌握的资料有了更长时间的深入思考，激发了探究的欲望，在思考中增长知识，在探究中获得能力。在课堂教学中，教师把学生收集来的资料有机融入教学过程，并巧妙地拓展内容，让学生的认识更有深度，更能引起学生内心的共鸣，实现效益最大化，真正提升学生的综合素养。

二、经历过程获经验

以往在解决阶梯电费问题的时候，对于大部分数学学习能力有限的学生来说，他们通过阅读题目不仅无法理解题目内容，还无法找到题目中条件的关系，给解决问题带来了不小的阻碍。

要正确计算阶梯电费的金额，首先要理解阶梯电费的收费标准。因此，笔者以四口之家的电费为例，精挑细选了学生课前调查资料中的有效素材，通过学生的自主解读，进一步梳理用电量的分阶情况及相对应的单价。（如图2）

图2

有深度的数学活动才能激发学生主动探索的兴趣。学生对相同的信息用不同的表征形式进行个性化的解读，三个层次的交流，每一次都暗含玄机。文字式的解读，让学生进一步了解用电量分成三阶，每一阶都有固定的范围，单价也分成三种。表格的呈现，让学生体会到虽然形式不同了，但也能看出“分三阶”“每一阶的范围”“每一阶的单价”等信息。示意图式的表达，展示学生对自己收集的资料进行的个性化理解。通过解读，学生更加清楚了不同范围内的用电量与单价之间的对应关系。交流活动有深度，才能让交流不流于形式，让学生在活动中能真正获得体验，有效积累数学活动经验，提高核心素养。

通过交流和对比，学生发现，收集到的资料虽然呈现形式不同，但都在表达：电费是分阶梯计费的，电费金额和两个量息息相关，一个是电费的单价，另一个是数量，计算电费离不开一个基本数量关系，即单价乘数量。学生借助三阶图（如图3），清晰地知道用电量不超过2760 千瓦·时对应单价0.53 元，用电量在2760 千瓦·时到4800 千瓦·时之间对应单价0.58 元，用电量超过4800 千瓦·时对应单价0.83 元，并且随着用电量的增加，单价也随之越来越高，从而联想到电费也随之越来越贵，形成节约用电的意识。

图3

在传统的阶梯电费教学时，大部分学生无法对条件有一个明确的认知，无法准确把握条件关系，在分析问题时会出现诸多问题，甚至一些学生在分析问题时会出现思维错误。为了提升教学质量，在教学活动中，笔者逐步引导学生通过解读标准并形成分阶图，一步一步将学生的思维过程直观地展现出来，实现思维的可视化，在分阶图形成的过程中把握各个条件之间的关系，在条件分析中引导学生掌握解题思路。

三、探寻原理促建构

有了对阶梯电费收费标准清晰的认识，笔者从学生课前调查的家庭用电总量中选择了三个数据（如图4）：

图4

借助蓝、黄、红三条线，笔者分别请学生根据用电量，到黑板上的分解图上贴一贴要标到哪个位置，结合图说说自己的想法。同桌商量，结合分阶图，结合三条线所在的位置，确认这三个学生家在每一个阶梯中的用电量各是多少。在理解标准的基础上，结合实际用电量，确定每个阶梯的用电量是最困难的，可这又是本节课的教学重点，只有弄清了各阶的用电数量，才能根据基本数量关系计算各阶金额，进而计算出总金额。在刚才分阶图形成的过程中，学生不仅可以准确把握2760 千瓦·时和4800 千瓦·时这两个界限，还可以在分阶图中根据实际用电量和两个界限之间的关系，厘清每一阶梯中的用电量，通过对三个用电总量的比较，得出“当用电总量不超过2760 千瓦·时，用电量都在第一阶梯中；当用电总量超过2760 千瓦·时又不超过4800 千瓦·时，用电量就要分两个部分，第一阶的2760 千瓦·时和第二阶中的部分；当用电总量超过4800 千瓦·时，用电量就要分三个部分，第一阶的2760 千瓦·时，第二阶的（4800－2760）千瓦·时，和第三阶中的部分，而且用电量总是先用完第一阶，再用到第二阶，最后用到第三阶中”这样的结论。

厘清了各个阶梯的用电量后，学生尝试计算电费总金额。

（1）用电总量在第一阶。学生都能直接用单价乘数量，算出电费金额。

（2）用电总量达到第二阶。这里呈现了两种不同的算法，一种是直接用第二阶单价乘用电总量，另一种是分阶计算金额再相加算出总金额。教师引发学生讨论：“哪一种计算方法更符合刚才我们理解的收费标准？”结合分阶图，大家更加明确了“当用电总量达到第二阶时，先要确定好每一阶的用电量，第一阶中是用电量按每千瓦·时0.53 元计算，第二阶中是用电量按每千瓦·时0.58 元计算，再把两个阶梯的金额相加得到总金额”。

