核心概念统整下的数与运算一致性教学探索

摘 要 培养学生核心素养是新一轮课程改革的重要目标。小学数学数与运算主题是培养学生核心素养的重要知识载体。小学阶段数与运算一致地表现为计数单位及个数多少的表达。以核心概念统领数与运算的教学，帮助学生建立计数单位的概念，建立数与运算的认知结构；紧扣核心概念设计基本问题，实施一致性教学，帮助学生用结构化的知识形成结构化的思维和方法，是数与运算一致性教学的一般路径。

关  键  词 核心概念；数与运算；一致性；计数单位

引用格式 熊淑君.核心概念统整下的数与运算一致性教学探索[J].教学与管理，2024（05）：55-59.

数与运算是义务教育小学数学数与代数领域的知识，是小学数学最基本、最核心的内容之一，一直以来备受一线教师关注。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）确立了核心素养导向的课程目标，强调通过教学内容结构化整合发展学生核心素养。在数与代数领域将这一路径具体化为“初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质的一致性，形成数感和符号意识；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识”[1]。如何将《课程标准》倡导的教学理念和教学方式落实到数与运算课堂教学中，是新一轮小学数学课程改革的重头戏。教学实践表明，以核心概念统整达成数与运算教学的一致性是培养学生的数感、符号意识、运算能力和推理意识的基本路径。

一、整体认识数与运算的一致性

义务教育小学数学课程的数与运算主题内容包括整数、小数和分数及相应的四则运算。开展数与运算的一致性教学，我们首先要厘清整数、小数和分数三个数概念的一致性，整数、小数和分数的四则运算的一致性，以及整数、小数和分数与运算的一致性。

1.数概念的一致性

整数、小数和分数的表现形式各不相同，不同形式背后却有着相同的本质。它们都是人们在生产和生活中用来表示物体个数的符号。人们最初“一个一个”数数，后来按“群”计数，产生了自然数的计数单位“一、十、百、千……”；随着生产和生活的需要，人们通过单位“1”的等分产生了新的、更小的小数和分数的计数单位：“十分之一、百分之一、二分之一、三分之一……”从这个角度讲整数是计数单位不断累加的结果，是宏观的计数；分数和小数是计数单位不断细分所致，是微观的计数。小数和分数是数概念发展的两个不同方向，它们以整数为基础共同构成了完备的小学数学数概念知识结构。我们用有限的10个数字表达无限的“宏观”或“微观”的数，依赖于计数单位、数位、位值制、十进制等基本概念的支撑，对数的多元表征都一致地表达了计数单位个数的多少（见表1）。

2.四则运算的一致性

义务教育小学数学的四则运算包括整数四则运算、小数四则运算和分数四则运算。不论是四则运算的意义还是算理，整数、小数和分数都体现出高度的一致性。

（1）四则运算意义的一致性。教科书是教学内容及其结构的载体，它体现了学科知识的科学性和学科结构的严谨性。各个版本的小学数学教科书对四则运算的编排都一致地表现为先分段学习整数四则运算及其相互关系，再推广到小数和分数，因此整数、小数和分数四则运算的意义是完全一致的（如图1）。

整数、小数和分数的四则运算都是以加法为基础的计数单位及其个数的变化：加法是计数单位的增加，减法是计数单位的减少，乘法是计数单位的倍增，除法是计数单位的细分。

（2）四则运算算理的一致性。整数、小数和分数四则运算的算法各不相同，不同算法背后却是相同算理的支撑：整数、小数和分数加减法中的相同数位对齐、小数点对齐、同分母分数分母不变分子相加减、异分母分数通分后再加减，其背后的算理都是相同计数单位个数的加减。整数、小数和分数乘除法算理的一致性如图2。

3.数与运算的一致性

通过上面的分析我们可以清楚地知道，数是对计数单位及其个数的表达，四则运算则是计数单位及其个数的增减变化，二者的研究对象是一致的。从其内部的逻辑联系上看，数是运算的对象和基础，没有数也就不会有相关的运算，四则运算是数概念的具体化和发展。数的组成是数与运算的纽带，如根据2和5组成7，可以计算2+5=7；同时数的运算又是对数概念的巩固，如45-7，先算15-7=8，再算30+8=38，把45分成了30和15，是对数结构的再认识。因此，不要孤立地看待数与运算，应根据事物普遍联系的辩证唯物主义观点，将数与运算纳入同一学习任务的不同侧面，它们是不可分割的有机整体。

