在概念生成过程中培育数学核心素养

潘艳梅

1 问题提出

数学概念是数学的逻辑起点，是数学思维活动的核心与基础．有效的数学概念教学应积极引导学生在自主探究中建构数学概念，理解概念的来龙去脉，领悟其中所蕴含的数学思想方法，不断促进学生数学核心素养的发展．

二面角的平面角在高中数学中是一个十分重要的内容，也是一个较难突破的教学难点．在当前的课堂上，我们经常看到这样一种现象：教师引领学生浮光掠影地扫过二面角的平面角概念，强调几个注意点后，立即进入运用概念解题阶段．这种概念教学让位于习题教学的做法，忽视了知识的发生发展，回避了由具体到抽象、由感性到理性的认知过程，缺少学生自己的数学建构，导致学生对概念一知半解，大多数学生只能机械记忆和模仿．

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质，创设合适的教学情境、提出合适的数学问题，引发学生思考与交流，形成和发展数学学科核心素养[1]．笔者在执教二面角的平面角概念时，以发展学生数学核心素养为导向，以培养学生用数学的观点去思考问题和解决问题的能力为目标，引导学生自主探究，经历观察、操作实验、抽象概括、推理论证等必要的数学思维活动，建构二面角的平面角的概念，领悟化归的数学思想，取得了较好的教学效果．下面笔者和各位同行分享“二面角的平面角”这一概念的教学实践过程和感悟．

2教学实录

师：现在我把笔记本电脑慢慢打开，请同学们观察，随着打开的程度不同，笔记本电脑的键盘和显示屏的相对位置在改变，你能把这个实际问题数学化吗？

设计意图波利亚说：“抽象的道理是重要的，但是要用一切辦法使它们能看得见、摸得着．”上课伊始教师的操作和提问，意在为学生提供直观具体的形象性材料，将新知识与已有知识经验建立内在联系，培养学生直观想象的数学素养．

生1：这个实际问题相当于二面角的一个面以二面角的棱为轴旋转，二面角的大小在改变．

师：生1提出了“二面角的大小”的概念，二面角是空间角，如何度量它的大小呢？

生2：一时想不到办法．

师：有什么经验可以借鉴吗？

生3：可以找一个平面角来度量二面角．

师：你是怎么想到的？

生3：因为前面我们学习过异面直线所成角和斜线与平面所成角，这两种空间角都是转化为平面角来度量的！

师（追问）：具体来讲，是如何转化的？

生3：异面直线所成角是用两条相交直线所成的锐角或直角来度量的，斜线与平面所成角是用斜线和它在平面上的射影所成的锐角来度量的．

师：生3类比前面解决过的问题及获得的方法，将空间问题平面化——降维，活学活用，值得称赞！那么，怎样作出一个平面角来度量二面角呢？

设计意图 通过设疑，产生问题和认知冲突，使学生陷入困惑之中，以此产生内在的学习需求，激发学生的学习欲望和探索新知的积极性[2]．

师：请大家拿出你们的二面角模型，再加两支笔，你能找到这个平面角吗？（师生共同做实验，两分钟后请学生汇报交流）

生4：我发现角的顶点及两条边都不固定，难以作出平面角来度量二面角．

生5：我在棱上取了一点0，将两支笔当作角的两边OA，OB分别紧贴在二面角的两个面上，这样，角的顶点固定了，角的两边活动范围也相对固定，如图1，我发现，当OA，OB绕着点О分别在它们所在半平面内旋转时，LAOB就可以由0变化到180，这样4OB的大小就不确定了，因此，不能用它来度量二面角.

生5：我在棱上取了一点0，将两支笔当作角的两边OA，OB分别紧贴在二面角的两个面上，这样，角的顶点固定了，角的两边活动范围也相对固定，如图1，我发现，当OA，OB绕着点О分别在它们所在半平面内旋转时，LAOB就可以由0变化到180，这样4OB的大小就不确定了，因此，不能用它来度量二面角.

面内的所有直线所成角中的最小角．

师：说得很好！事实上，除了这样定义的角具有唯一性外，它还具有什么性质？

生8：最值性（最小性）．

师：这就是数学所说的“不变量”和“不变性”．

根据这两点，让我们继续寻找平面角来度量二面角，请大家小组合作探究．（两分钟后汇报交流）

生（众）：还是找不到这样的最小角．

师：一步将二面角转化为线线角，似乎走得太急，我们不妨先退一步，将它化为线面角，这样做是否可以？如果可以，该怎样选取这条直线和平面呢？[3]

设计意图 在学生根据“不变量”和“不变性”寻找平面角受阻的“愤、悱”之时，教师适时点拨，引导学生思考先退一步将二面角转化为线面角，降低了问题的难度，激发了学生进一步探究的热情．

