1+1中Maxwell-Chern-Simons-Higgs模型解的L∞估计

金广辉, 周 羽

(延边大学 理学院, 吉林 延吉 133002)

1 引言与预备知识

在规范场理论下研究带有Chern-Simons项的偏微分方程对解决实际的物理问题有很大帮助. 在(1+2)维规范场模型中, 关于降维模型的研究是一类重要问题. 即可通过假设模型相关的物理场与第二维空间坐标无关, 从而将二维空间降为一维空间. 赋予不同的空间维度会展现出方程在其维度所固有的物理特征, 一维模型的研究在理论与实际上均有一定价值. 基于一系列降维模型[1-6]的研究, 本文考虑在(1+1)维Minkowski空间上的Maxwell-Chern-Simons-Higgs(MCSH)模型[7]. 该模型由一个规范场(电磁场)A=(A0,A1,A2)、 一个复标量场(Higgs场)φ和一个中性实标量场N组成, 它是通过(1+2)维MCSH模型[8]降维得到的. 首先, 通过变分法求得(1+1)维MCSH模型对应的Euler-Lagrange方程:

其次, 构造模型的守恒能量函数

(6)

其中

Fμν≜∂μAν-∂νAμ,Dμ≜∂μ-ieAμ.

模型(1)～(5)在如下的规范变换下保持不变:

其中χ:1+1→1+1是光滑函数.赋予(1+1)维MCSH模型Lorenz规范条件∂0A0-∂1A1=0, 并引入记号□=∂μ∂μ.模型(1)～(5)的Cauchy问题为

(7)

对应的初始数据为

(8)

对应的约束方程为

(9)

2 主要结果

记I=max{‖F10(0,·)‖L∞,‖B(0,·)‖L∞,‖N(0,·)‖L∞,‖φ(0,·)‖L∞,‖∂μB(0,·)‖L∞,‖∂μN(0,·)‖L∞,‖Dμφ(0,·)‖L∞},E(0)=E0.用AB表示估计A≤CB, 其中C为常量.

定理1设(φ,N,Aμ,B)∈C([0,∞);H2())∩C1([0,∞);H1())是(1+1)维MCSH系统(1)～(5)在初始条件(φ0,n0,a0μ,b0)∈H2(), (φ1,n1,a1μ,b1)∈H1()下的整体解, 则

证明: 为方便, 对∀φ,ψ∈引入记号于是可得如下计算性质:

(10)

根据式(2)～(5)可得如下等式:

对t0>0,x0∈, 定义三角形区域Δ(x0,t0)如下:

Δ(x0,t0)≜{(x,t)|0

在区域Δ(x0,t0)上使用格林公式可得

根据式(12)在区域Δ(x0,t0)上对式(11)进行积分, 可得如下估计:

1) 关于F10.首先根据式(1)和(2)可得关于F10的输运方程:

(14)

沿特征线对式(14)进行积分可得

(15)

应用Hölder不等式, 考虑关于φ的L2范数估计, 有

(16)

根据估计(13)和(16)并应用Hölder不等式, 由式(15)可得关于F10的估计如下:

2) 关于∂μB和∂μN.可将式(3)按如下两种方式表示:

(17)

沿特征线对式(17)积分, 并应用估计(13)和Hölder不等式可得

从而可得关于∂μB的估计为

类似地, 通过式(4)可得关于∂μN的估计为

3) 关于Dμφ.定义符号Φ+≜D0φ+D1φ,Φ-≜D0φ-D1φ.由式(15)和性质(10)可得

(18)

从而得到估计

(19)

沿特征线对式(19)进行积分可得

(20)

下面对式(20)第一个不等式右侧项进行估计:

其中

这里利用了

类似可对式(20)第二个不等式的右侧项进行估计.由式(20)可得

(21)

根据式(21)可得关于Dμφ的估计为

证毕.

注1定理1对(1+1)维MCSH模型的解进行了一阶导数L∞估计.

定理2设(φ,N,Aμ,B)∈C([0,∞);H2())∩C1([0,∞);H1())是(1+1)维MCSH系统(1)～(5)在初始条件(φ0,n0,a0μ,b0)∈H2(),(φ1,n1,a1μ,b1)∈H1()下的整体解, 则

由式(23)可得

于是得到如下估计:

其中

这里利用了定理1.于是, 得到关于DDφ的L2范数估计:

证毕.

注2定理2对(1+1)维MCSH模型的解进行了H2范数的多项式增长估计.