以问题为导向的复变函数课程信息化、多样化、模块化教学重构

2024-03-05杨鹏教传玲屠良平胡煜寒

科学咨询 2024年2期

杨鹏，教传玲，屠良平，胡煜寒

（1.辽宁科技大学理学院，辽宁鞍山 114004，2.鲁迅美术学院附属中等美术学校，辽宁沈阳 110045）

复变函数作为数学专业数学分析及工科高等数学的后续课程，它是高等数学在复数范围内的推广和发展。复变函数在数学各个分支中均有着重要的应用。不仅如此，作为一种强有力的工具，也被普遍应用于自然学科的各个领域。复变函数一方面是微分方程、奇异积分方程、计算数学和概率论等数学分支的主要解析方法，同时又为空气动力学、流体力学、自动控制、信号处理、电子工程等学科提供了广泛的几何定性研究方法[1]。因此，该学科无论是对数学专业学生还是工程技术类学生都是进一步学习专业知识不可或缺的学习内容。

复变函数也是新中国成立后，我国学者最早投入研究的一门理论。我国数学家对其做出了许多卓有成效的工作。华罗庚、陆启铿建立了典型域上的调和函数理论,解决了调和函数的Dirichlet问题[2]。杨乐和张广厚对亚纯函数值分布作出了杰出的贡献[3]。最近，出身北大的张益唐在黎曼猜想方面做出了重要的进展。

与此同时，复变函数课程的建设及发展取得了令人瞩目的成绩。近些年，随着国家对社会应用型人才的需求，我国在教育教学各方面都做出了重大的改革，对复变函数课程的教学也提出了更高的要求。为了应对这些变化及需求，大多数学校的复变函数课程学时缩减为32学时，或48学时，这也带来了新的教育教学问题。从文献[4-7]可以看出，复变函数课程教学面临着课时少、学生多、专业方向各异、学时不同、师资不足等普遍问题。针对这些问题，学者们在文献[8-11]中从各个方面讨论了复变函数教学内容的可视化方法。在文献[1,4,12-13]中，学者们从不同专业角度出发，讨论了复变函数的课程教学改革。

本文从课程内容出发，针对辽宁科技大学数学专业复变函数课程教学改革，提出了一种以问题为中心的信息化、多样化、模块化的解决方案。通过该方案对复变函数课程内容的重构，可以有效解决复变函数教学面临课时少、学生多、专业方向各异、学时不同、师资不足等问题。

一、主要解决的教学问题

复变函数课程是我校资源共享课程，它建课历史悠久，改革成果丰富。2019年，申报并获批辽宁省线上线下混合式一流本科课程、校一流本科课程；2020年，申报并获批校级“课程思政”建设项目；同年，该课程参加并获2020年教学创新大赛暨首届课程思政教学设计大赛院三等奖；2021年，该课程申报并获批2021年校级课程考试考核方式方法改革项目。该课程还申报了2021、2022年跨校修读，借鉴外校精品课程的先进教学经验，进一步完善本课程教学方法与内容。在我校复变函数课程教学改革的探索过程中，我们遇到如下几个教学问题：

（一）先修课程与复变函数课程的知识衔接

学习复变函数，需要一定的高等数学基础，需要学生首先掌握极限、导数、积分等基本运算。因此，该课程一般安排在学完高等数学之后。考虑到大三课程负担较少，之前这门课程主要排在大三上学期。由于这一阶段的学生已对高等数学知识内容逐渐陌生，教学效果并不理想。之后，也有一些学院专业将复变函数课程调整至大二上学期。但这又面临着这学期学生的课程相对较多，课业负担也比较重，在课程上很难做到兼顾等问题。另外，尽管大二学生刚系统地学习过高等数学，但在学习复变函数知识，尤其是跟高数内容衔接比较紧的内容时，并没有及时地去回顾相关的知识。此外，还有不少学生对高等数学及其后续课程有恐惧抗拒心理，这势必影响到学生对该课程的掌握程度，增加复变函数课程的教学难度。因此，无论是放在大二，还是放在大三进行复变函数课程教学，都各有取舍，在课程衔接方面都面临着一定的困难。

