纯滚动单圆弧齿轮多目标模糊优化设计*

赵林林

(江苏财经职业技术学院 智能工程技术学院, 江苏 淮安 223003)

0 引 言

目前,国内很多专家[1-13]已经对圆弧齿轮传动采用的模糊可靠性优化设计、多目标粒子群优化方法、函数逼近的有限元优化方法及有机结合多目标粒子群算法、均匀试验设计、稳健设计、灵敏度分析等方法进行优化设计,但还未发现专门针对纯滚动单圆弧齿轮参数进行的优化设计。

笔者首次提出一种新型的纯滚动单圆弧齿轮传动的多目标模糊优化设计方法。根据赫兹弹性接触理论,齿面的相对主曲率半径最大,齿面的接触应力越小,其接触强度就越高,因此确定纯滚动单圆弧齿轮的相对主曲率半径最大为优化目标一;出于减小体积、降低质量、节省材料并降低使用成本的目的,而确定纯滚动单圆弧齿轮传动机构的总体积最小为优化目标二;由于重合度影响纯滚动单圆弧齿轮的传动质量,重合度越大,齿轮传动的承载能力越高,传动越平稳,齿轮传动系统的振动和噪声会减轻,因而确定纯滚动单圆弧齿轮的重合度最大为优化目标三。

笔者通过综合利用模糊评判方法和多目标优化设计方法,以相对主曲率半径最大、重合度最大和齿轮传动总体积最小为优化目标,建立了纯滚动单圆弧齿轮传动机构的多目标模糊优化模型,并对其进行了单目标分析和多目标优化设计。其结果对提高纯滚动单圆弧齿轮的接触性能和承载能力、降低其传动机构的体积具有一定的意义。

1 优化设计模型

1.1 目标函数

(1) 优化目标函数一

纯滚动单圆弧齿轮的啮合齿面为一对共轭齿面,根据赫兹弹性接触理论可知,纯滚动单圆弧齿轮的相对主曲率半径越大,其齿面接触应力越小,则接触强度就越高。

纯滚动单圆弧齿轮的相对主曲率半径ρn[14]的计算公式为:

[ρsin3α(r1+ρsinαsin2β+Xsin2β)-X2cos2β-Xρsinαcos2β]

(1)

式中:X为齿廓圆心移距量;L为齿廓圆心偏移量;α为齿形角,取逆时针为正;r为节圆半径;β为齿轮的螺旋角;ρ为圆弧齿廓的曲率半径。

定义相对主曲率半径的倒数最小为第一目标函数,即:

(2)

(2) 优化目标函数二

纯滚动单圆弧齿轮的重合度越大,齿轮传动的承载能力越高,传动越平稳,齿轮传动系统的振动和噪声就会减轻,纯滚动单圆弧齿轮的传动质量则会提高。纯滚动单圆弧齿轮的纵向重合度为:

(3)

因此,定义纯滚动单圆弧齿轮的纵向重合度的倒数最小作为第二目标函数,即:

(4)

(3) 优化目标函数三

在保证纯滚动单圆弧齿轮具有良好的接触性能和承载能力的情况下,应尽量减少纯滚动单圆弧齿轮的体积,降低质量,以达到节省材料并降低使用成本的目的。纯滚动单圆弧齿轮传动机构的体积V为:

(5)

定义纯滚动单圆弧齿轮的体积和最小作为第三目标函数,即:

f3(x)=min (V)

(6)

1.2 设计变量

1.3 约束条件

根据实际情况,分别对纯滚动单圆弧齿轮的法向模数,凸圆弧齿轮的齿数、齿宽、螺旋角、齿廓圆弧半径进行上下限约束,即:限制纯滚动单圆弧齿轮的法向模数为:1≤mn≤5,限制纯滚动凸圆弧齿轮的齿数为:17≤z1≤60,限制纯滚动凸圆弧齿轮的齿宽系数为:0.4≤φ≤1,限制纯滚动单圆弧齿轮螺旋角为:10°≤β≤25°,限制纯滚动凸圆弧齿轮的齿廓圆弧半径为:1.2≤ρ*≤3。

根据单圆弧齿轮的约束设计变量(法向模数、齿数、齿宽系数、螺旋角、齿廓圆弧半径系数)对其进行模糊约束取值,如表1所列。

表1 模糊约束取值的上下限

设计变量按照梯形分布,利用扩增系数法确定边界过渡区,区间上界限的扩增系数取值为1.1,下界限的扩增系数取值为0.9,得到单圆弧齿轮的设计变量约束截集为:

(7)

按照降半梯形法确定单圆弧齿轮的齿面接触应力和齿根弯曲应力等性能约束,并结合齿轮的齿面接触应力和齿根弯曲应力从完全许用到不完全许用的中间过渡过程,得到纯滚动单圆弧齿轮的性能约束截集为:

(8)

因此模糊优化约束条件为:

g1(x)=1+λ*-x1≤0

g2(x)=x1-(6-λ*)≤0

g3(x)=17+2λ*-x2≤0

g4(x)=x2-(62-2λ*)≤0

g5(x)=0.45+0.1λ*-x3≤0

g6(x)=x3-(1.5-0.14λ*)≤0

g7(x)=8+4λ*-x4≤0

g8(x)=x4-(26-4λ*)≤0

g9(x)=1.3+0.3λ*-x5≤0

g10(x)=x5-(3.1-0.3λ*)≤0

考虑纯滚动单圆弧齿轮传动机构的设计要求和模糊约束的性质可知,具体的约束边界是由模糊约束截集水平值λ来决定的,模糊约束截集水平值越大,则约束边界就会越向安全许用区靠近,因此不考虑隶属度小于0.5的值,确定模糊约束截集水平值为:

λ=[0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 1]

(9)

共有六个因素影响纯滚动单圆弧齿轮传动机构的优化,分别是制造水平、材料好坏、使用条件、设计水平、维修费用、重要程度,如表2所列[11],每一个因素按照五个等级进行划分,各因素等级的隶属度如表3所列[11]。

表2 影响因素的等级

表3 各个因素等级的隶属度

利用权向量表示各因素在设计中影响的重要程度,它能够反映各个因素和各个因素等级影响模糊约束截集水平值λ,各个因素的权向量A取值为:

A=[0.25 0.25 0.15 0.1 0.15 0.1]

(10)

然后归一化处理单因素的评价结果,并综合评价结果,根据截集分档情况来确定截集元素的取值范围为0～1之间。在此区间内,划分若干个等级与其相对应,然后对每一个因素评语等级的等级评判矩阵进行确定。如果各个因素的等级评判矩阵相同,则可根据专家打分法来取值。二级综合评判矩阵通过模糊矩阵乘法进行评判,最优水平截集λ*通过截集加权平均计算得到,即λ*=0.698,将计算得到的最优水平截集值λ*代入到约束条件中,就可以将纯滚动单圆弧齿轮传动的模糊优化设计问题转化为普通优化设计问题[15]。

2 优化方法

纯滚动单圆弧齿轮的多目标优化设计为具有约束条件的非线性规划优化设计问题,利用MATLAB软件[16]中自带的fmincon函数进行纯滚动单圆弧齿轮传动机的构模糊优化设计。fmincon函数是一种局部优化函数,原理是给定初始点后,根据目标函数和约束函数的一阶导数,在满足约束条件下,沿着目标函数的下降方向进行迭代,直至收敛。

多目标函数优化问题的求解中,可能存在各个分目标函数的最优解相互矛盾,有时甚至是完全对立的,很难得到完全解。因此在实际工程应用中,需要根据目标的重要性对目标进行加权量化,并构造适当的评价函数来进行求解。因此,基于上述分析,采用线性组合法将多目标优化问题转化为单目标优化问题,则构造纯滚动单圆弧齿轮的优化目标函数为:

f(x)=107w1f1(x)+107w2f2(x)+w3f3(x)

(11)

式中:w1、w2、w3分别为目标函数f1(x)、f2(x)、f3(x)的加权系数,w1+w2+w3=1。

由于fmincon函数的最优解和初值的选取关系密切,要选取合适的初值,需要分析纯滚动单圆弧齿轮的单个设计参数对每个目标的影响规律。

3 优化设计

3.1 单目标分析

当设计变量中的任意一个参数发生变化,而其余参数不发生改变时,可以得出纯滚动单圆弧齿轮的单个参数对单个优化目标的影响规律。取x=[3,23,0.6,18.55,1.5]T,得到法向模数对单目标函数影响曲线如图1所示。由图1可知:随着法向模数由1增加到5,相对主曲率半径的倒数呈递减趋势,对纵向重合度没有影响,而体积和呈递增趋势,综合考虑,法向模数在[2.5 3]之间取值,能够满足优化目标条件。

图1 法向模数对单目标函数的影响曲线

改变纯滚动凸圆弧齿轮的齿数z1,使其从17增加到60,得到纯滚动凸圆弧齿轮的齿数对单目标函数的影响曲线如图2所示。从图2中可以看出,齿数对纯滚动单圆弧齿轮的相对主曲率半径影响不是很大,纵向重合度的倒数呈递减趋势,体积和呈递增趋势。综合考虑,纯滚动单圆弧齿轮的齿数z1=35左右取值,能够满足优化目标条件。

图2 纯滚动凸圆弧齿轮的齿数对单目标函数的影响曲线

齿宽系数对相对主曲率半径没有影响,将纯滚动单圆弧齿轮的齿宽系数φ从0.4增加到1,得到齿宽系数对单目标函数的影响曲线如图3所示。从图3中可以看出,纵向重合度的倒数呈递减趋势,体积和呈递增趋势,齿宽系数对重合度的影响较大。

