GeoGebra辅助下数学实验课的教学实践

叶婷

在《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中，明确定义了数学学科核心素养是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现．其中直观想象是六大核心素养之一，要求学生通过高中数学课程的学习，提升数形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力，增强几何直观和空间想象思考问题的能力．同时，课程标准提出了高中数学课程的四条主线，其中之一就是数学建模活动与探究活动．因此，在教学中借助GeoGebra软件，适当开设数学实验课，能帮助学生更好地构建形与数的关系，培养空间想象能力．

数学实验课可以根据目的分成检验结论和探究问题两种类型．对结论确定或容易直观感知的问题，可以让学生借助电子信息技术进行检验，加深对知识点的理解；而对难以想象、通过黑板不易呈现的空间问题，则需要教师对学生加以引导，设置递进式的问题，逐步探究，以达到问题的解决，这个过程中信息技术的应用显得尤为重要．在各种数学软件中，GeoGebra软件非常适合高中数学的课堂教学，也方便学生自主操作，激发学生学习兴趣．

空间几何中截面问题是一个教学难点，教师在黑板上画出的图形可视性不佳，直线与平面相互交错，部分空间想象力较差的学生无法感知其中的点线面关系，GeoGebra软件的辅助可以很好地解决这个问题．本文以高三“正方体的截面问题”微专题课的教学实践为例，阐释相关认识与做法．

1 GeoGebra辅助下检验结论

课前教师在学生使用的课堂教学平板上安装GeoGebra软件，并制作了正方体相关的课件．课堂上教师提出以下问题．

问题1 正方体的截面图形按照边数分类有哪几种？

教师要求学生试着拖动正方体棱上的三个动点MNP，，，得到不同形状的截面图形（如图1～4）．

在拖动过程中，学生通过观察得出结论：截面的边数与正方体表面的交线条数相对应，即正方体的截面图形可以是三角形、四边形、五边形和六边形．

问题2 截面图形的边之间有何关系？

学生通过直观感知得出：当截面与正方体的两平行平面相交时，交线互相平行（可利用平行平面的性质定理证明）；当截面与正方体两相邻平面均相交时，交线的交点必在正方体两相邻平面的公共棱上（可利用基本事实三加以证明）．

由上，教师可以引导学生归纳总结出几何体截

面图形的两种最常见的画法：

（1）平行线拓展平面法，即已知平面ABC与面α的公共点A，若//BC面α，则在面α内过A作BC的平行线AP，根据基本事实三及线面平行的性质定理，可证出AP即为面ABC和面α的交线（如图5）；

（2）相交线拓展平面法，即当延长BC与面α相交于点P时，则AP为面ABC与面α的交线（如图6）．

问题3 给出正方体1111ABCDABCD?棱上任意三点，如何作出截面图形？

教师提议学生分组合作探究解決问题3，并给出一个研究方向的提示，即通过改变动点MNP，，位置进行分析，并要求学生画出MNP，，三点在不同位置时相应的截面图形．对此，学生在GeoGebra课件中，通过改变MNP，，三点的位置，合作讨论，探究得出以下几种情况．

（1）当三个点MNP，，所在的棱共顶点时（如图7），此种类型最为简单，截面图形即为三角形MNP；

（2）MN，不动，它们所在棱共顶点，将点P移动至底面ABCD的棱上，此时有三种可能．

第一种可能（如图8），点P在AD上，在面ABCD中过点P作//PQMN交棱CD于点Q．即可以利用平行线拓展平面法，得到与正方体的截面图形PQNM．

第二种可能（如图9），点P在AD上，在面ABCD中过点P作//PQMN交棱BC于点Q．利用相交线拓展平面法，延长MN与直线11BC分别交于E，连结QE交1CC于点R，则五边形MNRQP即为截面图形．

其中，学生按要求画出MNP，，三点在不同位置时相应的截面图形，这在教学中是一个难点．因为前面问题1、2的铺垫，学生在GeoGebra软件的

帮助下对正方体中的截面图形已经有直观的感受，对截面与正方体表面的交线之间的关系有了一定的认识，因此学生在作图中可以运用平行线拓展平面或相交线拓展平面做出截面图形．教师这时候应留足时间让学生完成自己的探究．

问题4 归纳出过正方体棱上不共线的三点MNP，，作截面图形的类型．

本问题目的是引导学生归纳出：只要MNP，，三点的连线中至少有一条在正方体表面上，就可以快速地利用上述两种方法得出截面图形．通过这一“直观感知——归纳方法——实际应用——再次直观感知——归纳检验结论”的过程，学生对截面问题的理解必定会有一个质的提升．

接下来，教师提出最后一个问题．

问题6 满足问题5的条件且截面图形为六边形时，截面图形的周长与面积是定值吗？

这个问题从形转到数，要求学生通过计算判断结果．教师可以先让学生思考并猜想结果，再由学生自己动手，借助GeoGebra中的计算功能，选定截面图形，进行周长和面积的计算．那么在平面α移动的过程中，可以看到截面图形为六边形时，周长保持不变，而面积随着平面α的移动而发生变化，并在截面图形恰好为正六边形时得到最大值（如图16）．如果旋转图形后再平移点E，也可以从另一个视角观察六边形的变化（如图17）．这一过程中，学生可以真实地感受到GeoGebra软件呈现出的截面图形的动态变化，这是黑板所不能达到的效果．最后让学生通过严密的逻辑推理和计算来获得结论．

在这节微专题的数学实验课中，GeoGebra起到了至关重要的作用．首先，GeoGebra软件操作简便，学生可以在课堂上自主操作．同时教师通过课件既展示了直观的空间感知、数与形之间的关系，还体现了数学的美，激发学生学习数学的兴趣，让学生对空间几何体有更直观的感受与理解，提升学生的空间想象力，获得解决动态几何问题的经验．其次在探究的过程中，教师提出适当的问题引导学生，为学生探究思考留足时间．学生通过改变课件中的部分参量进行观察、思考、研究，并猜想结论，再进行严格推理验证猜想，逐步形成自身的认知方法．

GeoGebra软件是传统教学的有力支持．教师根据教学课程的特点适当借助GeoGebra软件这一现代信息技术，帮助学生突破空间想象的限制，让学生更好地理解数学，掌握数学知识的本质，提高学习的有效性．

参考文献

[1]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S]．北京：人民教育出版社，2020

[2]曹一鸣．数学实验教学模式探究[J]．课程?教材?教法，2003（1）：46-48

[3]刘亚利．正方体截面问题的几何作图法及案例分析——浅谈《普通高中数学课程标准（2017年版）》中“数学学科核心素养”如何落地数学课堂[J]．新课程（中学），2019（4）：58-59

（本文系福州市教育科学研究“十四五”规划2021年度课题“基于核心素养的GeoGebra数学实验教学的实践研究”（项目编号：FZ2021GH019）的研究成果）