求解圆锥曲线离心率问题的数学思想
2024-01-27李宏代
李宏代
［摘 要］离心率是圆锥曲线中重要的内容之一，也是高考的必考内容之一。文章以高考试题为例，从数学思想的角度分类阐述求离心率的思想方法，阐述用常规思想（直接法）、方程思想、函数思想和不等式思想解决圆锥曲线离心率问题的策略，旨在帮助学生拓宽解题思路，提高分析问题和解决问题的能力。
［关键词］圆锥曲线；离心率；数学思想
［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2023）29-0022-04
离心率是圆锥曲线中最重要的内容之一。高考中求解圆锥曲线离心率的题目常常考查椭圆或双曲线的第一定义或第二定义及圆锥曲线的几何性质等重要知识点，所以圆锥曲线离心率是历年高考必考的重点内容之一，题型常常为选择题和填空题，常考常新。虽然求解圆锥曲线离心率的方法有很多种，但涉及的数学思想是相对稳定的。下面笔者从求解圆锥曲线离心率的值和范围两个方面分别阐述求解圆锥曲线离心率问题的数学思想。
一、求解圆锥曲线离心率的值的数学思想
求解圆锥曲线离心率的值常用的数学思想有常规思想（直接法）和方程思想。
（一）用常规思想（直接法）求离心率的值
解题要点：本题的解题关键点是借助余弦定理和椭圆的第一定义求出[a]和[c]。
练习一：
（二）用方程思想求离心率的值
解题要点：解法一的方程隐藏于判别式等于零之中，解法二和解法三的方程隐藏于方程曲线和曲线的方程的定义之中。
解题要点：本题的方程隐藏于向量相等之中，即若坐标形式的向量相等，则有其左右两边的横坐标相等和纵坐标相等。
练习二：
解题要点：本题的方程隐藏于曲线的方程和方程曲线的定义之中（即曲线上的点的坐标是方程的解），注意把关于[a]、[c]的齐次方程转化为关于[e]的方程。
解题要点：本题的方程隐藏于含[30°]角的直角三角形之中，同时利用双曲线的第二定义解题。
练习三：
圆的离心率为 。
（3）已知以雙曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为 。
二、求解圆锥曲线离心率取值范围的数学思想
求解圆锥曲线离心率的取值范围常用的数学思想有函数思想和不等式思想。
（一）用函数思想求离心率的取值范围
高考中常常在知识交汇处命题，求圆锥曲线离心率常常借助函数思想来解决。由于函数由三要素（定义域、对应关系和值域）组成，所以用函数思想求圆锥曲线离心率取值范围的思路为：要求离心率的取值范围（即求函数的值域），只需正确地引入自变量，寻找以离心率为函数值的函数解析式，并注意函数的定义域，从而建立函数模型，求函数的值域。这样就有效地解决了求离心率取值范围的问题。
解题要点：本题是在解析几何与函数的交汇处命题，用函数思想求离心率的取值范围要注意函数的定义域。
A. [（1，3）] B. [1，3]
C.（3，+[∞]）D. [3，+∞]
∵[-1≤cosθ≤1]，∴[e∈1，3]，故选B。
解题要点：用函数思想求离心率的取值范围要正确地引入自变量，选择不同的自变量对建立函数模型的难易程度是不同的，同时要注意函数定义域的确定。
（二）用不等式思想求离心率的取值范围
解题要点：上述解法使用了常见但又不易发觉的不等式：[PF2
解题要点：本题需要挖掘隐蔽的不等式[c 练习四： A.（1，2）B.（2，+∞） C.（1，5）D. （5，+∞）