将纯滚动单圆弧齿轮的螺旋角β从10°增加到25°,得到螺旋角对单目标函数的影响曲线如图4所示。由图4可知,相对主曲率半径的倒数几乎没有影响;纵向重合度的倒数呈递减趋势;而体积和呈递增趋势,几乎不变。即螺旋角对纵向重合度的影响很大,而对其余两个目标影响不大。

图4 螺旋角对单目标函数的影响曲线

齿廓系数对单目标函数的影响曲线如图5所示。由图5可知,纯滚动单圆弧齿轮的齿廓系数对第二个和第三个目标函数没有任何影响,即纯滚动凸圆弧齿轮的齿廓系数不影响纯滚动单圆弧齿轮的纵向重合度和体积和,只对相对主曲率半径有影响,且几乎不变。

图5 齿廓系数对单目标函数的影响曲线

上述结果表明,通过改变纯滚动单圆弧齿轮的设计变量能够对纯滚动单圆弧齿轮的相对主曲率半径、纵向重合度、体积和的影响进行量化。在设计变量中,法向模数对纯滚动单圆弧齿轮的相对主曲率半径影响权重最大,其次是齿数、齿廓系数,螺旋角对目标函数一几乎没有影响,齿宽系数对目标函数一没有影响;齿数、齿宽系数、螺旋角对纵向重合度影响大,且随之增加而减小,其他参数对目标函数二没有影响;法向模数、齿数、齿宽系数对齿轮体积和影响大,且随之增加而增加,螺旋角对目标函数三影响较小,齿廓系数对目标函数三没有影响。影响程度从高到低的排序为:法向模数、齿数、齿宽系数、螺旋角、齿廓系数。在对纯滚动单圆弧齿轮的参数优化设计中,通过对上面几个参数的合理选择,能够提高纯滚动单圆弧齿轮的接触性能和承载能力,并减少纯滚动单圆弧齿轮的体积,降低质量,可达到节省材料并降低使用成本的目的。

3.2 多目标优化

根据单参数对单目标函数的影响规律分析结果可知,法向模数主要影响相对主曲率半径与体积和;齿数、齿廓系数主要影响纵向重合度和体积和;螺旋角主要影响纵向重合度,即齿廓系数对三个目标函数的影响都不是很大,因此取齿廓系数ρ*=1.5;将重合度转化为约束条件,即0

利用MATLAB软件,编写纯滚动单圆弧齿轮传动模型优化设计程序,以x=[3,23,0.6,18.55]T为初始值,其目标函数值为[0.082 7,0.678 4,1.193 3e+06]T;取最优水平截集值λ*为0.698,计算得到的模糊优化的最优解为:x=[ 1.698 0 18.396 0 0.519 8 10.792 0]T,根据前面的分析,取x=[1.7,20,0.5,18.55]T,计算得出f1(x)=0.169 91,f2(x)=1.01,f3(x)=1.17×105。利用多目标模糊优化设计方法计算得出在mn=1.7,z1=20,φ=0.5,β=18.55°,ρ*=1.5时,能够提高纯滚动单圆弧齿轮的接触性能和承载能力,并降低纯滚动单圆弧齿轮传动机构的体积和。

4 结 语

文章综合利用模糊评判方法和优化设计方法,以纯滚动单圆弧齿轮的相对主曲率半径最大、重合度最大和体积和最小为优化设计目标,建立了纯滚动单圆弧齿轮传动机构多目标的模糊优化模型,提出模糊优化的约束条件,对单目标进行了分析,然后利用MATLAB软件中自带的fmincon函数对纯滚动单圆弧齿轮进行多目标模糊优化设计。

通过设计分析得出:法向模数对纯滚动单圆弧齿轮的相对主曲率半径影响权重最大,其次是齿数、齿廓系数,螺旋角对目标函数一几乎没有影响,齿宽系数对目标函数一没有影响;齿数、齿宽系数、螺旋角对纵向重合度影响大,且随之增加而减小,其他参数对目标函数二没有影响;法向模数、齿数、齿宽系数对齿轮体积和影响大,且随之增加而增加,螺旋角对目标函数三影响较小,齿廓系数对目标函数三没有影响。影响程度从高到低的排序为:法向模数、齿数、齿宽系数、螺旋角、齿廓系数。利用多目标模糊优化设计方法计算得出,在mn=1.7,z1=20,φ=0.5,β=18.55°,ρ*=1.5时,能够提高纯滚动单圆弧齿轮的接触性能和承载能力,并降低纯滚动单圆弧齿轮传动机构的体积和,其分析结果为改善纯滚动单圆弧齿轮的受力和轻量化设计具有重要意义。