“去方程化”的分数应用题教学探究

摘 要 分数应用题是小学数学的难点，现有教材中大量借助方程处理分数中的复杂数量关系。《义务教育数学课程标准（2022年版）》将方程内容从小学移出后，亟需形成“去方程化”的分数应用题教学变革。分析现有教材的变迁、对比国外教材，可以发现方程并不是分数应用题教学的必要条件。在不借助方程时，首先通过“量”和“率”的分类讨论，把握分数应用题和整数应用题的迁移联系；进一步通过构建数量关系结构，明晰分数问题中加减乘除列式的算术意义；最后通过比、分数、除法之间的大单元联系，实现分数应用题的整体教学。

关  键  词 小学数学；分数应用题；方程；“去方程化”

引用格式 牛延凯.“去方程化”的分数应用题教学探究[J].教学与管理，2024（05）：32-36.

在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中，方程是小学数学的重要内容。因此，现有教材编排中把方程作为解答分数应用题的重要方式，并取得一定成效。而《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称 《2022年版课标》）将方程内容从小学调整到初中学段。史宁中教授解释了调整的原因：在小学阶段没有涉及到方程的本质，也没有感知方程的必要性。方程作为解决问题的重要方式，调整出小学阶段后，影响较大的是应用题的教学，其中以分数应用题尤甚。不借助方程，如何突破这一教学难点？本文依托人教版、北师大版、青岛版数学教材中的部分题目，将原有的方程思路调整为算术思路，着重讨论“去方程化”的分数应用题教学方式，为新课标修订后的分数应用题教学提供参考。

一、方程在分数应用题中的教学现状

1.现有教材中的分数应用题教学充分发挥了方程的优势

现有教材编排中分数加减法问题、正向思维为主的分数乘法问题以算术列式为主，逆向思维为主的分数除法问题以列方程为主。以人教版教材“分数除法”单元为例，单位“1”未知的例题出现了4次，只有1次采用了算术列式，其余均采用方程列式。而北师大版教材和青岛版教材中，对单位“1”未知的分数除法问题全部采用方程列式。

正是因为这些优势，把方程引入小学，实现算术思维到代数思维的过渡，一度被看作是新课改的重要成果，也在一定程度上降低了分数应用题的难度。上海杨浦区曾做过对比分析，对63所学校9 574名学生进行解分数应用题能力测试，平均成绩达88.8分，高于使用老教材的对照学校10分以上[1]。

2.国外教材中的分数应用题教学并未将方程作为必要条件

然而，列方程解分数应用题并不是所有版本教材的共识。如美国加州版数学教材中的分数应用题例题并没有出现列方程思路，而是综合运用多种问题解决方法，如分析法、作图法和转换法等。其实，美国的数学教材在四年级便引导学生“用字母、计算符号去表示代数式和方程”[2]，但在五、六年级教材中方程并没有成为解分数应用题的思路。加州版教材主要通過情境设计简化数量关系的分析过程，通过辅助图示直观理解，通过螺旋式编排对同一种题型反复学习以降低难度。这些措施是分数教学的重要思路，也说明方程不是分数应用题教学的必要条件。

3.课堂中的分数应用题教学坚持方程和算术并重

方程在国内小学数学教材中的编排方式曾多次调整，方程概念从无到有，方程解法也不断发生变化。早期曾借助四则运算关系解方程，自从2001年课改后，教学中开始运用天平的平衡原理和等式性质解方程，其优点是直观形象，符合小学生的认知特点[3]，但缺点是解方程步骤比较繁琐。正因为方程概念和解法在小学一直不够完善，在解决问题时，一线教师并不完全依赖方程，而是算术方法和方程并重。

在课改之初的2008年，洪婷对“执教分数应用题时，你更喜欢什么方法？”这一问题的调查数据显示，算术方法仍然有很大的受众，其中一线教师喜欢方程思路的占比49.6%，喜欢算术方法的占比50.4%[4]。2011年后，随着现行教材的使用，方程解题思路受欢迎程度增加，但算术方法仍在不断探究，比如一线教学中广泛通过单位“1”的分析来辨别是用分数乘法还是分数除法[5]。所以，目前的分数应用题教学中，教材虽推崇方程思路，一线教师也往往补充算术思路以供学生参考。

整体来看，方程调整出小学阶段后，对学生而言，需要直面分数问题中的逆向数量关系；对教师而言，需要着重建构分数除法的数量关系模型，以便形成算术列式基础，这是《2022年版课标》 出台后分数应用题教学面临的重要挑战。

二、分数应用题学习中的主要障碍

学生在运用分数解决问题时往往会遇到诸多障碍，主要包括理解题意时的阅读障碍、知识关联时的迁移障碍、分析数量关系时的结构障碍、具体求解中的计算障碍等。无论是否引入方程，这些障碍都会在一定程度上存在。