二、以计数单位统领数与运算的教学

布鲁纳指出，要“给予那些和基础课有关的普遍的和强有力的观念和态度以中心地位” [2]。在数学教学中“将基本概念、基本规律和基本原理等核心内容置于教学的中心地位”[3]是新一轮课程改革的价值取向和共同追求。数与运算的核心是计数单位，因此，要切实树立起计数单位的核心地位，引导学生深刻理解并掌握计数单位的概念，建立起概念间互相融通的复杂认知结构。

1.突出计数单位在数与运算中的核心地位

从数与运算的一致性可以知道：数概念是对计数单位及其个数的静态描述，四则运算是计数单位及其个数的动态表达。计数单位从不同状态反映了数与运算的共同本质，它既是学习数与运算知识结构的逻辑起点，又是统领该部分知识内容的理论支柱。学生能否整体把握数与运算的知识结构，很大程度上取决于对计数单位的理解与掌握水平。因此，教师应自始至终把计数单位置于教学的中心地位，突出它的统帅作用。

计数单位是数与运算知识结构中的基本概念，具有广泛的迁移力和普遍的实用性，在它的统领下，其他知识都可以看成是特定情境中的具体化。如数位是计数单位所占位置的命名，十进制是计数单位之间进率的具体化，算式50+8=58、0.53-0.5=0.03等从根本上讲是数的組成的具体应用，而数的组成本身就是计数单位个数的表达。

2.帮助学生切实建立起计数单位的概念

核心概念具有的广泛迁移力是建立在学生深刻理解并掌握的基础之上的。计数单位是一个抽象的概念，伴随着学生数与运算学习的全过程。小学生从开始数数就接触计数单位，到人教版数学教材四年级上册正式抽象概括出计数单位的概念，进而将计数单位扩充到小数和分数中，经历了“具体—抽象—具体”的建构过程，这是教材对计数单位知识结构与学生认知结构相结合的教学法处理。

数与运算的教学中，教师应根据学生年龄特点和认知水平采取适合的教学方式循序渐进地帮助学生理解并掌握计数单位这一核心概念。如低年级学生教学中应充分运用操作、观察等直观手段，把计数单位的本质属性以形象的物化过程展现出来，帮助学生在头脑里建立起清晰且正确的表象，从而更好地感知其深刻含义。如计数单位“十”，通过把10根小棒合起来，捆成一捆的动作表征，在头脑里形象地建立1个十的表象，进而半抽象为计数器十位上的一颗珠子、记作十位上的数字“1”，经过层层抽象，逐步建立“十”的单位概念。随着学生年龄的增长、认知水平的提高以及数域的不断扩充，计数单位的知识也可以根据迁移原理类推出来，如根据10个十是1个百，类推出10个百是1个千等。

数源于数，数数是帮助学生建构计数单位概念的重要数学活动。数数的本质就是数计数单位的个数。通过数数不仅可以丰富学生对计数单位的体验，同时还能加深对满十进一的理解。不同方式的数数，更是能帮助学生沟通不同计数单位之间的关系。如数35，学生可以一个一个地从1数到35，其中9的下一个数是10，19的下一个数是20，29的下一个数是30。如此，学生对满十进一就会产生深刻的体会，积累数数的经验。同样是数35，学生还可以一十一十地数出3个十，再一个一个地数出5个一，借此理解35是由3个十和5个一组成。对比沟通两种数数方法，学生还能得出35既可以由35个一组成，也可以由3个十和5个一组成，理解不同表征背后相同的大小关系。

3.以计数单位为核心建立起数与运算的认知结构网

脑科学研究表明，认知结构的层次越丰富，连结越多样，层次之间越融通，就越有利于迁移[4]。计数单位是数与运算认知结构中重要的连结点，通过它可以不断吸纳概念、组织信息，促成数与运算知识结构间的融会贯通。因此，数与运算教学应以计数单位为固着点，将概念、法则、规律等有效组织起来并建立起相互之间的连结。

数与运算知识结构中的具体内容以计数单位为

三、紧扣核心概念设计基本问题，实施一致性教学

问题驱动的课堂教学是小学数学教学的一般模式，作为驱动课堂教学的问题应与核心概念相匹配，具有广泛的迁移力和普遍的适应性，故称之为基本問题。数与运算的教学应以基本问题为驱动，在深度学习中不断丰富学生对核心概念的理解，整体建构认知结构。

1.把握基本问题的融通性，形成知识结构进阶的通道

数与运算的核心概念是计数单位，与之对应的基本问题是“计数单位是什么，有多少个？”这一问题不仅揭示了数与运算的本质，还具有开放性，能激发全体学生对计数单位这一核心概念的持续性思考，形成数与运算知识结构进阶的通道。基本问题贯穿于数与运算学习的全过程，但计数单位是一个高度抽象的概念，教学时我们应根据数与运算的逻辑，顺应学生的年龄特征和思维水平，将基本问题具体化。

