小样本加速寿命试验设计与评估方法

傅惠民， 郭建超， 付越帅， 李子昂

（北京航空航天大学小样本技术研究中心， 北京 100191）

0 引言

为缩短试验周期， 工程上通常采用加速寿命试验来对高可靠长寿命产品进行可靠性评估。 然而传统加速寿命试验方法通常需要在多个（5 个左右）加速应力水平下进行寿命试验，并采用最佳线性无偏估计（BLUEs）等方法进行统计分析[1]，这导致试验工作量较大，特别是在较低的加速应力水平还可能出现无失效数据情况。 此外，为评估可靠寿命的单侧置信下限，需引入诸如指数分布平均寿命估计量服从对数正态分布等假设[2]，进一步带来了误差。

为此，本文提出一种小样本加速寿命试验设计与评估方法，该方法仅需在两个加速应力水平下开展加速寿命试验，并分别求得两个加速应力水平下的可靠寿命单侧置信限， 即可根据本文建立的正常使用应力水平下可靠寿命的单侧置信下限与两个加速应力水平下的可靠寿命置信限之间的数学关系式， 对产品在正常使用应力水平下高置信度、高可靠度的可靠寿命进行评估。由于根据单一加速应力水平下的寿命试验数据评估该应力水平下的可靠寿命单侧置信限方法较多[3-8]，所以本文根据两个加速应力水平下的可靠寿命置信限评估正常使用应力水平下的可靠寿命单侧置信下限的方法，对完全数据、不完全数据以及各种分布均适用，并且易于计算。文中对工程上常见的指数分布、两参数Weibull 分布（形状参数已知）以及对数正态分布（标准差已知）的定数截尾加速寿命试验情况进行了详细讨论。 严谨的理论推导和大量的Monte Carlo模拟验证， 均证明了本文方法的正确性。 与传统方法相比，本文方法在精度相同的条件下可以节省大量试验，而在试验量相同时则可显著提高精度。

1 小样本加速试验设计与评估方法

1.1 线性加速模型

加速寿命试验旨在通过高应力水平下的可靠寿命外推得到正常使用应力水平下的可靠寿命， 而这需要建立可靠寿命与应力水平之间的关系，即加速模型。在失效机理不变的情况下， 产品可靠寿命与应力水平之间的关系通常可用如下线性加速模型来描述：

式中，tR为产品可靠寿命或其已知单调增函数，a 和b 为待定参数，φ（S）为应力水平S 的已知函数，例如，当加速应力S为绝对温度时，式（1）可采用阿伦尼斯模型：φ（S）=1/S，也可采用单应力艾林模型，此时还需将式（1）中的tR换成其函数StR；当加速应力S 为电应力（电压、电流、功率等）、湿度、载荷等时，式（1）可采用逆幂律模型：φ（S）=lnS；当加速应力S 为电应力、载荷时，式（1）也可采用指数模型：φ（S）=S。

进一步可将式（1）变换为

式中，ω（S）=［φ（S2）-φ（S）］/［φ（S2）-φ（S1）］，tR1和tR2分别为应力水平S1和S2（S2〉S1）下产品的可靠寿命。 对于阿伦尼斯模型和单应力艾林模型，ω（S）为

对于逆幂律模型，ω（S）为

对于指数模型，ω（S）为

1.2 小样本加速寿命试验设计

在小样本加速寿命试验中， 只需选取两个加速应力水平S1和S2，要求S2〉S1≥S，其中产品正常使用应力水平仍以S 来表示。 现分别在S1和S2下对产品进行加速寿命试验，并分别求得产品置信度至少为γ、可靠度为R 的可靠寿命tR1和tR2的单侧置信下限tRL1，γ和上限tRU2，γ，计算下限tRL1，γ和上限tRU2，γ的方法可参考文献[3-8]等。 试验设计时， 应保证S1和S2下的失效模式与正常使用应力水平S下的失效模式相一致，并且S2应尽量选得大一些，S1则需适当拉开与S2的距离， 或适当增加试样数和失效数，避免因随机性出现tRL1，γ≤tRU2，γ的情况。

1.3 可靠性评估方法

根据文献[9]和式（2），可以推导出如下定理：

定理 设tR1和tR2分别为产品在加速应力水平S1和S2（S2〉S1）下可靠度为R 的可靠寿命，tRL1，γ和tRU2，γ分别是其置信度至少为γ 的单侧置信下限和上限， 且tRL1，γ和tRU2，γ相互独立，则可以证明，该产品在正常使用应力水平S（S≤S1）下置信度至少为γ、可靠度为R 的可靠寿命tR单侧置信下限tRL由下式给出

进一步还可通过下式精确计算式（6）给出的可靠寿命单侧置信下限tRL的置信度γ*：

其数值计算公式为

式中，

实际计算时，首先按精度要求选取M（如104，105，106等），代入式（12）求得γk，然后由式（11）求得相应的tRL2，γk，再将其代入式（10）计算，最后由式（9）求得置信度γ*。