1.阅读障碍：分数在生活中所见不多

2.迁移障碍：整数应用题的经验无法直接迁移

数的扩充是一个不断迁移的过程，教师应引导学生把握整数、小数、分数之间的迁移联系，在“原数”的基础上学习“新数”，提高认知效率。整数应用题中的思维方式对小数应用题以正迁移为主，而对分数应用题学习却是正迁移和负迁移并存。在理解不到位时，前期形成的思维定势对分数学习易造成认知混淆。分数表示一个“量”时，整数应用题的前期经验迁移比较顺利；分数表示一个“率”时，原先整数中的解题经验难以直接迁移。对这一类问题，教师在教学中需要重点分析。

3.结构障碍：数量关系结构复杂

运用算术方法解答分数应用题，最大的障碍在于学生难以厘清其中的数量关系结构。主要表现为以下三点：

（3）“量”和“率”的对应关系。例如：①一条路走

现行教材中，方程介入之所以能够降低难度，主要体现在这一层面。如上所述，方程可以实现分数乘法和除法问题的沟通与转换，不需要专门学习分数除法关系结构，也不需要提前建立“量”和“率”的对应关系。

4.计算障碍：分数运算的复杂性

在数的扩充中，小数和整数都是十进制位值计数法，整数计算经验容易迁移到小数，而分数计算时，通分、约分以及分数的四则运算方式发生明显变化。分数运算从加减推进到乘除，运算越来越复杂，逐渐变得“观而难直”[7]。在分数应用题中，分数除法的数量关系最难理解，同时计算难度也是最大的。这是因为在小学算术专题中，分数除法是对最复杂的数作最难的运算[8]。在计算层面，方程介入并不能降低分数运算的复杂性，相反小学解方程步骤的繁琐反而会增加计算难度。

对以上四类障碍，阅读障碍客观存在，但教材编排时已进行了情境化处理；计算障碍在方程调整出小学后反而会降低难度。因此，《2022年版课标》实施中需要着重解决的是迁移障碍和数量关系结构障碍，即整体把握分数应用题与整数应用题的迁移联系，厘清分数应用题中的数量关系结构，为算术列式作基础。

三、“去方程化”的分数应用题教学策略

1.分类讨论的角度：辨析分数应用题中的“量”和“率”

在“量”和“率”的分类讨论中初步解决分数应用题中的迁移障碍，即表示“量”的分数应用题迁移顺利，理解起来并不复杂；表示“率”的分数问题，原先的关系模型难以直接应用，教学中要重新分析其关系结构。从量纲的角度，表示“量”和“率”的分数其外在形式容易区分，是一种天然的分类方式。由外在形式延伸到内在意义，学生在思考分数问题时便会有不同的分析倾向和理解角度，在分类中提高理解效率。

2.数量关系模型角度：明晰分数应用题中的数量关系结构

分数问题的难点主要是指作为“率”的分数，在处理这类分数时，不借助现有的方程体系，分数加减乘除的算术意义如何理解呢？分数表示“率”时有两种关系：部分量和整体量之间的分率关系；两个不同量之间的分率（比率）关系。我们可以立足分数概念，从最基本的数量关系式入手，明晰其数量关系结构。

（1）明晰部分和整体之间的分率关系结构。教材往往从部分与整体的角度引入分数意义，通过分蛋糕、分图形等平均分活动表征部分在整体中的大小，以此认识作为“量”的分数。同时，进一步借助这些实物图形，直观呈现部分量在整体中占据的份额，即部分和整体之间的分率关系。对这类分数，其基本数量关系式为：部分÷整体=对应的分率。以其为基础可演绎出两个变式，分别作为分数乘法和分数除法的数量关系式：①整体×对应的分率=部分，即知道整体求部分用分数乘法；②部分÷对应的分率=整体，即知道部分求整体用分数除法。

（2）明晰两个量之间的分率（比率）关系结构。部分量占据整体量的份额可進一步引申为一个量占据另一个量的份额。这类问题将引向分数的“比的定义”形式，即作为“率”的分数还能用于分析两个量之间的分率（比率）关系，其基本数量关系式为：比较量÷标准量=对应的分率。以其为基础演绎出两个变式，作为分数乘法和分数除法的数量关系式：①标准量×对应的分率=比较量，把标准量看作单位“1”，即单位“1”已知时用乘法计算；②比较量÷对应的分率=标准量，即单位“1”未知时用除法计算。

