创业投资的最优时机和规模选择

闵俊棚

摘   要：为探究创投企业的投资决策以引导其投早、投小、投硬科技，根据包含技术创新不确定性的创业投资模型，求解投资最优时机和最佳规模，并通过比较静态分析，探讨外生参数对二者的影响。结果表明，在其他条件给定时，需求弹性降低和可变成本系数上升均导致投资时机推迟、规模下降；随着固定成本上升，投资时机将推迟，规模随之扩大。贴现因子的提高将降低投资规模。若固定成本较低，贴现因子提高会使投资时机提前，但若固定成本较高，贴现因子提高会对投资时机产生先提前后推迟的影响。在技术升级幅度大、创新强度高的行业，投资时机相对推迟，规模也将提高。因此，政府应根据企业所属行业的不同特征制定有针对性的创业投资激励政策，且对于技术迭代快的行业，应充分落实税收优惠和补贴政策。

关键词：创业投资；实物期权；投资时机；投资规模；比较静态分析

中图分类号：F830       文献标志码：A      文章编号：1673-291X（2023）24-0075-05

引言

党的二十大报告指出，“必须坚持科技是第一生产力、人才是第一资源、创新是第一动力。”创业投资对实现科技、人才、管理等创新要素与创业企业有效结合、 促进科技创新成果转化意义重大[1]。在创新驱动发展战略指引下，包括税收优惠和资金补贴在内的多项政策相继出台，对创业投资予以扶持[2，3]。2022年科技部和财政部联合印发的《企业技术创新能力提升行动方案（2022—2023年）》指出，“鼓励各类天使投资、风险投资基金支持企业创新创业，深入落实创业投资税收优惠政策，引导创投企业投早、投小、投硬科技。”此政策目标的实现离不开对经济主体投资行为的充分认识。本文基于实物期权理论，从创投机构视角探究科技型企业的创业投资决策问题，并分析外生参数对创投决策的影响。

根据陆羽中等（2020）[1]对国际创业投资研究的梳理，国际上对创业投资的研究围绕创投企业和创业企业展开。前者涉及投资的战略、绩效、决策等方面，后者集中在VC对企业的影响等方面。目前国内关于创业投资的研究主要集中在创业投资引导基金上，这与创业投资在我国发展的实际情况有关。相比许多发达国家，創业投资在中国起步较晚。1985年中国首家创业投资公司成立，随后各地方政府相继成立创业投资公司。2005年国家发改委等十部委共同颁布的《创业投资企业管理暂行办法》允许政府设立创业投资引导基金。由于这些基金在引导民间创业投资资本运作中起到重要作用，所以许多以创业投资引导基金为核心的研究相继展开，主要包括创业投资引导基金的绩效评估[4，5]、对行业募资和投资的促进作用[6]以及对产业结构升级的影响[7]。另有一些文献探讨了一般情形下的创业投资行为[8-12]。

目前，国内针对创业投资的研究中对于如何进一步落实“投早、投小、投硬科技”的探讨还相对匮乏。事实上，“投早、投小、投硬科技”在上述行动方案印发之前就已经备受创投机构和研究人员的关注[13-14]。究其原因，一是其对完善金融支持创新发展体系，助推高质量发展具有重要意义；二是目前创业投资对于科技型中小企业的支持力度尚有不足[15]。因此，认清创业投资行为的决定机制和影响因素，对于进一步制定投资激励政策具有举足轻重的作用。同时，针对科技型企业的投资具有极大的不确定性，相关研究应将其纳入分析框架。实物期权投资理论正是分析不确定性投资的一种重要方法[16]。

引导创投企业“投早、投小、投硬科技”，根据实物期权的术语可表述为“鼓励创投机构对发展早期的中小型科技企业进行更大规模的投资”。

根据实物期权理论，在基于净现值的投资中，忽略由投资不可逆性和可推迟性所产生的期权价值，将导致错误的投资决策[16]。这种决策错误在高度不确定的投资环境中尤其严重。当创投机构投资科技型企业时，由于投资对象往往是早期中小企业，投资将面临巨大的不确定性，这种不确定性赋予投资较大的实物期权价值[17]，是研究中必须考虑的因素。本文基于Huisman（2000）[18]，利用泊松过程来刻画创业投资的技术不确定性，对创业投资问题构建实物期权投资模型，采用动态最优化方法得出投资项目的价值函数，通过值匹配条件求解投资最优时机和规模，并在此基础上进行比较静态分析，探讨外生的经济环境参数和技术参数如何影响投资决策。最后，根据研究结果给出对应的政策建议，指明下一步研究方向。

