逆向思维在初中数学解题中的应用

王志刚

［摘 要］在初中数学教学中，运用逆向思维解题能够使学生从不同角度、不同方向思考问题，探索到合理有效的解题方法，从而拓宽解题思路，提高解题效率。文章结合案例探讨逆向思维在初中数学解题中的应用，以期为数学一线教师的解题教学提供参考。

［关键词］逆向思维；初中数学；解题；应用

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）29-0004-03

一、问题提出

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确提出了发展学生学科核心素养的要求，其中在闡述“会用数学的思维思考现实世界”这部分内容时，明确指出学生通过数学课程的学习要能够合乎逻辑地解释或论证数学的基本方法与结论，分析、解决简单的数学问题和实际问题。由此可见，开展思维活动、培养学生的思维品质成为新时期数学课程改革的重要内容。在解题过程中，学生常常遇到这样的困境：从已知条件出发，顺着题目的要求思考问题，解题无从下手，甚至陷入了思维的“死胡同”，而运用逆向思维能很好地解决这一问题。

二、典型例题

［例1］已知a，b，c，d是实数，且[ad-bc=1]，求证：[a?+b?+c?+d?+ab+cd≠1]。

分析：这类命题的反面并没有无穷多种情况，所以用反证法来证明是非常简洁的一种解题思路，即通过假设[a?+b?+c?+d?+ab+cd=1]，并以此证明这一结论不成立则可以反证原命题成立。

解：假设[a?+b?+c?+d?+ab+cd=1]，把[ad-bc=1]代入上式得[a?+b?+c?+d?+ab+cd-ad+bc=0]，

通过整理代数式可以得出[（a+b）?+（b+c）?+（c+d）?+（a-d）?=0]。

因为a，b，c，d都是实数，所以[a+b=b+c=c+d=a-d=0]，所以[a=b=c=d=0]，所以[ad-bc=0]。

这与已知条件[ad-bc=1]相矛盾，所以假设不成立，原命题成立，即[a?+b?+c?+d?+ab+cd≠1]。

［例2］如图1所示，将矩形ABCD折叠，使点C落在边AB上的[C']处（不与A、B重合），点D落在D'处，此时C'D'交AD于E，折痕为MN。若[AB=BC=1]，可使[△NBC']≌[△C'AE]的C'存在吗？若存在，求出C'的位置，若不存在，说明理由。

分析：要想解答这一题目，我们可以从假设出发，推导出与已知条件相互矛盾的结论，这样就可以完成证明。

解：当矩形ABCD的边长[AB=BC=1]，说明其为正方形，假设存在这样的[C']，使[△NBC']≌△[C'AE]。

设[AC'=x]，则有[BN=AC'=x]，[BC'=1-x]，此时[NC'=NC=BC-BN=1-x]，即[BC'=NC']，在直角三角形[BC'N]中，[∠B=90°]，直角边[BC']与斜边[NC']不可能相等。故若[AB=BC=1]，并不存在这样的[C']使[△NBC']≌[△C'AE]。

点评：上述两个例题显示了反证法在代数和几何证明中的应用价值。在两道题中，都是通过“对结论进行假设，继而推导出与题目相关条件相矛盾的结论”这一思路完成证明的，这是反证法最基本的思路，对于解答其他证明题有着重要的参考意义。

［例3］如图2所示，已知[△ABC]中，[∠BAC=45°]，[AD⊥BC]于点[D]，若[BD=2]，[CD=1]，求[△ABC]的面积。

分析：要求三角形的面积，我们通常需要知道三角形的底以及相应的高的长度。在这一题目中，通过两个线段长度可以知道BC的长度，也知道AD是相应的高，但是要想求得AD的长度却存在一定难度。题目中有一个关键条件[∠BAC=45°]。这时我们可以将[∠BAC=45°]进行补充，让其构成一个直角，即在AC的右边作出一个[∠CAE=45°]，并且使[AE=AB]，而且[∠BAD+∠DAE=90°]（如图3），这样设计肯定是可以得到三角形全等。以前证明全等的时候，我们通常会用到“两个相同顶点的角加上相邻的同一个角的结果相同，这两个角相等”，此时我们可以将这个方法倒过来用，即先构造全等三角形，再得到“等角+同角的结果相等”，然后根据三角形全等的条件构建正方形，最后将所求的面积问题进行转化，并通过间接方法完成题目解答。

解：如图3所示，在AC的右边作出一个[∠CAE=45°]，并且使[AE=AB]，连接[CE]，根据“边角边”定理可知，[△ABC]和

点评：这道题条件简单易懂，但是解答起来却相当有难度。关键在于如何运用45°角，即如何将现有的图形向扩展图形这个方向去思考。许多学生并不擅长运用辅助线构造图形。其实这道题的图形补充完整后，新图形的特点一目了然。本题的解题思路运用了补集法，这是一种逆向思维，即利用45°角补充出一个正方形，并通过巧妙转化，完成计算。

［例4］如图4所示，已知[△ABC]中，[∠ABC=45°]，[DC=2BD]，[∠ADC=60°]，[AD⊥CO]，垂足为点[O]，求证：[AC2=CD?CB]。

