一道2023年北京联赛试题的求解与推广

张志刚

(山东省宁阳县复圣中学 271400)

1 试题呈现

本题探求三角函数的最值问题,重点考查考生分析问题的能力以及运用函数、导数、不等式等知识解决问题的能力,考查数学运算、逻辑推理等核心素养.试题呈现简洁精巧,解法灵动多样,具有良好的选拔功能,有利于检测考生的理性思维、科学探索意识.

2 试题溯源

本题改编自2010年第5届联盟杯数学竞赛预赛高二年级试题第7题:

3 试题解答

下面结合三角函数知识,从不等式放缩、函数最值、拉格朗日乘数法等视角尝试解答.

思路一 不等式放缩

解法1基本不等式法

基本不等式是求解最值问题的重要工具.应用的关键是创设定值条件,常用到添项、拆项、系数拼凑、消元代换等技巧.

思路二 转化为一元函数最值

解法2导数法

导数是关于瞬时变化率的数学表达,定量刻画了函数的局部变化规律.利用导数可以精确研究函数的单调性、极值、增长(衰减)率、增长(减少)快慢等性质.考生可利用函数的导函数来研究原函数的一般单调性,据此得到原函数的极值点,再结合给定区间,得到该区间上原函数的最值.

解法3换元法、导数法(解法2的优化)

注意到题设代数式包含sinx和cosx,联想同角三角函数的基本关系式,考虑换元以简化问题.

思路三 用高等数学观点求解

解法4拉格朗日乘数法

评注拉格朗日乘数法理论上的优越性显而易见.然而,高中生理解拉格朗日乘数法的原理存有难度,对于求偏导数运算也是陌生的,求解方程组对学生运算能力要求也较高,故此法仅供参考,为避免死记硬背、生搬硬套结论的盲目机械训练,不宜对学生提出过高要求.

4 推广与变式

4.1 常数推广

将解析式中两分子中的常数一般化,得结论1.

4.2 变换次数

将上述结论加以推广,得结论2.

4.3 增加变量

将变式2加以推广,得结论3.

5 结束语

三角函数的最值问题涉及函数、方程、不等式、三角代换等高中数学主干知识.教师要挖掘其意境高深悠远、再生能力强、探究空间大的优势,积极引导学生敏锐捕捉题设信息,剖析问题本质,展开丰富联想,促进思维迁移,寻求多方联系,构建解决方案.需要注意的是,不管强基计划测试题、竞赛题或高考题的“档次”多高,解决它们的知识都不是别出心裁的、让人可望不可及的技巧[1],而是深深扎根在教材里的平凡知识,和传统成熟的基本知识、技能、方法、基本活动经验有着千丝万缕的联系,如前文中的基本不等式、导数等都是教材中的基础内容,是锤炼更高能力和素养的源头活水.