（二）课时少、师资队伍有限

复变函数理论广泛应用于物理、控制论、信号处理、电子工程等诸多领域，是理工科学生一门不可或缺的课程。其相关的知识应用案例丰富，更适合分门别类按不同的专业、培养能力、人才类型提供不同的有针对性的教学内容及培养方式。我校理学院与电信学院均开设了复变函数课程，但师资队伍有限，传统的教学方式无法做到同时面面俱到。

近些年来，随着学生培养计划的修正和专业课程的调整，原本课时数减少，而该课程需要讲述的重要知识点和重点内容仍保持不变。这样课堂上教师教授的内容量相对增加，教学速度也相对加快，对于知识的深度和广度无法预留充足的时间去探讨和深入研究，很多教学内容只能一概而过，造成学生很难在短时间内真正掌握有用的知识，更无法通过创新能力来运用这些知识，逐渐让学生丧失学习兴趣，从而难以达到理想的教学效果。

杨家溪是一个摄影人不得不来的地方，因为霞浦最出名的一张照片就是出自这里，这也是我此行最期待的拍摄地。杨家溪号称闽东小武夷，亦有海国桃源的美誉，这里的溪水纤尘不染，水质清冽，可乘竹排顺流而下。这里拥有纬度最北的古榕树群和江南最大的纯枫叶林，最值得一提的是一株“榕树王”，树龄已有800多年。大榕树似乎有着灵气，一路上阴雨不断，可当我们抵达这里时，久违的太阳终于露出头来，在烟雾缭绕的环境之中，洒下了漫天的光束。

（三）原有的教学方法无法适应新时代教学需求

随着我国教学改革及信息技术的发展，翻转课堂、课程思政等新的教学需求的提出。复变函数传统教学内容、方法及手段逐渐无法满足在精简学时的前提下更全面、直观的新时代教学需求。

二、以问题为导向的教学重构

（一）教学内容的重构

目前我校复变函数教学面临课时少、学生多、专业方向各异、学时不同、师资不足等问题。综合这些问题，我们提出具体改革内容如下：

1.教学内容信息化：将所有不同专业的复变函数教学内容，按知识点信息化并方便学生获取学习，解决课时不足带来的无法全面地介绍复变函数理论的问题。

2.教学方式多样化：将教学内容制作成微课、扩展阅读、讨论题、小组项目等。增加知识点传授方式的多样性，提高学生的参与度，培养学生的学习能动性。解决学生学习兴趣不足的问题。

3.教学方式现代化：将我校传统的复变函数线下教学模式，改为线上线下混合式教学模式。教师在线上使用软件进行教学管理，比如课前签到，课堂提问等均通过软件进行。这样教师不仅可以提高教学效率，还可以合理准确的记录教学活动。

4.线上内容差异化、线下内容同一化：线上按专业设置不同学习模块（见表1），由学生自主选择学习内容，线下教授复变函数在各专业方向的共识内容。比如，数学专业教师主要强调理论的掌握，而自动化专业教师则强调计算与应用。计算方法作为共识内容可以作为线下内容集中授课，而理论和应用部分则作为差异化内容主要由学生在线上学习。这样可以有效的解决专业各异、学时不同带来的教学困难。

表1 按不同专业设置的线上线下学习模块

（二）教学设计的重构

针对学生大部分基础差、学习兴趣不大、专业多样等特点。我们提出如下线上线下相结合的教学设计与方案。

图1 线上线下双循环模式

2.课前环节——促进预习。学生根据上一节的内容预告及布置的线上学习内容完成观看设计好的教学视频，对这一节的内容进行提前预习。通过线上作业巩固上一节的学习内容，并引发学生对下一节内容的思考。教师通过学生的线上学习信息反馈合理调整下一节学习内容。通过课前10分钟的开放性质的课前测验完成回顾上一节的教学内容。课前测验允许学生查阅资料及相互沟通，以此达成以测验促学习的目的。

