一道高考题的探究与推广

盖传敏 宋永清

安徽省砀山中学 (235300)

高考试题往往具有丰富的内涵和外延,数学教师要善于思考、发掘、研究高考试题,这对提高数学思维水平和解题能力都十分有益.笔者通过对2023年新高考卷(Ⅱ)解析几何试题研究发现,特殊中颇具有一般性,通过深入思考,得到几个一般性的结论.

1 试题呈现

(1)求C的方程;

(2)记C得左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上.

2 试题解析

-1,所以点P在定直线x=-1上.

本题主要考查了直线与双曲线的位置关系,计算适中,总体难度不大.在求解完此题之后,引发了笔者的如下思考:

(1)定直线x=-1与点(-4,0)之间有何关系?

(2)命题的逆命题是否成立?

(3)圆锥曲线是否具有统一的类似性质?

3 试题推广

注：性质2、3、4可类比性质1证明.