一、创业投资的项目价值

下面将构建创业投资模型，求解投资的项目价值，并在此基础上得出投资触发水平。假设技术创新服从泊松过程，每次创新使科技水平提升的幅度为u，创新发生的强度为λ。令θ表示第i次技术创新后的技术水平，Ti表示第i次技术创新到来的时间。给定{Ti}i∈N，τi表示第i-1次与第i次技术创新之间的时间间隔，即τi=Ti-Ti-1。不失一般性，设T0=0，θ0=1。将记录技术创新发生次数的计数过程记为N（t），它服从参数为λ+的泊松分布。给定上述技术过程，第n次技术创新到来的时间服从形状参数为，强度参数为λ的Gamma分布。由此可知，第n次技术创新发生时一单位投资的现值为E（e-rTn）=λn/（λ+r）n[18]。假设产品的反需求函数为P（θ，K）=θ（1-αK），其中，α为刻画需求价格弹性的参数，K代表投资规模。在技术水平θ下，投资项目的利润流为π（θ，K）=θ（1-αK）K。将投资的固定成本记为I，单位可变成本记为δ，投资面临的优化问题为

max E π（θ（T），K）e-rTdt-δKe-rT|θ（0）=θ0

其中，r是连续时间下的折现因子，是投资时间，是投资规模。将时刻的技术水平（触发水平）记为θ*。该问题可通过两步来解决，先在给定θ时通过解利润最大化问题得出最优投资规模，然后求解投资触发水平。令表示投资价值（暂不考虑固定成本），则有

V（θ）=max π（θ，K）e-rTdt-δK

求解该问题得出给定技术水平的最优投资规模，K*（θ）=max（ （1 ），0）。给定上述利润函数和技术创新过程，存在唯一的触发水平θ*。当创投机构在技术水平下投资时，V（θ）=max[ ，0]。投资项目的价值是投资时技术水平θ的函数，记为F（θ）。当θ>θ*时，投资价值为F（θ）=V（θ）-I。技术水平的“等候投资区间”分成两个子区间：在区间（0，θ*-u），即使再发生一次技术创新，技术也达不到触发水平θ*；而在区间[θ*-u，θ*），再发生一次创新，技术就达到触发水平。在前一子区间里，运用Bellman方程和Ito引理可得，rF（θ）=lim+ E[dF]=λ[F（θ+u）-F（θ）]

解差分方程得到

F（θ）=c（ ）

其中c是待定常数，后续将利用边界条件求解。在第二个子区间，再次运用Bellman方程和Ito引理可得

rF（θ）=lim+ E[dF]=λ[V（θ+u）-I-F（θ）]

该函数方程的解为F（θ）=（ ）[V（θ+u）-I]。根据F在θ*-u处的连续性，得出

c=（ ） （V（θ*）-I）

根据点θ*处的值匹配条件，得到触发水平θ*的決定式：

[V（θ*+u）-I]=V（θ*）-I

综上所述，创业投资项目的价值为

（ ） [V（θ*）-I]，θ<θ*-u（ ）[V（θ+u）-I]，θ*-u≤θ<θ*V（θ）-I，θ≥θ*

当θ<θ*-u时，创业投资项目的价值即为在技术触发水平下投资时项目净利润的现值，折现因子λ/（r+λ）表示在下一次技术创新发生时单位投资的现值，在技术水平达到θ*之前共有 次技术创新发生，因此在θ<θ*-u时，创业投资的项目价值为经过 次折现的[V（θ*）-I]。当θ*-u≤θ<θ*时，技术水平θ将在一次技术创新后达到触发水平θ*，此时投资的价值只折现一次，被折现的是创业投资在下次创新使得技术水平到达θ+u时投资所能获得的项目净利润。当θ≥θ*时，该投资项目的价值为在当前技术水平下立即投资时的净利润。