如低年级学生认识两位数时，教师可以将“计数单位是什么，有多少个？”这一基本问题具体化为：“怎样用你喜欢的方式表示25？”学生可能回答：用小棒摆出来；用语言读（数）出来；用符号写出来；用算式25=20+5表示等。这个开放的问题留足了学生思考的空间，不同认知水平的学生都能表达自己的理解。通过分享交流，学生之间取长补短，学会用多种方式表示数，建立起清晰的数的表象。针对高年级学生“计数单位是什么，有多少个？”这一基本问题教师可以直接提问，如五年级学习小数乘法3.5×3，人教版教科书借助“一只风筝3.5元，买3只多少元”的情境引出。结合具体情境直接抛出基本问题：单位是什么，有多少个？基于对单位的多元理解，学生呈现不同的算法：3.5元=3元+5角，3.5元×3=3元×3+5角×3=9元+15角=10.5元；3.5元=35角，35角×3=105角=10.5元；3.5=35个0.1，3.5×3=35个（0.1）×3=105 个（0.1）=10.5等。在沟通多种算法基础上，帮助学生理解小数乘法的本质及一般计算方法。

2.优化教学结构，形成一致性学习路径

由数与运算课程内容的一致性决定了课程组织的相似性。教学过程中以真实情境中的真实问题为引领优化教学结构，带领学生充分经历知识的形成过程，形成一致性的学习路径，从而实现从“学会”到“会学”。教材在数与运算知识结构的编写上体现了对学习过程的引导。教师可以遵循教材“准备—建构—应用”的编排逻辑，结合教学内容和学生学情带领学生经历知识的形成过程（如图４）。

学习路径就是在基本问题引领下的学习过程的结构化。路径中自主探究、合作学习是学习的主要方式，是围绕基本问题的个性化学习。分享交流、抽象概括等环节是生生之间、师生之间的对话，教师要引导学生通过数数、读数、写数、数的组成等一系列活动，实际理解数的大小，建立起数的表象或者理解多样算法背后不变的算理，优化出具有普适性的一般算法，抽象概括一般算法的法则。结构化的学习路径强调学生在学习过程中的体验与感悟，强调学生对知识的自主建构，有助于学生学习力的提高，普遍适用于其他数学知识的学习。

3.明确思维方式的共通性，形成结构化思维

数与运算的教学不仅是引导学生掌握数与运算的知识和技能，更重要的是数学经验的积累与思想方法的获得，培养和发展学生的思维能力。数与运算主题结构相似、思想方法相通，因此学习、探究方式也具有共通性。问题引领下共通的学习方式有助于学生思维的结构化。

如通过整数、小数和分数算理共性的研究可以帮助学生形成借助旧经验转化新知识、解决新问题、学习新知识的结构化思维。学习两位数乘两位数14×12，我们的基本问题是：计算的方法是什么？为什么可以这样计算？教学中基本问题转化成具体学习任务：14×12可以怎么计算？哪种方法最好？算一算、画一画、比一比、说一说。任务驱动下，学生首先根据数的结构进行拆分，实现转化，如14×12=14×10+14×2；12=6+6，14×12=14×6+14×6；12=4+8，14×12=14×4+14×8……在此基础上引导学生用竖式表达拆分过程，比较发现拆分成整十数和一位数，能用竖式简洁地表达，具有一般性，从而建构起具有一般性的两位数乘两位数的算法。这个学习建构的过程教师不仅要关注学生怎么做，更应关注学生怎么想。如看到14×12，你想到了什么？引导学生展开这样的思维活动：唤醒（激活旧经验）—关联（通过拆分实现转化）—比较综合（考量旧经验对新情境的适用程度）—抽象概括（调整完善认知，完成新知识建构）。这样的思维架构是探究四则运算算法的一般思维方式，同样也适用于其他数学知识的学习及问题的解决。因此，四则运算中教师要关注并培养学生思维方式的结构化，使之成为学生认知的一般范式，进而广泛迁移应用到学习和生活情境中，促进学生思维水平和解决问题能力不断提高。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022：18.

[2] 布鲁纳.教育过程[M].邵瑞珍，译.北京：文化教育出版社，1982：37.

[3] 李光树.小学数学教学论[M].北京：人民教育出版社，2003：110.

[4] 刘徽.“大概念”视角下的单元整体教学构型——兼论素养导向的课堂变革[J].教育研究，2020，41（06）：64-77.