生9：我想这条直线应选在二面角的其中一个面内，然后考查这条直线与另一个半平面所成的角．

师（追问）：这条直线与二面角的棱是什么位置关系？

生9：只能相交，不能平行或重合，否则，这条直线与另一个面所成的角就恒为0，就不能反映二面角大小了．

师：经过我们的共同探究，我们发现与棱垂直的那条射线与另一个面所成的角是这无数个线面角中的最大角．

师：有资格做二面角的平面角吗？∠AOBαβ??l

生（众）：有．

师：请大家总结一下二面角的平面角有什么特征？

生14：有三个特征：（1）顶点在棱上；（2）两边分别在二面角的两个面内；（3）两边都与棱垂直．

师：谁能总结一下二面角平面角的寻找过程？

生15：我们先将二面角转化为线面角，然后继续将线面角转化为线线角．根据“唯一性”“最值性”，最终找到度量二面角的平面角，它的大小仅随着两个半平面的相对位置变化而变化． 设计意图 数学直觉是对数学对象的直接洞察和感悟，具有创造性．教师创设问题情境，催发学生数学直觉，将数学直觉与数学逻辑有机融合，数学抽象、逻辑推理等素养得到有效培育． 师：二面角的平面角的大小与点o在棱上的位置有关系吗？为什么？

生16：无关，用等角定理证明：在棱1上另任取点o'，按同样方法作出LA'O'B'，如图4，因为OA，O'A'， OB，O'B'都垂直于棱1，所以OAI/o'A' ，OBIO'B'，且LAOB和LA'O'B'的两边分别平行且方向相同，根据等角定理，LAOB= LA'O'B'，即平面角大小与角的顶点在棱上的位置无关．

设计意图 通过等角定理，进一步体会平面角的唯一性，理解二面角平面角定义的合理性．

3教学感悟3.1教师要从“教教材”转向“二次开发教材” 教材是教师确定教学目标、组织学习活动、设计学习评价的重要依据．课程改革对教师如何使用教材提出了新的更高的要求，即建议教师要从“教教材”转向“二次开发教材”．教材的二次开发是对教材隐含的能够促进学生发展的元素进行重组、拓展、延伸，并加以经验化和体验化的教学设计[4]． 数学概念教学应该让学生看到数学概念的确立，不是来自权威，而是来自实践，出自合理，在此过程中，学生才能学会如何给数学概念下定义，学到研究数学问题的基本思想和方法，从而发展数学素养．基于此，笔者在二次开发教材的基础上，将二面角平面角定义的合理性作为教学设计的首要考虑．

当二面角为锐角时，把二面角的一个面内与棱垂直的直线与另一个面所成的角定义为二面角的平面角，是基于以下命题的真实性：锐二面角的一个面内与棱垂直的直线与另一个面所成的角，是锐二面角的一个面内的所有直线与另一个面所成角中最大的角．因此，“把锐二面角的一个面内所有直线与另一个面所成的最大角定义为二面角的平面角”等价于“以锐二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角”（课本的普遍定义）．事实上，基于这样定义的角除了具有唯一性外，还具有最值性，这就是数学中所说的“不变量”和“不变性”．本节课，笔者引导学生充分展开讨论，探究二面角的平面角定义的多种构想，理解二面角的平面角的定义的唯一性和最值性，感受了立体几何“转化”“降维”思想，体会了立体几何研究的一般思路和方法，有助于学生直观想象、逻辑推理、数学抽象素养的提升． 3.2 在概念的生成过程中培育数学核心素养数学概念是不断抽象的结果，其形成过程蕴含着数学核心素养的每一个要素，因此，数学概念教学是数学核心素养培育的突破口．教材上关于二面角平面角的内容隐去了概念形成的思维过程，教师在数学教学中，应立足于教材，着眼于学生的发展，引领学生有效开展概念建构活动． 本节课采用了启发探究、实验和讨论多元结合的教学方法，通过创设“愤悱”的教学情境，形成认知和情感的不平衡态势，启发质疑，同时运用类比的方法铺垫，通过问题串和两个主要探究活动（二面角平面角的唯一性和最值性），引导学生进行主动思考、探究，帮助学生实现从具体到抽象、从感性到理性的过渡，从而完成二面角的平面角概念的建构，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．学生通过直觉思维和类比的数学方法对二面角的平面角定义作出猜想，然后再加以论证．学生在亲身经历概念的形成过程中，体会到数学思想方法（类比、化归）的重要性，直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养自然生成．

参考文献

[1]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S]．北京：人民教育出版社，2020

[2]谢国生．二面角及其平面角．名师授課录（中学数学高中版）[M]．上海：上海教育出版社，2009

[3]明强，方异平．掀起你的盖头来[J]．中学数学（高中版），2009（4）：16-18

[4]李冰雪．教材二次开发的内容向度及其实践追求[J]．基础教育课程，2021（19）：47-55