二、创业投资的最优时机和规模的求解和比较静态分析

求解最优投资时机和规模的关键在于确定最优触发水平θ*，投资时机由θ*所定义，投资规模由K*（θ*）决定。为方便后续比较静态分析，对于决定技术触发水平θ*的式（1），将该式两边同时乘以4aθ（r+λ）（θ+u），整理得θ3+A0θ2+B0θ+C0=0，其中，A0=4Iar-2rδ-λu/r+u，B0=-4aru-δ2r2-2δru-λu2/r，C0=δ2ru（r+λ）。定义函数g（θ）≡θ3+A0θ2+B0θ+C0，方程的解θ*也是函数g（θ）的零点。对函数g而言，g（0）=δ2ru（r+λ）>0，g=（δr）=-4Iaδ2r3-4Iaδr2u-δλu2<0。根据g（θ）的连续性和介值定理，g（θ）在（0，δr）区间有一个根。类似地，由g（δr）<0，limθ→∞可知，在区间（δ，∞）存在θ*使得g（θ*）=0，θ*即投资触发水平。同理，结合g（-u）和g[-u（1+δ）]的取值并再次应用介值定理可得g的最小零点落在区间[-（1+δ）u，-u]内。假设g（θ）=0的根θ1*<θ2*<θ*，上述结果表明，θ1*∈[-（1+δ）u，-u]，θ2*∈（0，+δr）。通过方程根与系数的关系，技术触发水平θ*满足θ*=A0-θ1*-θ2*∈（-A0+u-δr，-A0+u-δu）。创业投资的最优时机由投资的触发水平定义，在相关文献[18-19]中，最优时机通常定义为t*≡inf（t|θ≥θ*）。本文把投资最优时机定义为第n*次创新到达的时间，即t*≡Tn*，其中达到触发水平所需创新次数n*=[ ]+1。相对于传统定义，这样定义的最优时机t*的概率分布较易刻画，t*服从Gamma（n*，λ）。

下面通过具体实例展示投资时机的决定情况。假设模型的参数为λ=1，u=0.1，r=0.04，a=0.05，δ=0.1，I=10，则触发水平为θ*≈2.6，即经过26次创新后技术将达到触发水平。若经济中r=0.08，I=0，则触发水平θ*≈1.3，投资时机缩短一半。为进一步探究外生参数如何影响最优投资决策，下面对最优时机和最优规模进行比较静态分析。模型中外生参数可以分为两组，一组描述企业所处经济环境，另一组刻画技术创新过程。

（一）最优时机的比较静态分析

最优时机的比较静态分析一般是指投资触发水平对外生参数求偏导。以反需求函数参数对最优时机的影响为例，利用式（1）对a求偏导可得

=

由于g（θ）在θ*附近是增函数，上式中的分母g'（θ*）=3（θ*）２-2Ａ0θ*+Ｂ0>0。对上式中的分子，根据A0，Ｂ0，Ｃ0的定义可得

（θ*）２+ θ*+ =-4Ir（θ*）２-4Iurθ*=-4Irθ*（θ*+u）<0

因此可得？鄣θ*/？鄣a>0。同理，可得出其他参数的比较静态分析结果（表1）。

的强度和提升幅度变大，在更高技术水平下投资的利润流将增加，投资项目的期权价值会更高，从而导致投资的推迟。

（二）最优规模的比较静态分析

最优规模的比较静态分析是指最优规模对外生参数的偏导。参数I、u、λ、θ0不直接影响最优规模，而是通过触发水平间接影响，结果表明这些参数对K*均有正向影响。根据上述分析，投资项目的固定成本较高时，投资将被推迟。投资的推迟一般伴随着投资规模的扩大，这是因为在其他条件不变时，投资规模扩大所对应的可变成本被折现得更多。至于刻画技术创新过程的参数θ0、u、λ，在其他条件不变时，若初始技术水平θ0更高、创新的幅度u更大，或者创新到来的强度λ更大，扩大投资是有利可图的，创投机构将进行更大规模的投资。