分析：为证明[AC2=CD?CB]，我们从结论出发进行倒推。我们关注到[AC2=CD?CB]这一结构经常在相似三角形中出现，那么只需要证明[∠DAC=45°]就可以得到这一结论。此外，我们还可以将正向思维和逆向思维相结合。首先分析题目的基本条件，根据[DC=2BD]这一关键信息得出两条线段的比值；然后利用“平行线分线段成比例”对线段的比值加以转化，再结合结论进行分析；最后从结论进行逆推，即要证明[AC2=CD?CB]，只需证明[∠DAC=45°]，也就是证明[AO=OC]。

解法一：如图5所示，连接BO，令[BD=a]，则[DC=2a]。

∴[BD=DO]，[∠OBD=∠BOD=30°]，∴[∠OBD=∠OCD]，

∵[∠ABC=45°]，∴[∠ABO=15°]，[∠BAD=∠ADC-∠ABC=15°]，

解法2：如图6所示，过点[B]作[BH]平行[OC]交[AD]的延长线于点[H]，

∵[BH]∥[OC]，∴[∠HBD=∠OCD]，[∠BHD=∠COD]，

∴[△BDH]∽[△CDO]，

∴BH∶[OC=BD]∶[CD]。

∴[AO=OC]，∴[∠DAC=45°]，∴[△ACD ]∽[△BCA]，

點评：两种方法虽然思路各异，但是都体现了“执果索因”这一解题思路。在解题过程中我们可以从结论入手，探究得到这一结论所需要的条件，并结合现有条件以及所学知识进行补充。这样不断逆推就可以将证明结论的条件梳理完整，并达到解题的目的。

三、教学建议

初中阶段，学生正处于思维发展的关键时期。通过不同类型习题的引导，让学生认识逆向思维的含义，理解逆向解题的思路，并掌握具体的方法，是提高学生解题能力、发展学生数学核心素养的重要途径。

（一）指导学生运用反证法进行解题

在初中数学解题中，经常要求学生说明一个命题是真命题，有些题目难度较大，直接证明比较困难，这时候就需要用反证法来打破僵局。反证法是指从原命题结论的反面出发，通过正确的逻辑推理过程，导致矛盾的结果，从而肯定原命题结论正确的一种证明方法。这种方法集中体现了逆向思维的运用，在初中数学的三角、代数、几何等都有很广泛的应用。例1和例2都运用了反证法。在初中数学解题教学中，教师应将探究与运用反证法的主动权留给学生，采用启发式教学方式，启发学生思考，促使其拓宽反证法的运用思路，并为他们留足时间，引导他们去自主探究，使他们将所学知识综合运用起来，从而达到举一反三的效果。同时，在指导学生运用反证法的过程中，教师还应针对学生的特点，将教材的例题和习题重组，尽量满足不同思维层次学生的需求，丰富学生的解题经验，让学生跳出机械做题的局限，有效掌握反证法的运用技巧，从而锻炼学生的逆向思维，提高学生的独立思考能力和创新能力。

（二）指导学生运用补集法进行解题

补集法就是取集合的补集来解决问题的一种方法。从解题思路来看，这一方法也需要运用逆向思维，即通过证明补集的特点来逆推集合特征与性质。从其含义来看，这一方法主要运用于代数相关题目的解答。在上述例3中，补集法在几何题目中就得到了体现，即结合题目中图形的特点进行补图，其目的是让图形由抽象变具体，以此降低题目的难度，降低计算难度，提高解题效率。基于此，在初中数学教学中，教师应适当拓展，进行逆向思维的培养。

（三）指导学生运用执果索因法进行解题

“执果索因法”是常用的一种推理、思维方法，其主旨是根据题目已经给出的结论（假定结论正确，并保持不变），从结论入手考虑问题，寻找结论成立的先决条件，从而梳理出证明的逻辑思路。

在初中数学中，证明题是一类非常典型的习题，这类题目对学生的逻辑思维有着较高的要求。部分学生在证明的过程中一味地从条件入手，或者对复杂的结论缺乏深入分析，无法迅速找到解题思路，从而影响解题效率。而执果索因法则可以在明确结果的基础上有的放矢，从结果出发进行过程反推，使问题得证，这样不仅可以迅速找到解题思路，还能够降低解题的难度。上述例4就是运用了这一方法。基于此，在初中数学解题指导中，教师应从问题出发引导学生分析思考的过程，让学生逐步学会表达“从问题想起”解决问题策略的一般过程，结合具体题目帮助学生梳理条件与结论之间的关系，分析思考过程，为学生搭建表达、交流的平台，从而共同探索逆向思维的应用，提高解题效率。

在初中数学教学中，加强学生逆向思维的培养，有利于提高学生分析问题及解决问题的能力，有利于开阔其视野、活跃其思维。当然，在初中阶段，数学解题中常用的逆向思维方法还有很多，如反例法、逆推法等，不同方法所适用的情况千差万别。因此，在数学解题教学中，教师应根据学生的实际情况做好指导，并将重点放在启发学生思维、培养学生学习能力上，进而落实发展学生核心素养的课程目标。

［   参   考   文   献   ］

［1］  黎春.探究初中数学解题教学中逆向思维的应用［J］.数理天地（初中版），2023（15）：47-49.

［2］  王莉蓉.逆向思维：赋能初中数学解题教学新思路［J］.基础教育论坛，2023（10）：89-91.

［3］  刘奎.初中数学解题教学中逆向思维的应用研究［J］.数学之友，2023（5）：53-55.

［4］  谢小兵.逆向思维在初中数学解题教学中的应用［J］.数学学习与研究，2022（16）：41-43.