（3）用电总量达到第三阶。有了刚才的细致分析梳理，当用电总量达到第三阶时，电费金额的计算就水到渠成了。

回顾三个学生家电费金额问题的过程，学生都感觉到阶梯电费的计算是复杂的，但又是有一定步骤的，计算金额之前，要结合实际用电总量，根据分阶标准，先厘清每一阶中的用电数量，再根据相应单价乘实际数量，分阶计算出每一阶的电费金额，最后相加得到总金额。如此，学生对阶梯电费的计费方式和计算方法形成了初步的模型。

概念的教学只有与相关概念进行对比，了解它们之间的联系与区别，才能让概念在学生思维中扎根。理解不同用电总量之间的区别，理解总金额和每阶金额、每阶金额和相应单价及数量之间的关系，才能真正掌握阶梯电费计算方法的数学模型。

四、涵养思维要丰厚

阶梯计费问题，与生活中的联系非常多，在课堂中对生活中的多种现象进行梳理，让阶梯计费问题与生活发生更多的联系，学生的思维会更有广度和深度，学生的思路会更加清晰而有层次。这样才能让学生更好地掌握数学模型，培养数感。

（一）横向拓展

在重点梳理解读了四口之家的电费收费标准后，笔者适时提出：“对于家庭户籍人口数在五人（及以上）的家庭，政策是否会有变化呢？”再次借助学生收集的资料呈现：“根据规定，试行的阶梯电价对于家庭户籍人口在五人（及以上）的家庭，年用电量增加1200 千瓦·时”，请学生调整分阶图上的相关数据，组织四口之家和五人及以上家庭的分阶图，发现什么变了，什么不变，初步体会都是分了三阶，每一阶的单价不变，但分阶的标准变了，也就是每一阶的数量变了，其实不管是四口之家还是五人（及以上）的家庭，计算电费的方法是一致的，都要先厘清每一阶中的用电数量，再分阶计算，最后相加得出总金额。

（二）纵向拓展

经过刚才对阶梯电费标准的解读和对阶梯电费的计算，学生尝试自己来梳理水费、天然气费的标准，计算水费和天然气费。

学生先根据收集的资料，借助分阶图，梳理收费的标准，结合自己家实际用水、使用天然气的数量，在分阶图上看一看，厘清每一阶中的使用数量，再分阶计算各阶金额，最后算出总金额，经历这样一个完整的“材料阅读—标准梳理—解决问题”的过程。

通过回顾梳理，把阶梯电费、阶梯水费、阶梯天然气费进行对比，学生发现，不管是阶梯电费、阶梯水费，还是阶梯天然气费，都根据一定的标准分成三阶，每一阶都有固定的单价，这是一致的。计算这样的阶梯计费问题，我们都要根据标准，先厘清数量，再分阶计算，最后相加，其计算方法是一致的，从而建立起比较清晰的阶梯计费问题的解题思路。（如图5）

图5

教师通过数学建模，将了解和经历图5 所示的分阶图所表示的解决实际问题的全过程作为学生数学学习的一种新的方式，为他们提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识。在数学模型建立下，学生不仅可以从数学现象中抽象出客观规律，还可以在该规律的驱使下加深对这一类问题的理解，为灵活运用所学解决数学问题打下坚实的基础。

（三）课外拓展

数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，是数学教育的重要内容。数学建模中的问题是多样的，来自学生的日常生活、现实世界、其他学科等多方面。同时，解决问题所涉及的知识、思想、方法也与其他学科的相关内容有着密切的联系。因此，教师要让学生思考：“在我们的生活中，除了电费、水费、天然气费是分阶计算的，还有其他分阶计算的现象吗？”学生想到汽车的停车费问题、出租车的收费问题、寄快递的邮费问题等。教师适时提出希望学生做生活中的有心人，运用今天学到的知识，带着数学的眼光，去收集资料，进一步梳理收费的标准，探索相应的计算方法。

整节课学习目标立体化、学习内容结构化、学习方式多样化，把阶梯计费问题的知识蕴含在生活情境中。在生生互动、师生互动中，学生从感性认识上升到理性认识，从低阶思维走向高阶思维，培养了积极探索、细心严谨的科学精神，提升了数学核心素养。教师要以全局的眼光、育人的视野，打造创新、务实、高效的课堂，在学生进行模型建构时，同频、同步地发展学生的数学核心素养。