进一步通过调整式（6）中的γ 取值为γ**，使得式（8）中的γ*=γ， 即可通过下式求得该产品在正常使用应力水平下置信度为γ、可靠度为R 的可靠寿命tR单侧置信下限

与式（7）计算的tRL相比，式（14）给出的tRL，γ的置信度为γ，而前者是置信度至少为γ，即tRL，γ具有更高的精度，更加接近于可靠寿命真值tR，通常有tRL，γ≥tRL，这可以充分开发利用产品的寿命潜力。 而tRL偏于保守， 但其计算简单，避免了后面复杂的数值计算。

由式（14）和置信限曲线的等同性可知，当给定时间t时， 该产品置信度为γ 的可靠度单侧置信下限RL，γ由下式中的R 求得

2 指数分布定数截尾加速试验可靠性评估方法

设产品在应力水平S 下的寿命t 遵循平均寿命为θ的指数分布：

2.1 小样本试验设计

在小样本加速寿命试验中， 选取两个加速应力水平S1和S2（S2〉S1），分别对产品进行样本数为n、失效数为r的定数截尾试验，得到应力水平Si（i=1，2）下的失效数据和未失效数据：

2.2 平均寿命单侧置信下限

若通过小样本加速寿命试验得到式（17）给出的一组寿命试验数据， 则可以求得加速应力水平S1和S2下置信度为γ 的平均寿命单侧置信下限θL1，γ和上限θU2，γ分别为

根据本文定理， 该产品在正常使用应力水平S 下置信度至少为γ 的平均寿命θ 单侧置信下限θL为

其置信度γ*数值计算公式为

式中，M 根据数值计算精度要求进行取值（如104，105，106等），F2r（·）是自由度为2r 的χ2分布的累积分布函数。

进一步通过调整式 （21） 中的γ 取值为γ**， 使得式（21） 中的γ*=γ， 即可求得该产品在正常使用应力水平S下置信度为γ 的平均寿命θ 单侧置信下限θL，γ为

2.3 失效率单侧置信上限

该产品在正常使用应力水平S 下置信度为γ 的失效率λ 单侧置信上限λU，γ为

2.4 可靠寿命单侧置信下限

该产品在正常使用应力水平S 下置信度为γ、可靠度为R 的可靠寿命tR单侧置信下限tRL，γ为

2.5 理论证明与仿真验证

本文定理一般情况的推导较为复杂且篇幅较长，因此，为了便于理解掌握，下面针对指数分布定数截尾试验情况给出其理论证明和仿真验证。 首先，通过理论推导证明式（20）给出的θL置信度至少为γ，即验证γ≥50%时下式成立

由于

所以

式中，Xi=2Ti/θi～χ2（2r），X1和X2相互独立，0≤[1-1/ω（S）]〈1。

下面分两种情况对式（30）进行讨论：

1）ln［X2/（2r）］≥0 时，有

2）ln［X2/（2r）］〈0 时，有

式中，F＝（X1/2r）/（X2/2r）～F（2r，2r），Fγ（2r，2r）是其γ 下侧分位点。由于γ≥50%时，可以证明Fγ（2r，2r）≤（2r）/，因此，式（32）在γ≥50%时成立。

由全概率公式可知，式（26）在γ≥50%时成立，即本文给出的θL置信度至少为γ。

然后，通过仿真验证式（23）给出的θL，γ的置信度为γ，即验证下式成立

亦即

为了验证式（34），在每次仿真试验中，分别从X1和X2的母体中进行随机抽样，重复仿真107次，统计式（34）中不等式成立的频率作为仿真置信度γ′， 并使之与设定置信度γ 进行比较，即可验证本文方法的正确性。

例如，设定失效数r=3，不同置信度要求及应力水平设定下的仿真计算结果如表1 所示。

表1 指数分布置信度仿真结果

可以看到， 仿真置信度γ′均与设定置信度γ 非常接近。 倘若增加仿真次数，提高计算精度，仿真置信度γ′将与设定置信度γ 完全相等，即式（33）成立。 从而验证了本文定理在指数分布定数截尾试验情况的正确性。

3 Weibull 分布定数截尾加速试验可靠性评估方法

对于产品寿命t 服从两参数Weibull 分布的情况，由于工程实际中形状参数α0通常可由以往试验数据或经验获得，例如波音公司统计得到：铝合金结构α0＝4；钛合金结构α0＝3；钢结构α0＝2.2。 因此，下面给出形状参数α0已知情况下的Weibull 分布小样本加速寿命试验方法。

