基于“四个理解”的“幂函数”教学设计

王立波

摘要： 幂函数是学生在高中阶段最先接触到的基本初等函数，为后续学习其他函数起到了示范性的作用.本文中基于“四个理解”角度对幂函数的教学目标、教学重难点、教学方法、教学过程进行了细致的解读.

关键词：四个理解；数学教学；幂函数

章建跃博士在“中小学数学课程核心内容及其教学的研究”中提出：改进课堂教学需基于理解数学、理解学生、理解技术、理解教学实施＼.本文中在把握数学本质的同时，立足数学核心素养并基于“四个理解”对“幂函数”一课进行教学设计.

1 理解数学，设定教学目标

确定教学目标的方向舵是以理解数学为前提的.在幂函数的教学中，教师可以把重心放在对章节结构的把握和对内容的清晰认识上，以便建立起研究幂函数的一般思路：定义—图象与性质—应用.幂函数也是学生进入高中阶段学习的第一类具体函数，对后面指数函数、对数函数、三角函数等的学习起到领头羊的作用，从而可以实现数学知识的自然延拓.

在“幂函数”的教学中，教师也要注重对上、下位知识的把握.幂函数概念形成的上位知识是学生实现从“变量说”到“对应说”的一次思维跨越，学生可以从具体的实际情境中抽象出以前接触过的几种函数模型；幂函数的下位知识是学生能根据抽象出的几种函数模型进行归纳概括，并将前面学习到的函数的具体性质（单调性、奇偶性等）引申到幂函数的研究中，借助函数图象去高度概括和抽象.同时，对于高一的学生来说，他们在初中已经学习过几种函数模型，并且已经掌握了函数的概念和性质.

基于此，本节课的教学目标设定为：根据定义正确判断幂函数，会画简单幂函数的图象；经历作图、观察，能归纳总结出幂函数的性质，进一步渗透数形结合思想，培养抽象概括能力；通过生活实例引入幂函数的概念，体会数学在实际生活中的应用；利用几何画板了解幂函数图象的变化规律.

2 理解学生，明晰教学重難点

在教学中，学生是课堂的主体，教师只是起着一定的引导作用.因此，教师要把学生看成一个个有思想的个体，不能对学生进行“填鸭式”教育.对于数学教学，要看学生的知识储备是否充足，思维上对知识的理解是否有障碍，这就要求数学教师需要有一定的知识储备，教学生用数学知识去解决问题.

教学设计时，首先要了解学生已具备的知识结构，然后再通过新课来获得新知识，在后续的学习中不断强化知识水平，从而提高学生的知识储备＼.

因此，确定本节课的教学重点是归纳总结出幂函数的概念和性质.通过对五个简单幂函数的研究，在研究过程中做到对知识系统的扩充，从而确定研究基本初等函数的思路，为后续函数的学习奠定基础.教学难点在于借助五个函数图象来研究简单幂函数的性质，归纳总结出指数α对一般幂函数的图象以及性质的影响.

3 理解技术，升华教学内容

高中数学是比较抽象的，可以将信息技术融入到教学的过程中，使其成为教学的一种工具，并与数学学习相辅相成，帮助学生更好地吸收消化所学内容.教师要在“理解数学”的基础上“理解技术”，通过借助一些数学软件来辅助教学，以很好地培养学生的数学抽象、直观想象等数学学科核心素养.当数学“不能动”的时候，借助信息技术辅助教学，可以让学生非常直观地感受到、理解到、想象到，从而让这些知识跃然纸上，活灵活现，更利于学生接受.借助信息技术来辅助教学，能使死板抽象的知识成为发展学生直观想象素养的点睛之笔.

对于“幂函数”这节课，教师可以借助几何画板等软件来辅助教学，利用信息技术来解决学生的困惑，通过动态的函数图象来提高学生对函数图象的认识，进而得到幂函数的性质，化抽象为具体，从而有效地促进教学，提高教学效率.

4 理解教学，精设教学过程

4.1 创设情境，讲授新知

我们知道，函数可以来刻画现实世界中的实际问题，先来看几个实例：

（1）在疫情期间，某学校以1元/包的价格购买了w包口罩，那么学校需要支付的金额p是多少？

（2）某市建造的方舱医院的俯视图为正方形，其边长为a，那么该正方形的面积S是多少？

（3）韩红为山区孩子捐赠了很多文具，其中粉笔盒（正方体）的棱长为b，那么粉笔盒的体积V是多少？

（4）魔方一面的面积为S，那么这个魔方的棱长c是多少？

（5）如果医院的救护车t s内行进了1 km，那么救护车的平均速度v是多少？

师生活动：从学生熟悉的、关心的生活实例出发，充分激发学生的好奇心.学生思考后得到相应的关系式.

4.2 概念构建，突破难点

问题1  由以上实例得到的这五个关系式，它们是函数关系吗？并说明理由.