3.课上环节——保证听讲。通过问题引导的方式探索将要学习的知识。然后通过问题分析及反例举例给出一个知识点的大致框架；其次，设定一些证明的关键节点，通过引导的方式由学生给出关键节点的证明，最终得出正确结论，并由内容逻辑关系引出新的问题，从而引出下一个知识点。

4.课后环节——帮助复习。根据课上布置的学习内容，线上学习相关知识点及相应的任务点。任务点包含视频、作业、和课外阅读。学生可以通过完成任务点，补充理解课上内容。线上作业依据相应知识点随机生成，允许学生分组讨论共同完成。随机生成的题目避免了学生互相抄袭，得到的线上数据更能真实反映学生对知识点的掌握情况；题目的多样又促进了学生以互相讨论的方式完成，有效地提高了教学设计的可执行度。

5.线下轻理论、重计算。线上重练习、应用。我们将复变函数课程内容分成两部分：理论和计算。理论部分主要培养学生的数学逻辑思维，在讲授过程中耗时较长，学生难于理解，效果不明显。借助线上线下教学模式，我们在课堂上不再详细讲述理论的推导细节，而只说明理论的证明思路。对于证明细节则制作成微课，由学生线上自主观看。线下课堂上，我们重点讲清由理论引出的计算方法。

6.按学习的不同阶段布置作业，以作业促进学生完成“预习—听讲—复习”三阶段。线上作业分为两部分：

（1）课堂笔记部分：每章收取一次，主要考查学生完成度。依此促进学生听讲，养成良好的学习习惯，对于上课记笔记的同学不会造成任何课后负担。

（2）课后习题部分：依据相应知识点随机生成，允许学生分组讨论共同完成。

7.评价机制——保障预期效果。为保障学生线上、线下学习能够达到预期效果，我们建立了多元化、科学、合理的评价机制（见表2），主要包括以下几个方面：

表2 多元化的线上线下学习评价机制

（1）线上学习过程记录评价：包括学生的观看视频、完成线上作业、任务点的情况。

（2）线下学习过程记录评价：包括课前测验、课上互动。

（3）单元学习评价：包括单元测验、期中测验。

三、教学成效及推广价值

（一）教学成效

1.近几年，我们与外校合作，借鉴优秀辽宁省高校复变函数精品资源共享课程，结合自制的微课，课程资源得到极大的丰富和补充。目前，教学资源包括课程视频、思政案例、课后习题等已细分到每一个知识点、每一个课程教学环节，能够按不同的专业、不同学时、不同教学环节需求进行筛选整合，增加了学生学习的自由度。同时，丰富的教学资源，极大地提升了教学各环节的实施效率。

2.充分利用手机、电脑、投影仪等多媒体设备作为教学工具，及时获悉学生学习效果反馈，及时调整教学内容。以大量、丰富的课堂互动来推动启发式的教学方式，让学生在互动中学习教学内容，在互动中培养学生的思维方式和解决问题的方法。在实施过程中，发现学生能够通过自主思考互相讨论得出结论并回答，这样不但避免了传统课堂教学时学生不愿举手，老师自问自答的尴尬处境，达成了期望的教学目的，还能了解学生的掌握情况，并依此调整教学内容，对于正确率较高的内容我们就略去讲解，而正确率较低的内容则详细说明。

3.人数较多的课堂不适合使用翻转课堂。由于学生主对学习的意愿不同，导致每个学生的学习进度不同。翻转课堂无法保证学生在指定时间内完成规定的学习任务。我们将线上教学内容设置为任务点，以保证学生完成必要的知识学习。同时，由于课上的小组讨论占用太多课堂时间，容易拖慢教学进度，作业形式的小组线下讨论有效地解决了这一问题，实现了人数较多情况下的翻转课堂。

4.为确保充分发挥课上教学的作用，让所有学生都全身心地投入到课堂学习中，我们增加了丰富的课堂互动，但这也带来了新的问题。在线上互动中我们发现，部分学生线上答题应付了事。如何调动这些学生积极参与到教学过程中，是我们需要进一步研究的。