设产品在应力水平S 下的寿命t 遵循两参数Weibull分布：

式中，α0为已知的形状参数，β 为尺度参数。 令

则在应力水平S 下y 遵循平均寿命为βα0的指数分布。

3.1 可靠寿命单侧置信下限

若通过小样本加速寿命试验得到式（17）给出的一组寿命试验数据，代入式（36），得

则将其转换为指数分布y 的一组寿命试验数据。 根据式（20），求得在正常使用应力水平S 下，该产品置信度至少为γ、可靠度为R 的可靠寿命tR单侧置信下限tRL为

3.2 可靠度单侧置信下限

根据置信限曲线等同性原理和式（39），可以求得该产品在正常使用应力水平S 下给定时刻t 处的置信度为γ 的可靠度R 单侧置信下限RL，γ为

4 正态分布定数截尾加速试验可靠性评估方法

设某产品在应力水平S 下的对数寿命x=lgt 遵循标准差为σ0（已知）的正态分布：

式中，μ 为对数寿命均值，Φ（·）为标准正态分布函数。

4.1 可靠寿命单侧置信下限

若通过小样本加速寿命试验得到式（17）给出的一组寿命试验数据，则加速应力水平S1和S2下置信度为γ、可靠度为R 的对数可靠寿命单侧置信下限xRL1，γ和上限xRU2，γ分别为[8]

根据本文定理，在正常使用应力水平S 下，该产品置信度至少为γ、 可靠度为R 的可靠寿命tR单侧置信下限tRL由下式给出

其置信度γ*数值计算公式为

式中，M 根据数值计算精度要求进行取值（如104，105，106等）。进一步调整式（50）中的γ 取值为γ**，使得γ*=γ，即可求得该产品在正常使用应力水平S 下置信度为γ、可靠度为R 的可靠寿命tR单侧置信下限tRL，γ为

特别是，在加速应力水平S1和S2上的试验寿命均为完全数据时， 能够直接根据回归分析得到其精确的可靠寿命单侧置信下限，可以证明，此时由本文式（52）给出的结果与之完全相同。

4.2 可靠度单侧置信下限

根据置信限曲线等同性原理， 该产品在正常使用应力水平S 下给定时刻t 处的置信度为γ 的可靠度R 单侧置信下限RL，γ由下式求得

5 算例

为了与真值进行比较，下面给出一仿真算例。设某机电产品寿命遵循形状参数α0＝3.8 的两参数Weibull 分布，电流应力Ι 是导致其失效的主要因素。 现以电流应力作为加速应力对其开展小样本加速寿命试验。 设加速模型为lnβ=15-4lnI。 现选取两个加速应力水平分别为I1=9mA，I2=12mA， 每个应力水平下进行样本数n=5 的完全寿命试验，仿真结果如表2 所示。下面采用本文方法对该产品在正常使用应力水平I=5mA 下的可靠性进行评估。

表2 某机电产品加速寿命试验仿真结果

首先，分别求得该产品在加速应力水平I1和I2下置信度为0.9、 可靠度为0.99 的可靠寿命单侧置信下限tRL1,γ和上限tRU2,γ分别为

根据式（38），可以求得正常使用电流应力水平I 下该产品置信度至少为0.9、 可靠度为0.99 的可靠寿命单侧置信下限tRL为

根据式（21），精确计算式（57）中tRL的置信度为

进一步调整置信度γ 取值为γ**=0.8193， 使得γ*=γ，最终求得该产品在I=5mA 正常使用电流应力下置信度为0.9、可靠度为0.99 的可靠寿命单侧置信下限tRL，γ为

可以看到，tRL，γ=1090.2h 高于tRL=871.2h， 但二者均低于可靠寿命真值tR=1558.8h，工程上可以安全使用。 并且tRL，γ比tRL具有更高精度，而tRL计算简单。

6 结论

针对工程上常用的线性加速模型， 建立了正常使用应力水平下可靠寿命的单侧置信下限与两个加速应力水平下的可靠寿命置信限之间的数学关系式。

提出的小样本加速寿命试验设计与评估方法，只需在两个加速应力水平下进行加速寿命试验，即可对产品在正常使用应力水平下高置信度、高可靠度的可靠寿命进行评估。

对工程上常见的指数分布、两参数Weibull 分布（形状参数已知）和对数正态分布（标准差已知）的定数截尾加速寿命试验情况进行了详细讨论， 给出了相应的正常使用应力水平下高置信度、 高可靠度的可靠寿命单侧置信下限计算公式。

工程实际中，通常有S2〉S1≥S，对于S2≥S≥S1的特殊情况，只需将本文定理中的上限tRU2，γ和tRU2，γ**换成下限tRL2，γ和tRL2，γ**即可。

加速寿命试验中，应力水平越高，寿命分散性往往越小。但是传统的加速寿命试验方法通常假设方差相同，这必然带来误差，而本文方法对方差相同、不相同、已知或未知情况均适用，很好地克服了传统方法的不足。