因此，在不引入方程时，可借助基本的数量关系式沟通分数乘除法的联系。对应分数的产生过程，“部分÷整体=对应的分率”“比较量÷标准量=对应的分率”是两种基本关系，前者的两个变式处理整体与部分之间的分数乘除关系；后者的两个变式处理不同量之间的分数乘除关系。这样，从分数的概念意义递进到分数乘除法的算术意义，形成一种严密的数量关系结构。

教学中，单位“1”的引入可以更好地把握以上两类关系模型之间的内在联系。即无论是整体量还是标准量，本质上都可看作单位“1”，单位“1”已知求其他量借助分数乘法，而求单位“1”则借助分数除法。

3.几何直观角度：把握“量”和“率”的对应关系

4.单元整体教学角度：综合运用分数的多种定义形式

分数的多种定义形式对理解分数应用题是一把“双刃剑”：一方面，学生需要在多种意义的区别与转换中经历分数概念的长期建构过程，但受学习进度制约，学生易出现分数概念理解的片面化，影响分数问题的理解效率；另一方面，以不同形式的分数定义为基础把握分数概念的不同角度，联系分数与除法、分数与比的关系，可以丰富分数问题的解题思路。

以往的分数应用题教学中，常常只重视份数定义，忽略其他分数定义的综合应用。2022年版课程方案指出：“改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计。”[10]因此，分数应用题的教学，可以综合运用分数多种定义之间的联系，在分数、除法、比的大单元关联中丰富解题方式。

当分数作为一种比率出现时，基于比的定义理解其中的数量关系更为简单。由于分数乘除法学习在前，比的概念在后，教学中除了运用单元整体视角外，还可运用通俗的语言，通过分析各个量之间的份数关系去理解比率。

（2）结合分数与除法的联系，理解分数应用题。分数中商的定义方式沟通了分数与除法的关系，从这个角度看分数所表示的分率关系是倍数关系的拓展，分数问题可以类比早期整数中“倍”的问题进行整体理解。除法单元中，在包含除关系的基础上可以扩展形成倍的概念，包含除侧重“有几个几”的理解过程，也可以引申为较大的数是较小数的几倍，而当结果不能整除时便需要引入分数。和倍一样，这时的分数也没有量纲。由此可见，用无量纲性分数分析数量间的分率（比率）关系时，“分数倍与整数倍意义一样”[11]，分数比整数更为精确地表征两个量之间的相除关系。同时，这一类分数问题和早期的倍数问题在学习时可以类比迁移。

以人教版数学教材“分数与除法”一节的例题为例：小新家养鹅7只，养鸭10只，养鸡20只，鸡的只数是鸭的多少倍？鹅的只数是鸭的多少倍？两个问题都是一种包含除计算模型，只不过整除时是一个“倍”，不能整除时是一个“分率”，鸡的只数是鸭的2

综上所述，虽然现行数学教材编排时充分发挥了方程在分数应用问题中的优势，但方程并不是解分数应用题的必要条件。《2022年版课标》把方程内容调整出小学后，可以通过分类讨论区分应用题中的“量”和“率”，前者可以迁移整数应用题的活动经验，而表示“率”的分数，可通过把握分数产生过程中的两个基本数量关系式，厘清其中的乘除关系，在“率”和“量”的对应中厘清其中的加减关系，进而形成分数问题的加减乘除算术意义。最后，基于大单元视角，在分数和比、分数和除法的联系中进一步丰富分数应用题的理解方式，提升问题解决效率。

参考文献

[1] 张福生.上海课改30年数学教材改革点滴拾遗（下）[J].上海课程教学研究，2018（12）：7-10.

[2] 曾柯.中、美、印小学数学分数应用题教材的比较研究[D].广州：广州大学，2018.

[3] 杨玉翠.“解简易方程”教学的几点思考[J].中小学数学（小学版），2010（10）：14-15.

[4] 洪婷.分数应用题的教学现状及策略研究[D].杭州：杭州师范大学，2011.

[5] 林善颖.小学数学分数乘除法应用题教学探究[J].课程教育研究，2017（41）：136.

[6] 张奠宙，巩子坤，任敏龙，等.小学数学教材中的大道理[M].上海：上海教育出版社，2018：128.

[7] 巩子坤，张希，金晶，等.程序性知识课程设计的新视角：算理贯通，算法统整[J].课程·教材·教法，2021，41（06）：89-95.

[8] 马立平．小学数学的掌握和教学[M]．上海：华东师范大学出版社，2011：52.

[9] 张奠宙.分数的定义[J].小学教学（数学版），2010（01）：48-49.

[10] 中华人民共和国教育部.义务教育课程方案（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022：86.

[11] 赵莉，王春英，史宁中.分数概念表述和分数除法运算的比较研究及其对教学的启示[J].数学教育学报，2021，30（03）：46－51.