参数a的分析结果表明，创业投资项目在面对较大的a时，最优投资规模较小。直观来看，a的提高将产生两方面的影响，一是提高了触发水平θ，推迟投资；二是使创业项目产品对应的价格更低。前者意味着投资规模将扩大，而后者将使投资规模降低。比较静态分析结果表明，第二种效果起主导作用。也就是说，如果产品需求对价格更为迟钝，创投机构将降低投资规模。可变成本系数δ对最优规模的影响与a的情况类似，参数δ的提高，一方面使投资推迟，从而间接扩大投资规模；另一方面通过降低投资项目的利润流来直接降低投资规模。从计算结果来看，δ的直接作用更大，即单位投资成本的上升将降低投资规模。类似地，折现因子的推导结果表明，在其他条件不变时，折现因子越大，投资规模越小。

三、结论

在高质量发展阶段，如何引导创投企业投早、投小、投硬科技是当前亟需解决的问题，但目前国内在这方面研究较为匮乏。本文从创业投资机构视角，构建了包含最优投资时机和规模的实物期权模型，通过投资项目价值函数的值匹配条件求解投资触发水平和最优投资规模，并在此基础上，利用比较静态分析探究外生技术和经济环境参数对创业投资决策的影响。

针对投资最佳时机问题，关于经济环境参数的研究表明，若其他条件不变，需求弹性的降低、可变成本系数和固定成本的上升，都将导致投资最优时机的推遲。贴现因子对投资时机的影响依赖于固定成本的大小。在固定成本较低时，贴现因子的提高会使投资时机提前；在固定成本较高时，贴现因子的提高对投资时机的影响会出现先提前后推迟的效果。这一结论表明，政府可利用不同的政策工具对创业投资机构进行激励，但激励政策应根据行业类型的不同或创业企业的特点进行有针对性的实施。降低创业投资项目的投资成本可以激励创业投资企业投早、投小，其具体影响可以通过模型参数校准来估算得出。关于技术环境参数的研究显示，在技术升级幅度大、创新强度高的行业，创业投资的期权价值较大，从而使得投资相对推迟。为实现投早、投小的目标，应深入落实创业投资税收优惠等政策，给予其更多经济激励。

关于投资最优规模的研究结果显示，经济环境参数中产品需求弹性降低、折现因子和可变成本系数上升均会降低创业投资规模，而投资中固定成本的上升将通过推迟投资时机而使得投资规模扩大。技术进步过程参数（初始技术水平、创新到来的强度、每次创新的幅度）的上升对投资规模均会产生正向影响。这说明，投早、投小的相关激励政策可能会导致投资规模降低，因此，制定相关政策时应首先明确政策目标的优先顺序，并全面考虑政策工具影响效果的相对大小。后续研究可通过纳入政府对创业投资的直接影响来进行更深入的探讨，这也是相关研究未来的扩展方向。

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The Optimal Timing and Scale Selection for Entrepreneurial Investment

— From the Perspective of Venture Capital Institutions

Min Junpeng

（School of Economics， University of Chinese Academic of Social Science， Beijing 102488， China）

Abstract： To understand the decision making of venture capital companies investment and guide them to invest in early small firms with core technologies， the optimal timing and scale of investment are solved in a venture capital model with technological innovation uncertainty. The impacts of exogenous parameters on them are discussed using comparative static analysis. The results indicate that given other conditions， the decrease of demand elasticity or the increase of variable cost coefficient leads to the delay of investment timing and the decrease of scale; with the increase of fixed cost， the timing is delayed and the scale is expanded accordingly. The increase of the discount factor reduces the investment scale. Given low fixed cost， the increase of the discount factor hastens investment timing， but if the fixed cost is high， the increase of the discount factor first advances and then delays the timing. In industries with large technological upgrades and high innovation intensity， the timing is relatively delayed， and the scale is increased. Therefore， in order to encourage venture capital investments， targeted policies should be made based on different characteristics of the industries， and the tax and subsidy policies should be fully implemented for industries with rapid technological innovations.

Key words： venture capital; real option; investment timing; investment scale; comparative static analysis

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