师生活动：通过观察思考，学生能得出这几个式子是函数关系.在相应的取值范围内，对于每一个确定的w，经过对应关系后，都有唯一确定的p与之对应.接着引导学生将自变量用字母x来代替，因变量用字母y来代替.

问题2  观察这五个函数的解析式，从自变量、函数值和解析式的结构特征来看，它们有什么共同特征？请同学们按小组讨论.

师生活动：通过观察并讨论，学生归纳出共同特征——解析式都是幂的形式，其中底数为自变量，指数是常数，幂值前面的系数都是1.接着，在教师的点拨下，将它们表示成y=xa的形式，并命名为“幂函数”，其中x是自变量，α是常数.

问题3  判断下列函数是否为幂函数？如果不是，说明理由.

（1）y=x－2.1;  （2）y=3x3;

（3）y=3x;（4）y=x2+x.

师生活动：学生独立完成之后展示交流，教师规范注意事项.

y=x－2.1是幂函数，幂的指数除了取整数外，还可以取其他实数.

y=3x3不是幂函数，xa前面的系数应该是1.

y=3x不是幂函数，幂函数的底数只能是自变量x，指数应该是常数.

y=x2+x不是幂函数，幂函数只有一项.

4.3 类比探索，整体认知

问题4  在初中我们已经学习过几种函数，结合以往学习函数的经验，知道了一个函数的定义后，接下来研究什么呢？

追问1：在研究函数的图象和性质之前，应先明确什么？

追问2：作出函数图象以后，可以研究哪些内容？

师生活动：教师幻灯片动态展示研究路径，如图1.

问题5  对于幂函数，我们只研究α=1，2，3，图2

12，－1时的图象与性质.这5个函数中有没有你熟悉的函数？

利用几何画板画出学生熟悉的三个函数的图象，如图2.请学生填写表1.

表1

y=x

y=x2

y=x－1

定义域

值域

奇偶性

单调性

问题6  如何画出y=x3的图象？

师生活动：学生能说出画函数图象的一般思路是列表、描点、连线.在教师的点拨下，学生能说出先画出它在［0，+∞）上的图象，再利用奇函数的图象对称性画出整个定义域上的函数图象.因此，作图时可先根据解析式初步判断函数的性质，进而简化作图过程.

对于y=x3而言，可以得出它的定义域为R，是一个奇函数，图象关于原点对称.

因此，可以先画出它在［0，+∞）上的图象，然后根据奇偶性画出它在（－∞，0］上的图象.根据图象可以看出，它的值域为R，是在R上单调递增.

对于y=x12而言，类比y=x3，根据解析式可以得到它的定义域是［0，+∞），是一个非奇非偶函数.画出图象之后，可以得到它的值域是［0，+∞），且在区间［0，+∞）上单调递增.

问题7  利用几何画板，把五个函数图象放在同一个平面直角坐标系中，如图3.观察这五个函数图象，请大家填写表2，然后思考它们有哪些共同的性质？有哪些不同点？

表2

y=x

y=x2

y=x3

y=x－1

y=x12

定义域

值 域

奇偶性

单调性

师生活动：通过观察，学生发现五个图象都经过点（1，1），第四象限没有图象.学生能答出幂函数是形如y=xα的函数，当自变量x取1时，1的任何次方都是1;当x取正数时，不论α为何数，对应的函数值都是大于0的数，所以第四象限没有图象.函数y=x，y=x3，y=x－1是奇函数，函数y=x2是偶函数.

问题8  是否可以对常数α进行分类？怎么分？

师生活动：学生先独立思考，再分小组讨论，最后师生共同总结.

当α为奇数时，函数y=xα是奇函数；当α为偶数时，函数y=xα是偶函數.

在（0，+∞）上，函数y=x，y=x2，y=x3，y=x12单调递增；在（0，+∞）上，函数y=x－1单调递减.因此，可以归纳为：在区间（0，+∞）上，当α>0时，y=xα单调递增；当α<0时，y=xα单调递减.

4.4 课时小结，知识建构

问题9  本节课你学到了哪些知识？获得了怎样的研究问题的经验？（学生自主总结后回答.）

4.5 布置作业，回归拓展

必做题：教材第91页的练习.

拓展题：自主探究一般幂函数是否具有上述性质，并写出研究报告.

在新课程改革的背景下，教师“理解数学”，有利于把握整节课的教学脉络，完善学生的认知结构；教师“理解学生”，关注学生的最近发展区，有利于选择恰当的教学方法；教师“理解技术”，借助信息技术辅助教学，有利于学生认清知识的本质；教师“理解教学”，有助于实现教与学的内在统一.基于“四个理解”进行教学设计，是有效落实数学核心素养的关键所在.

参考文献：

[1]章建跃.“第六届全国高中青年数学教师优秀课观摩与展示活动”总结暨大会报告 发挥数学的内在力量为学生谋取长期利益＼.中国数学教育，2013（Z2）：3-6，9，2，97.

[2]王琦，雷晓莉.“幂函数”教学设计＼.中国数学教育，2020（24）：14-18.